Сайтът все още се разработва и може да има грешки и неточности. Ако забележиш такава, пиши ни на ninelibera@gmail.com.

Справочник: формули и константи

Основните формули от всички уроци на едно място – за преговор преди контролно или олимпиада. До всяка формула има връзка към урока, в който е обяснена и използвана в задачи.

Математика

Дроби, проценти, степени и корени

Събиране на дробиурок
ab+cd=ad+bcbd\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}
Умножение и деление на дробиурок
ab⋅cd=acbd\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}ab:cd=ab⋅dc\displaystyle \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}
p% от числото Aурок
p100⋅A\displaystyle \frac{p}{100} \cdot A
1% = 1/100 = 0,01
Увеличение и намаление с p%урок
A⋅(1+p100)\displaystyle A \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)A⋅(1−p100)\displaystyle A \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)
при поредни промени множителите се умножават
Сложна лихваурок
S=S0(1+r100)n\displaystyle S = S_0 \left(1 + \frac{r}{100}\right)^{n}
r% годишно, n години
Действия със степениурок
am⋅an=am+nam:an=am−n(am)n=amn(ab)n=anbn(ab)n=anbn\displaystyle \begin{aligned} a^m \cdot a^n &= a^{m+n} \\ a^m : a^n &= a^{m-n} \\ (a^m)^n &= a^{mn} \\ (ab)^n &= a^n b^n \\ \left(\frac{a}{b}\right)^n &= \frac{a^n}{b^n} \end{aligned}
при делене a ≠ 0, b ≠ 0
Нулев и отрицателен показателурок
a0=1\displaystyle a^0 = 1a−n=1an\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}
a ≠ 0
Свойства на коренитеурок
ab=a⋅bab=abx2=∣x∣\displaystyle \begin{aligned} \sqrt{ab} &= \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \\ \sqrt{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \\ \sqrt{x^2} &= |x| \end{aligned}
a ≥ 0, b > 0; √(a + b) ≠ √a + √b
Степен с дробен показателурок
amn=amn=(an)m\displaystyle a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m
a > 0
Рационализиранеурок
1a−b=a+ba−b\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}
Формули за съкратено умножение
(a±b)2=a2±2ab+b2\displaystyle (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
Куб на сбор и разлика
(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3\displaystyle (a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)\displaystyle a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

Логаритми

Определениеурок
log⁡ab=c  ⟺  ac=b\displaystyle \log_a b = c \iff a^c = b
a > 0, a ≠ 1, b > 0
Основно тъждествоурок
alog⁡ab=b\displaystyle a^{\log_a b} = b
Логаритъм от произведение и частноурок
log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡aylog⁡axy=log⁡ax−log⁡ay\displaystyle \begin{aligned} \log_a (xy) &= \log_a x + \log_a y \\ \log_a \frac{x}{y} &= \log_a x - \log_a y \end{aligned}
x > 0, y > 0
Логаритъм от степенурок
log⁡axn=nlog⁡ax\displaystyle \log_a x^n = n \log_a x
Смяна на основатаурок
log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\displaystyle \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}
Особени стойностиурок
log⁡a1=0\displaystyle \log_a 1 = 0log⁡aa=1\displaystyle \log_a a = 1

Уравнения, системи и неравенства

Линейно уравнениеурок
ax+b=0  ⇒  x=−ba\displaystyle ax + b = 0 \;\Rightarrow\; x = -\frac{b}{a}
a ≠ 0
Уравнение с модулурок
∣x−a∣=b  ⇒  x=a±b\displaystyle |x - a| = b \;\Rightarrow\; x = a \pm b
при b > 0; при b < 0 няма решение
Дискриминантаурок
D=b2−4ac\displaystyle D = b^2 - 4ac
Корени на квадратно уравнениеурок
x1,2=−b±D2a\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
D > 0 – два корена; D = 0 – един; D < 0 – няма реални
Съкратена формула (b = 2k)урок
x1,2=−k±k2−aca\displaystyle x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}
Формули на Виетурок
x1+x2=−ba\displaystyle x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}x1x2=ca\displaystyle x_1 x_2 = \frac{c}{a}
Разлагане на квадратния тричленурок
ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)\displaystyle ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)
Правило на Крамерурок
x=DxD\displaystyle x = \frac{D_x}{D}y=DyD\displaystyle y = \frac{D_y}{D}
D = a₁b₂ − a₂b₁, Dₓ = c₁b₂ − c₂b₁, Dᵧ = a₁c₂ − a₂c₁
Симетрични системиурок
x+y=s,  xy=p  ⇒  t2−st+p=0\displaystyle x + y = s,\; xy = p \;\Rightarrow\; t^2 - st + p = 0
x² + y² = s² − 2p; x³ + y³ = s³ − 3ps
Неравенства с модулурок
∣x−a∣<r  ⟺  a−r<x<a+r\displaystyle |x - a| < r \iff a - r < x < a + r∣x−a∣>r  ⟺  x<a−r  или  x>a+r\displaystyle |x - a| > r \iff x < a - r \;\text{или}\; x > a + r
r > 0
Средно аритметично и средно геометричноурок
a+b2≥ab\displaystyle \frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}
a, b ≥ 0; равенство при a = b

