Мащаб и картографски проекции — урок по география

1. Глобус и карта

Глобусът е умален модел на Земята и пази всичко: разстояния, ъгли, площи и форми. Но е малък, не се побира в джоба и показва само половината свят наведнъж. Картата е изображение на земната повърхност в равнина – умалено, обобщено и построено по определено математическо правило. През 1827 г. Гаус доказва, че сфера не може да се изобрази в равнина така, че да се запазят всички разстояния. Затова всяка карта изкривява нещо и въпросът е само какво.

Всяка карта има мащаб (колко е умалена), легенда с условните знаци, (виж урока Географски координати и време) и заглавие. За малки участъци – двор, село, парк – Земята може да се смята за плоска: такъв чертеж в много едър мащаб се нарича план.

2. Мащаб

показва колко пъти разстоянията на картата са по-малки от истинските. Записва се по три начина:

О

Видове мащаб

Числен – дроб

1 : 50\,000

: 1 cm на картата е 50 000 cm на терена. Именуван – „в 1 cm – 500 m“. Линеен – отсечка, разделена на части, с написани разстояния; той единствен остава верен, когато картата се увеличи или смали при копиране.

Колкото по-малък е , толкова по-едър е мащабът: 1 : 10 000 е по-едър от 1 : 1 000 000 и показва по-малка територия с повече подробности. Картите се делят на (до 1 : 200 000 – например туристическите и топографските), средномащабни (от 1 : 200 000 до 1 : 1 000 000) и (по-дребни от 1 : 1 000 000 – картите на държави, континенти и на света).

Т

Дължини и площи

При мащаб

1 : M

всяка дължина на терена е

M

пъти по-голяма, а всяка площ –

M^2

пъти. При

1 : 50\,000

един квадратен сантиметър от картата е

0{,}5^2 = 0{,}25\ \mathrm{km^2}

на терена.

Това е същото свойство като при подобните фигури – лицата им се отнасят като квадрата на отношението на дължините (виж Подобни триъгълници).

Пример

На карта в мащаб 1 : 25 000 разстоянието между два върха е 6 cm. Колко е то на терена? Какъв е именуваният мащаб?

1 cm на картата е 25 000 cm = 250 m на терена – това е именуваният мащаб: „в 1 cm – 250 m“.
$6 \cdot 250 = 1500$ m = 1,5 km.
Това е разстоянието по хоризонтала. По склона пътят е по-дълъг – как се отчита релефът, ще видиш в урока за топографските карти.

Смени мащаба и измери разстояния между градовете на Балканите. Сравни разстоянието по мащаба с истинското по сферата.

Влачи краищата на линийката. Картата е отпечатана широка 16 cm.

в 1 cm80 kmна картата4,76 cmпо мащаба381 kmпо сферата378 km

При 1 : 32 000 000 разстоянията по мащаба вече се разминават с истинските с няколко процента. Колкото по-голяма територия показва картата, толкова по-малко е вярно, че мащабът е един и същ навсякъде. Написаният мащаб на картата на света е само главен мащаб – той е верен само по някои линии, например по .

3. Картографски проекции

Правилото, по което всяка точка от глобуса получава място на картата, се нарича . Може да си я представиш като лампа в глобуса, която хвърля сянката на мрежата върху лист, навит около него. Според формата на този лист проекциите са:

– листът е цилиндър, допрян до екватора; и са прави, перпендикулярни линии;
– листът е конус, допрян до един паралел; паралелите са дъги, меридианите са лъчи – подходящи за страни и континенти в умерените ширини, като Европа;
– равнина, допряна до една точка (често полюса); паралелите са концентрични окръжности.

По-важно е какво проекцията запазва. Никоя не запазва едновременно ъглите и площите:

Вид	Какво запазва	Примери и употреба
Равноъгълна (конформна)	ъглите и формата на малките области	Меркатор – за навигация; Ламбертова конична – авиационни карти
Равновелика	лицата	Молвайде, Гал–Петерс – карти на населението, горите, валежите
Равнопромежутъчна	разстоянията по едно направление (меридианите или от центъра)	азимутална от полюса – емблемата на ООН
Компромисна (произволна)	нищо точно, но всичко е малко изкривено	Робинсън, Винкел – карти на света в атласите

О

Окръжности на Тисо

Нарисуваме по земната повърхност еднакви малки кръгове и гледаме какви стават на картата. В равноъгълна проекция остават кръгове, но с различна големина. В равновелика стават елипси с еднаква площ. Ако мащабът по меридиана е

h

, а по паралела –

k

, лицата се увеличават

h \cdot k

пъти.