Матрици

Умножение на матрициурок
cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj\displaystyle c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{in}b_{nj}
ред i на A по стълб j на B; (m × n)(n × p) = m × p; в общия случай AB ≠ BA
Матрица по векторурок
(abcd)(xy)=(ax+bycx+dy)\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}
стълбовете са образите на e₁ = (1; 0) и e₂ = (0; 1)
Матрица на завъртанеурок
Rφ=(cos⁡φ−sin⁡φsin⁡φcos⁡φ)\displaystyle R_\varphi = \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}
завъртане на ъгъл φ обратно на часовниковата стрелка около началото
Детерминанта 2 × 2урок
∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bcdet⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B\displaystyle \det(AB) = \det A \cdot \det B
|det A| – колко пъти се умножават лицата; знакът показва ориентацията
Детерминанта 3 × 3 (правило на Сарус)урок
a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33\displaystyle a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}
Обратна матрица 2 × 2урок
(abcd)−1=1ad−bc(d−b−ca)\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}(AB)−1=B−1A−1\displaystyle (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
съществува точно когато ad − bc ≠ 0
Система в матричен видурок
AX=B⇒X=A−1B\displaystyle AX = B \quad\Rightarrow\quad X = A^{-1}B
при det A ≠ 0; разписано, това е правилото на Крамер

Олимпиадни неравенства

Неравенство между среднитеурок
a2+b22≥a+b2≥ab≥2aba+b\displaystyle \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \ge \frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab} \ge \frac{2ab}{a + b}
a, b > 0; навсякъде равенство само при a = b
Средно аритметично и средно геометрично на n числаурок
a1+a2+…+ann≥a1a2⋯ann\displaystyle \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}
aᵢ ≥ 0; равенство при a₁ = a₂ = … = aₙ
Неравенство на Коши–Буняковскиурок
(a1b1+…+anbn)2≤(a12+…+an2)(b12+…+bn2)\displaystyle (a_1b_1 + \ldots + a_nb_n)^2 \le (a_1^2 + \ldots + a_n^2)(b_1^2 + \ldots + b_n^2)
равенство при пропорционални числа; за вектори |u · v| ≤ |u| · |v|
Форма на Енгел (лема на Титу)урок
a12x1+…+an2xn≥(a1+…+an)2x1+…+xn\displaystyle \frac{a_1^2}{x_1} + \ldots + \frac{a_n^2}{x_n} \ge \frac{(a_1 + \ldots + a_n)^2}{x_1 + \ldots + x_n}
xᵢ > 0; равенство при a₁/x₁ = … = aₙ/xₙ
Неравенство за пренарежданетоурок
a1b1+…+anbn≥a1c1+…+ancn≥a1bn+…+anb1\displaystyle a_1b_1 + \ldots + a_nb_n \ge a_1c_1 + \ldots + a_nc_n \ge a_1b_n + \ldots + a_nb_1
a и b са подредени еднакво, c е пренареждане на b
Неравенство на Чебишовурок
n(a1b1+…+anbn)≥(a1+…+an)(b1+…+bn)\displaystyle n(a_1b_1 + \ldots + a_nb_n) \ge (a_1 + \ldots + a_n)(b_1 + \ldots + b_n)
при еднакво подредени редици
Неравенство на Йенсенурок
f(w1x1+…+wnxn)≤w1f(x1)+…+wnf(xn)\displaystyle f(w_1x_1 + \ldots + w_nx_n) \le w_1f(x_1) + \ldots + w_nf(x_n)
f изпъкнала, wᵢ ≥ 0, w₁ + … + wₙ = 1; за вдлъбната f – обратно
Неравенство на Несбитурок
ab+c+bc+a+ca+b≥32\displaystyle \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \ge \frac{3}{2}
a, b, c > 0; равенство при a = b = c

Комплексни числа

Имагинерна единицаурок
i2=−1\displaystyle i^2 = -1z=a+bi\displaystyle z = a + bi
a – реална част, b – имагинерна част
Умножениеурок
(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i\displaystyle (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Спрегнато число и делениеурок
zˉ=a−bi\displaystyle \bar{z} = a - bia+bic+di=(a+bi)(c−di)c2+d2\displaystyle \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}
Модулурок
∣z∣=a2+b2\displaystyle |z| = \sqrt{a^2 + b^2}zzˉ=∣z∣2\displaystyle z\bar{z} = |z|^2
Тригонометричен вид и формула на Моавърурок
z=r(cos⁡φ+isin⁡φ)\displaystyle z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)zn=rn(cos⁡nφ+isin⁡nφ)\displaystyle z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)
Корени от единицатаурок
zn=1⇒εk=cos⁡2πkn+isin⁡2πkn\displaystyle z^n = 1 \Rightarrow \varepsilon_k = \cos \frac{2\pi k}{n} + i\sin \frac{2\pi k}{n}
k = 0, 1, …, n − 1

Теория на числата

Числови множестваурок
N⊂Z⊂Q⊂R\displaystyle \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
естествени, цели, рационални, реални
Чиста периодична дробурок
0,(a1a2…ak)=a1a2…ak‾99…9⏟k\displaystyle 0{,}(a_1 a_2 \ldots a_k) = \frac{\overline{a_1 a_2 \ldots a_k}}{\underbrace{99\ldots9}_{k}}
например 0,(27) = 27/99 = 3/11
Деление с остатъкурок
a=bq+r,0≤r<b\displaystyle a = bq + r, \quad 0 \le r < b
Каноничен видурок
n=p1a1⋅p2a2⋯pkak\displaystyle n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}
p₁, …, pₖ – различни прости числа
Брой делителиурок
(a1+1)(a2+1)⋯(ak+1)\displaystyle (a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_k + 1)
НОД и НОКурок
НОД(a, b)⋅НОК(a, b)=a⋅b\displaystyle \text{НОД}(a,\ b) \cdot \text{НОК}(a,\ b) = a \cdot b
Алгоритъм на Евклидурок
a=bq+r⇒НОД(a, b)=НОД(b, r)\displaystyle a = bq + r \Rightarrow \text{НОД}(a,\ b) = \text{НОД}(b,\ r)
Линейно диофантово уравнениеурок
ax+by=c:x=x0+bdt,y=y0−adt\displaystyle ax + by = c: \quad x = x_0 + \frac{b}{d}t, \quad y = y_0 - \frac{a}{d}t
d = НОД(a, b); решения има точно когато d дели c
Сравнение по модулурок
a≡b(modm)  ⟺  m∣a−b\displaystyle a \equiv b \pmod{m} \iff m \mid a - b
Малка теорема на Фермаурок
ap−1≡1(modp)\displaystyle a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}
p – просто, p не дели a
Нули в края на n!урок
[n5]+[n25]+[n125]+…\displaystyle \left[\frac{n}{5}\right] + \left[\frac{n}{25}\right] + \left[\frac{n}{125}\right] + \ldots

Прогресии

Аритметична прогресия – общ членурок
an=a1+(n−1)d\displaystyle a_n = a_1 + (n - 1)d
Аритметична прогресия – сборурок
Sn=n(a1+an)2=n (2a1+(n−1)d)2\displaystyle S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n\,(2a_1 + (n - 1)d)}{2}
Сбор на първите n естествени числаурок
1+2+⋯+n=n(n+1)2\displaystyle 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n + 1)}{2}
Геометрична прогресия – общ членурок
an=a1qn−1\displaystyle a_n = a_1 q^{n-1}
Геометрична прогресия – сборурок
Sn=a1(qn−1)q−1\displaystyle S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}
q ≠ 1
Безкрайна намаляваща геометрична прогресияурок
S=a11−q\displaystyle S = \frac{a_1}{1 - q}
|q| < 1

Функции

Линейна функцияурок
y=ax+b\displaystyle y = ax + b
a – наклон, b – пресечна точка с Oy
Права и обратна пропорционалностурок
y=kx\displaystyle y = kxy=kx\displaystyle y = \frac{k}{x}
Връх на параболатаурок
x0=−b2a\displaystyle x_0 = -\frac{b}{2a}y0=−D4a\displaystyle y_0 = -\frac{D}{4a}
Връхна формаурок
y=a(x−x0)2+y0\displaystyle y = a(x - x_0)^2 + y_0
Преместване на графикаурок
y=f(x−h)+k\displaystyle y = f(x - h) + k
h надясно, k нагоре
Четна и нечетна функцияурок
f(−x)=f(x)\displaystyle f(-x) = f(x)f(−x)=−f(x)\displaystyle f(-x) = -f(x)
Логаритмична и показателна функцияурок
y=log⁡ax  ⟺  x=ay\displaystyle y = \log_a x \iff x = a^y
графиките са симетрични спрямо y = x