Тези кръгове предлага през 1859 г. френският математик Никола Огюст Тисо и до днес те са най-нагледният начин да се сравнят проекциите. Превключи проекциите и проследи как кръговете се изкривяват към полюсите. Плъзгачът показва мащабите по избрания паралел.

Меркатор (цилиндрична) – запазва ъглите и формата на малките области (равноъгълна).

φ, °60

по меридиана2,00×по паралела2,00×лицата4,00×ъгли до0°Гренландия : Австралия3,42 (истински 0,28)

Пример

В равнопромежутъчната цилиндрична проекция всички паралели са дълги колкото екватора. Колко е изкривяването на 60° с.ш.?

Истинската дължина на паралела е $\cos 60^\circ = 0{,}5$ от екватора, а на картата е колкото екватора – мащабът по паралела е $k = 2$ .
По меридиана разстоянията са верни: $h = 1$ .
Лицата са увеличени $h \cdot k = 2$ пъти, а формите са разтегнати по хоризонтала двойно – кръгът става елипса с полуоси в отношение 2 : 1.

4. Меркатор и истинските размери

През 1569 г. фламандският картограф Герард Меркатор издава карта на света, предназначена за мореплавателите. Неговата е цилиндрична и : по всеки паралел мащабът е увеличен $1/\cos\varphi$ пъти и Меркатор разтяга мрежата по меридиана точно толкова, колкото по паралела. Така ъглите остават верни, а пътят с постоянен курс () е права линия. Капитанът начертава с линийка права до пристанището, измерва ъгъла с меридиана и знае какъв курс да държи.

Т

Изкривяване в проекцията на Меркатор

Дължините в околността на паралела

\varphi

са увеличени

\dfrac{1}{\cos\varphi}

пъти, а лицата –

\dfrac{1}{\cos^2\varphi}

пъти. На 60° дължините са двойни, а лицата – четворни; полюсите са безкрайно далеч и не се показват.

Цената е огромно увеличение на лицата към полюсите. Гренландия, Канада, Русия и Антарктида изглеждат грамадни, а тропическите страни – малки. Премести Гренландия към екватора и виж истинския ѝ размер.

Щракни по картата или премести плъзгачите. С пунктир е истинското място.

φ, °0λ, °20

истинска площ≈ 2,18 млн. km²на картата1,0× по-голяма, отколкото на екватора

Почти всички онлайн карти (Google Maps, OpenStreetMap) използват вариант на Меркатор, наречен Web Mercator. При приближаване до улица формите са верни, а на детайлните карти изкривяването в площите не се забелязва. Обратното решение предлага през 1973 г. Арно Петерс: цилиндрична проекция (описана още през 1855 г. от Джеймс Гал). В нея площите са верни, но тропическите континенти изглеждат издължени нагоре, а северните – сплескани.

5. Коя проекция за какво

Изборът зависи от това какво ще правим с картата и колко голяма е територията:

морски и въздушни навигационни карти – равноъгълни (Меркатор, Ламбертова конична);
топографски карти – напречна проекция на Меркатор: цилиндърът е допрян до един меридиан, а светът е разделен на тесни зони по 6° дължина (системите UTM и Гаус–Крюгер); в една зона изкривяванията са под 0,1%;
карти на държави и континенти в умерените ширини – конични;
карти на Арктика и Антарктида – азимутални с център в полюса;
тематични карти (население, гори, добиви) – равновелики, за да не заблуждават за площите;
общи карти на света – компромисни, например Робинсън или Винкел (National Geographic я използва от 1998 г.).

Пример

Карта на света е в равнопромежутъчна азимутална проекция с център Северния полюс; от полюса до екватора на картата има 10 cm. На какво разстояние от центъра е София (42,7° с.ш.)?