Анализ

Граница на редицаурок
lim⁡n→∞an=L  ⟺  ∀ε>0 ∃N: ∣an−L∣<ε при n≥N\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = L \iff \forall \varepsilon > 0\ \exists N:\ |a_n - L| < \varepsilon \text{ при } n \ge N
Аритметика на границитеурок
lim⁡x→a(f±g)=A±B\displaystyle \lim_{x \to a} (f \pm g) = A \pm Blim⁡x→a(f⋅g)=A⋅B\displaystyle \lim_{x \to a} (f \cdot g) = A \cdot Blim⁡x→afg=AB (B≠0)\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f}{g} = \frac{A}{B}\ (B \ne 0)
ако lim f = A и lim g = B са крайни числа
Рационална функция при x → ∞урок
lim⁡x→∞akxk+…bkxk+…=akbk\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{a_k x^k + \ldots}{b_k x^k + \ldots} = \frac{a_k}{b_k}
при равни степени; ако степента на знаменателя е по-голяма – границата е 0
Първа забележителна границаурок
lim⁡x→0sin⁡xx=1\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
x в радиани
Втора забележителна границаурок
lim⁡n→∞(1+1n)n=e≈2,71828\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2{,}71828lim⁡n→∞(1+kn)n=ek\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{k}{n}\right)^n = e^k
Наклонена асимптотаурок
y=kx+n:k=lim⁡x→∞f(x)x,n=lim⁡x→∞(f(x)−kx)\displaystyle y = kx + n:\quad k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x},\quad n = \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - kx\right)
за рационална функция – цялата част при деление на многочлените
Непрекъснатост в точкаурок
lim⁡x→af(x)=f(a)\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)
Теорема на Болцаноурок
f(a)⋅f(b)<0⇒∃c∈(a; b): f(c)=0\displaystyle f(a) \cdot f(b) < 0 \Rightarrow \exists c \in (a;\ b):\ f(c) = 0
f непрекъсната в [a; b]; разполовяване: след n стъпки интервалът е (b − a)/2ⁿ
Производнаурок
f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h\displaystyle f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
Допирателнаурок
y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)\displaystyle y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)
Основни производниурок
(xn)′=nxn−1\displaystyle (x^n)' = nx^{n-1}(sin⁡x)′=cos⁡x\displaystyle (\sin x)' = \cos x(cos⁡x)′=−sin⁡x\displaystyle (\cos x)' = -\sin x
Показателна и логаритмична функцияурок
(ex)′=ex\displaystyle (e^x)' = e^x(ax)′=axln⁡a\displaystyle (a^x)' = a^x \ln a(ln⁡x)′=1x\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}
Произведение и частноурок
(uv)′=u′v+uv′\displaystyle (uv)' = u'v + uv'(uv)′=u′v−uv′v2\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
Верижно правилоурок
(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)\displaystyle (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)
Основни интегралиурок
∫xn dx=xn+1n+1+C\displaystyle \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x| + C
n ≠ −1
Интеграли на eˣ, синус и косинусурок
∫ex dx=ex+C\displaystyle \int e^x\,dx = e^x + C∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x + C∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\displaystyle \int \cos x\,dx = \sin x + C
Формула на Нютон–Лайбницурок
∫abf(x) dx=F(b)−F(a),F′=f\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), \quad F' = f
Лице между кривиурок
∫ab(f(x)−g(x))dx\displaystyle \int_a^b \left(f(x) - g(x)\right) dx
f(x) ≥ g(x) в [a; b]
Обем на ротационно тялоурок
V=π∫abf(x)2 dx\displaystyle V = \pi \int_a^b f(x)^2\,dx
Експоненциален растеж и разпадурок
y′=ky⇒y=y0ekt\displaystyle y' = ky \Rightarrow y = y_0 e^{kt}T1/2=ln⁡2∣k∣\displaystyle T_{1/2} = \frac{\ln 2}{|k|}
Закон на Нютон за изстиванетоурок
T(t)=Ts+(T0−Ts)e−kt\displaystyle T(t) = T_s + (T_0 - T_s)e^{-kt}
Tₛ – температура на околната среда
Хармонично трептенеурок
x′′=−ω2x⇒x=Acos⁡(ωt+φ),T=2πω\displaystyle x'' = -\omega^2 x \Rightarrow x = A\cos(\omega t + \varphi), \quad T = \frac{2\pi}{\omega}
Метод на Ойлерурок
yn+1=yn+h⋅f(xn,yn)\displaystyle y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)

Триъгълник и подобие

Сбор на ъглитеурок
α+β+γ=180∘\displaystyle \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ
Неравенство на триъгълникаурок
∣b−c∣<a<b+c\displaystyle |b - c| < a < b + c
Питагорова теоремаурок
c2=a2+b2\displaystyle c^2 = a^2 + b^2
Формула на Херонурок
S=p(p−a)(p−b)(p−c),p=a+b+c2\displaystyle S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}, \quad p = \frac{a + b + c}{2}
Метрични зависимости в правоъгълен триъгълникурок
h2=pq\displaystyle h^2 = pqa2=cq\displaystyle a^2 = cqb2=cp\displaystyle b^2 = cpab=ch\displaystyle ab = ch
Теорема на Талесурок
MN∥BC  ⇒  AMAB=ANAC=MNBC\displaystyle MN \parallel BC \;\Rightarrow\; \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}
Подобни фигуриурок
P1P=k\displaystyle \frac{P_1}{P} = kS1S=k2\displaystyle \frac{S_1}{S} = k^2V1V=k3\displaystyle \frac{V_1}{V} = k^3
Пропорцияурок
a:b=c:d  ⇒  ad=bc\displaystyle a : b = c : d \;\Rightarrow\; ad = bc

Тригонометрия

Функции на остър ъгълурок
sin⁡α=ac\displaystyle \sin\alpha = \frac{a}{c}cos⁡α=bc\displaystyle \cos\alpha = \frac{b}{c}tg⁡α=ab\displaystyle \tg\alpha = \frac{a}{b}cotg⁡α=ba\displaystyle \cotg\alpha = \frac{b}{a}
Основно тъждествоурок
sin⁡2α+cos⁡2α=1\displaystyle \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
Тангенс и котангенсурок
tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\displaystyle \tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}tg⁡α⋅cotg⁡α=1\displaystyle \tg\alpha \cdot \cotg\alpha = 1
Допълнителни ъглиурок
sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\displaystyle \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alphacos⁡(90∘−α)=sin⁡α\displaystyle \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha
Формули за 180° − αурок
sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\displaystyle \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alphacos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\displaystyle \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha
Синусова теоремаурок
asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R
Косинусова теоремаурок
c2=a2+b2−2abcos⁡γ\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma
Лице чрез синусурок
S=12 absin⁡γ=abc4R\displaystyle S = \frac{1}{2}\,ab\sin\gamma = \frac{abc}{4R}

Вектори

Вектор по координатиурок
AB→=(x2−x1;  y2−y1)\displaystyle \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1;\; y_2 - y_1)
„край минус начало“
Дължина на векторурок
∣a⃗∣=a12+a22\displaystyle |\vec a| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
Среда на отсечкаурок
M(x1+x22;  y1+y22)\displaystyle M\left(\frac{x_1 + x_2}{2};\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
Скаларно произведениеурок
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣ ∣b⃗∣cos⁡φ=a1b1+a2b2\displaystyle \vec a \cdot \vec b = |\vec a|\,|\vec b| \cos\varphi = a_1b_1 + a_2b_2
Перпендикулярностурок
a⃗⊥b⃗  ⟺  a⃗⋅b⃗=0\displaystyle \vec a \perp \vec b \iff \vec a \cdot \vec b = 0

Многоъгълници и окръжност

Сбор на ъглите на n-ъгълникурок
(n−2)⋅180∘\displaystyle (n - 2) \cdot 180^\circ
сборът на външните ъгли е 360°
Брой диагоналиурок
n(n−3)2\displaystyle \frac{n(n - 3)}{2}
Лице на правилен многоъгълникурок
S=12 Pr\displaystyle S = \frac{1}{2}\,P r
r – апотема
Правилен шестоъгълникурок
S=33 a22\displaystyle S = \frac{3\sqrt{3}\,a^2}{2}
Формула на Гаусурок
S=12∣x1y2−x2y1+x2y3−x3y2+⋯+xny1−x1yn∣\displaystyle S = \frac{1}{2}\left|x_1y_2 - x_2y_1 + x_2y_3 - x_3y_2 + \dots + x_ny_1 - x_1y_n\right|
Формула на Пикурок
S=I+B2−1\displaystyle S = I + \frac{B}{2} - 1
I – възли вътре, B – възли по контура
Дължина на окръжност и лице на кръгурок
C=2πr\displaystyle C = 2\pi rS=πr2\displaystyle S = \pi r^2
Дъга и секторурок
l=πrα180∘\displaystyle l = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ}S=πr2α360∘=l r2\displaystyle S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360^\circ} = \frac{l\,r}{2}
Радианурок
1 rad≈57,3∘\displaystyle 1\ \text{rad} \approx 57{,}3^\circl=αr\displaystyle l = \alpha r
α в радиани
Допирателни от външна точкаурок
PT1=PT2=OP2−r2\displaystyle PT_1 = PT_2 = \sqrt{OP^2 - r^2}
Вписан ъгълурок
вписан ъгъл=12⋅централен ъгъл\displaystyle \text{вписан ъгъл} = \frac{1}{2}\cdot\text{централен ъгъл}
Вписан четириъгълникурок
∠A+∠C=180∘\displaystyle \angle A + \angle C = 180^\circ