Разстоянията от полюса са верни, т.е. пропорционални на ъгъла от полюса: $90^\circ - 42{,}7^\circ = 47{,}3^\circ$ .
$r = 10\ \mathrm{cm} \cdot \frac{47{,}3}{90} \approx 5{,}26$ cm.
Такава проекция е на знамето на ООН – светът, гледан от Северния полюс, заобиколен от маслинови клонки.

6. Тренажор

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

\text{Меркатор},\ \varphi = 45^\circ

Колко пъти са увеличени лицата спрямо екватора?

7. Картите в живота

0 / 4

🥾 Пътека в планината

На туристическа карта в мащаб 1 : 50 000 пътеката до хижата е дълга 14,6 cm. Колко km е пътеката (ако не броим изкачването) и за колко часа ще я извървиш с 4 km/h?

🗺️ България в атласа

Разстоянието по права от София до Варна е около 378 km. Колко cm е то на картата на България в училищния атлас, ако мащабът е 1 : 3 000 000?

🏞️ Езеро на картата

Езеро на карта в мащаб 1 : 25 000 заема 3,2 cm². Колко km² е истинската му площ?

🧊 Гренландия или Африка?

Средната ширина на Гренландия е около 72° с.ш. Колко пъти проекцията на Меркатор увеличава лицата там спрямо екватора? Африка е около 14 пъти по-голяма от Гренландия – защо тогава на картата изглеждат почти еднакви?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

Едър и дребен мащаб

✗ 1 : 1 000 000 е по-едър мащаб, защото числото е по-голямо.

✓ Мащабът е дроб: $\displaystyle \frac{1}{1\,000\,000}$ е по-малка от $\displaystyle \frac{1}{10\,000}$ – значи е по-дребен.

Площите

✗ При мащаб 1 : 10 000 площите са умалени 10 000 пъти.

✓ Площите са умалени $\displaystyle 10\,000^2 = 10^8$ пъти.

Единиците

✗ 1 : 50 000 означава, че 1 cm е 50 000 m.

✓ 1 cm е 50 000 cm = 500 m; числата в дробта са в едни и същи единици.

Мащабът на картата на света

✗ Мащабът е верен по цялата карта.

✓ Написаният мащаб е верен само по някои линии (напр. екватора); навсякъде другаде е различен.

Меркатор

✗ Меркатор е „грешна“ карта.

✓ Тя запазва ъглите и е отлична за навигация, но не е за сравняване на площи.

Най-краткият път

✗ Правата на картата на Меркатор е най-краткият път.

✓ Правата на Меркатор е локсодромия; най-краткият път е дъга от голям кръг и на тази карта изглежда извит.

9. 🎯 Бърз тест

1 / 8

✓ 0

Кой мащаб е по-едър (показва повече подробности)?

Избери отговор (или натисни 1–4)

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

✓ Сферата не може да се разгъне в равнина без изкривявания – всяка карта изкривява нещо
✓ Мащабът е числен (1 : 50 000), именуван („в 1 cm – 500 m“) или линеен; по-малък знаменател – по-едър мащаб
✓ При мащаб $1 : M$ дължините са умалени $M$ пъти, а площите – $M^2$ пъти
✓ Проекциите са цилиндрични, конични и азимутални; равноъгълни, равновелики, равнопромежутъчни или компромисни
✓ Окръжностите на Тисо показват изкривяванията: формата – ъглите, големината – площите
✓ Меркатор запазва ъглите и прави локсодромиите прави, но увеличава лицата $1/\cos^2\varphi$ пъти
✓ За сравняване на площи – равновелика проекция; за навигация – равноъгълна; за полюсите – азимутална

💡 Интересен факт

През 2018 г. Google Maps промени уеб версията си: при силно отдалечаване вече показва Земята като глобус, а не като карта на Меркатор. Така Гренландия най-сетне изглежда по-малка от Африка. Още по-стар трик имат училищните атласи: картата на света обикновено е в компромисна проекция, а картите на отделните континенти са в различни проекции. Затова сравняването на площи от две различни страници на атласа може да подведе.