Стереометрия

Формула на Ойлерурок
V−E+F=2\displaystyle V - E + F = 2
Правоъгълен паралелепипедурок
V=abc\displaystyle V = abcS=2(ab+bc+ca)\displaystyle S = 2(ab + bc + ca)d=a2+b2+c2\displaystyle d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}
Кубурок
V=a3\displaystyle V = a^3S=6a2\displaystyle S = 6a^2d=a3\displaystyle d = a\sqrt{3}
Призма и пирамидаурок
V=Bh\displaystyle V = B hV=13Bh\displaystyle V = \frac{1}{3} B h
Цилиндърурок
V=πr2h\displaystyle V = \pi r^2 hS=2πr2+2πrh\displaystyle S = 2\pi r^2 + 2\pi r h
Конусурок
V=13πr2h\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 hS=πr2+πrl\displaystyle S = \pi r^2 + \pi r l
Кълбо и сфераурок
V=43πr3\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3S=4πr2\displaystyle S = 4\pi r^2

Комбинаторика и вероятности

Пермутацииурок
Pn=n!=1⋅2⋅…⋅n\displaystyle P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n
0! = 1
Пермутации с повторениеурок
n!k1! k2!⋯\displaystyle \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots}
Вариацииурок
V(n,k)=n!(n−k)!\displaystyle V(n, k) = \frac{n!}{(n - k)!}
с повторение: nᵏ
Комбинацииурок
C(n,k)=n!k! (n−k)!\displaystyle C(n, k) = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}
Свойства на комбинациитеурок
C(n,k)=C(n,n−k)\displaystyle C(n, k) = C(n, n - k)C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k)\displaystyle C(n, k) = C(n - 1, k - 1) + C(n - 1, k)
Бином на Нютонурок
(a+b)n=∑k=0nC(n,k) an−kbk\displaystyle (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k)\, a^{n-k} b^k
Принцип на чекмеджетатаурок
kn+1 предмета в n чекмеджета  ⇒  в някое има поне k+1\displaystyle kn + 1 \text{ предмета в } n \text{ чекмеджета} \;\Rightarrow\; \text{в някое има поне } k + 1
Класическа вероятностурок
P(A)=mn\displaystyle P(A) = \frac{m}{n}
Противоположно събитиеурок
P(Aˉ)=1−P(A)\displaystyle P(\bar A) = 1 - P(A)
Несъвместими и независими събитияурок
P(A∪B)=P(A)+P(B)\displaystyle P(A \cup B) = P(A) + P(B)P(A∩B)=P(A) P(B)\displaystyle P(A \cap B) = P(A)\,P(B)

Физика

Величини, единици и грешки

Научен записурок
x=a⋅10n,1≤a<10\displaystyle x = a \cdot 10^n, \quad 1 \le a < 10
Скорост: km/h и m/sурок
1 m/s=3,6 km/h\displaystyle 1\ \mathrm{m/s} = 3{,}6\ \mathrm{km/h}
Производни единициурок
1 N=1 kg⋅m/s2\displaystyle 1\ \mathrm{N} = 1\ \mathrm{kg \cdot m/s^2}1 J=1 N⋅m\displaystyle 1\ \mathrm{J} = 1\ \mathrm{N \cdot m}1 W=1 J/s\displaystyle 1\ \mathrm{W} = 1\ \mathrm{J/s}
Относителна грешкаурок
ε=Δxx\displaystyle \varepsilon = \frac{\Delta x}{x}
Грешка на сбор и разликаурок
Δ(a±b)=Δa+Δb\displaystyle \Delta(a \pm b) = \Delta a + \Delta b
Грешка на произведение, частно и степенурок
εab=εa/b=εa+εb\displaystyle \varepsilon_{ab} = \varepsilon_{a/b} = \varepsilon_a + \varepsilon_bεan=∣n∣ εa\displaystyle \varepsilon_{a^n} = |n|\,\varepsilon_a
Период на махало (от размерностите)урок
T=2πlg\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}
анализът дава √(l/g), константата 2π – пълното решение

Праволинейно движение

Средна скоростурок
vср=st\displaystyle v_{\text{ср}} = \frac{s}{t}
целият път през цялото време
Равномерно движениеурок
x=x0+vt\displaystyle x = x_0 + vt
Ускорениеурок
a=ΔvΔt\displaystyle a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
Равноускорително движениеурок
v=v0+at\displaystyle v = v_0 + atx=x0+v0t+at22\displaystyle x = x_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}
Формула без времетоурок
v2−v02=2a(x−x0)\displaystyle v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)
Спирачен пътурок
s=vtr+v22a\displaystyle s = vt_r + \frac{v^2}{2a}
t_r – време за реакция
Свободно паданеурок
h=gt22\displaystyle h = \frac{gt^2}{2}v=gt\displaystyle v = gthmax⁡=v022g\displaystyle h_{\max} = \frac{v_0^2}{2g}
g ≈ 9,81 m/s²

Движение в равнина

Компоненти на скоросттаурок
vx=vcos⁡α\displaystyle v_x = v\cos\alphavy=vsin⁡α\displaystyle v_y = v\sin\alphav=vx2+vy2\displaystyle v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
Хоризонтално хвърлянеурок
t=2hg\displaystyle t = \sqrt{\frac{2h}{g}}L=v02hg\displaystyle L = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}
Хвърляне под ъгъл: време на полетаурок
T=2v0sin⁡αg\displaystyle T = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}
Максимална височинаурок
H=v02sin⁡2α2g\displaystyle H = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}
Обхватурок
R=v02sin⁡2αg\displaystyle R = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}Rmax⁡=v02g\displaystyle R_{\max} = \frac{v_0^2}{g}
най-далеч при α = 45°; α и 90° − α дават еднакъв обхват
Събиране на скороститеурок
v⃗=u⃗+w⃗\displaystyle \vec{v} = \vec{u} + \vec{w}
скорост спрямо земята = спрямо подвижната система + на системата

Закони на Нютон

Втори закон на Нютонурок
F⃗=ma⃗\displaystyle \vec{F} = m\vec{a}
1 N = 1 kg·m/s²
Трети закон на Нютонурок
F⃗AB=−F⃗BA\displaystyle \vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}
силите действат на различни тела
Закон на Хукурок
F=kx\displaystyle F = kx
Сила на триенеурок
Fтр=μN\displaystyle F_{\text{тр}} = \mu NFпокой≤μsN\displaystyle F_{\text{покой}} \le \mu_s N
Наклонена равнинаурок
N=mgcos⁡α\displaystyle N = mg\cos\alphaa=g(sin⁡α−μcos⁡α)\displaystyle a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)
плъзга се при tg α > μ
Машина на Атуудурок
a=(m1−m2)gm1+m2\displaystyle a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2}T=2m1m2gm1+m2\displaystyle T = \frac{2m_1 m_2 g}{m_1 + m_2}
Тегло при ускорениеурок
N=m(g+a)\displaystyle N = m(g + a)
a > 0 нагоре; при свободно падане N = 0

Работа, енергия, мощност

Механична работаурок
W=Fscos⁡α\displaystyle W = Fs\cos\alpha
α – ъгълът между силата и преместването
Кинетична енергияурок
Ek=mv22\displaystyle E_k = \frac{mv^2}{2}W=Ek2−Ek1\displaystyle W = E_{k2} - E_{k1}
Потенциална енергияурок
Ep=mgh\displaystyle E_p = mghEp=kx22\displaystyle E_p = \frac{kx^2}{2}
тежест и пружина
Запазване на механичната енергияурок
Ek+Ep=const\displaystyle E_k + E_p = \text{const}v=2gh\displaystyle v = \sqrt{2gh}
без триене
Топлина от триенеурок
Q=Fтр⋅s\displaystyle Q = F_{\text{тр}} \cdot s
Мощностурок
P=Wt=Fv\displaystyle P = \frac{W}{t} = Fv
1 kWh = 3,6 MJ; 1 к.с. ≈ 735,5 W
Коефициент на полезно действиеурок
η=PполPизр\displaystyle \eta = \frac{P_{\text{пол}}}{P_{\text{изр}}}

Импулс и удари

Импулсурок
p⃗=mv⃗\displaystyle \vec{p} = m\vec{v}
Импулс на силатаурок
F⃗Δt=Δp⃗\displaystyle \vec{F}\Delta t = \Delta\vec{p}
Δp е лицето под графиката F(t)
Закон за запазване на импулсаурок
m1v⃗1+m2v⃗2=m1v⃗1′+m2v⃗2′\displaystyle m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2'
за затворена система
Напълно нееластичен ударурок
v=m1v1+m2v2m1+m2\displaystyle v = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}
Еластичен централен ударурок
v1′=(m1−m2)v1+2m2v2m1+m2\displaystyle v_1' = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2}v2′=(m2−m1)v2+2m1v1m1+m2\displaystyle v_2' = \frac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1 v_1}{m_1 + m_2}
Коефициент на възстановяванеурок
e=v2′−v1′v1−v2\displaystyle e = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2}
e = 1 – еластичен, e = 0 – напълно нееластичен
Формула на Циолковскиурок
Δv=uln⁡m0m1\displaystyle \Delta v = u \ln \frac{m_0}{m_1}
u – скорост на газовете спрямо ракетата

Въртене

Ъглова и линейна скоростурок
ω=2πT=2πν\displaystyle \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nuv=ωr\displaystyle v = \omega r
Центростремително ускорение и силаурок
a=v2r=ω2r\displaystyle a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 rF=mv2r\displaystyle F = \frac{mv^2}{r}
F е резултантната на истинските сили, насочена към центъра
Най-малка скорост в горната точка на лупингурок
v=gr\displaystyle v = \sqrt{gr}
Момент на сила и основен закон за въртенетоурок
M=Fd\displaystyle M = FdM=Iα\displaystyle M = I\alpha
d – рамо (перпендикуляр от оста до линията на силата)
Инерчни моментиурок
Iобръч=mR2\displaystyle I_{\text{обръч}} = mR^2Iдиск=12mR2\displaystyle I_{\text{диск}} = \frac{1}{2}mR^2Iкълбо=25mR2\displaystyle I_{\text{кълбо}} = \frac{2}{5}mR^2
Кинетична енергия при въртене и търкалянеурок
E=Iω22\displaystyle E = \frac{I\omega^2}{2}E=mv22+Iω22\displaystyle E = \frac{mv^2}{2} + \frac{I\omega^2}{2}
Скорост при търкаляне от височина hурок
v=2gh1+k,I=kmR2\displaystyle v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + k}}, \quad I = kmR^2
Момент на импулсаурок
L=Iω\displaystyle L = I\omegaI1ω1=I2ω2\displaystyle I_1\omega_1 = I_2\omega_2
запазва се без външен момент на сила

Статика и флуиди

Момент на силаурок
M=F⋅d\displaystyle M = F \cdot d
d – рамо, перпендикулярно на линията на силата
Условия за равновесиеурок
∑F⃗=0\displaystyle \sum \vec{F} = 0∑M=0\displaystyle \sum M = 0
Правило на лостаурок
F1d1=F2d2\displaystyle F_1 d_1 = F_2 d_2
Наляганеурок
p=FS\displaystyle p = \frac{F}{S}p=p0+ρgh\displaystyle p = p_0 + \rho g h
p₀ ≈ 101 kPa
Хидравлична пресаурок
F2F1=S2S1\displaystyle \frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1}S1s1=S2s2\displaystyle S_1 s_1 = S_2 s_2
Архимедова силаурок
FA=ρфл g Vпот\displaystyle F_A = \rho_{\text{фл}}\, g\, V_{\text{пот}}
Плаванеурок
VпотV=ρтρфл\displaystyle \frac{V_{\text{пот}}}{V} = \frac{\rho_{\text{т}}}{\rho_{\text{фл}}}
Непрекъснатост и Бернулиурок
S1v1=S2v2\displaystyle S_1 v_1 = S_2 v_2p+ρv22+ρgh=const\displaystyle p + \frac{\rho v^2}{2} + \rho g h = \text{const}

Трептения

Период, честота и ъглова честотаурок
f=1T\displaystyle f = \frac{1}{T}ω=2πT=2πf\displaystyle \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f
Хармонично трептенеурок
x=Acos⁡(ωt+φ)\displaystyle x = A\cos(\omega t + \varphi)a=−ω2x\displaystyle a = -\omega^2 x
Най-голяма скорост и ускорениеурок
vmax⁡=Aω\displaystyle v_{\max} = A\omegaamax⁡=Aω2\displaystyle a_{\max} = A\omega^2
скоростта – в равновесието, ускорението – в крайните положения
Пружинно махалоурок
T=2πmk\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
Математическо махалоурок
T=2πlg\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}
при малки ъгли; при по-големи T ≈ T₀(1 + θ₀²/16)
Енергия на трептенеурок
kx22+mv22=kA22\displaystyle \frac{kx^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = \frac{kA^2}{2}

Вълни

Скорост на вълнатаурок
v=λf=λT\displaystyle v = \lambda f = \frac{\lambda}{T}
скоростта зависи от средата, честотата – от източника
Скорост на вълна по струнаурок
v=Fμ\displaystyle v = \sqrt{\frac{F}{\mu}}
μ – маса на единица дължина
Бягаща вълнаурок
y=Asin⁡(ωt−kx)\displaystyle y = A\sin(\omega t - kx)k=2πλ\displaystyle k = \frac{2\pi}{\lambda}
Интерференцияурок
Δ=nλ\displaystyle \Delta = n\lambdaΔ=(n+12)λ\displaystyle \Delta = \left(n + \frac{1}{2}\right)\lambda
усилване и отслабване при източници в една фаза
Стояща вълна по струнаурок
L=nλn2\displaystyle L = n\frac{\lambda_n}{2}fn=nv2L\displaystyle f_n = \frac{nv}{2L}
Ефект на Доплер за звукурок
f=f0 u±vnu∓vs\displaystyle f = f_0\,\frac{u \pm v_n}{u \mp v_s}
u – скорост на звука; горните знаци – при сближаване
Конус на Махурок
sin⁡θ=uv\displaystyle \sin\theta = \frac{u}{v}
u – скорост на звука, v – на източника

Звук

Скорост на звука във въздухаурок
v≈331+0,6 t\displaystyle v \approx 331 + 0{,}6\,tv=λf\displaystyle v = \lambda f
v в m/s, t в °C; при 20 °C около 343 m/s
Ехоурок
d=vt2\displaystyle d = \frac{vt}{2}
t – времето до връщането на ехото
Ниво на звукаурок
L=10lg⁡II0,I0=10−12 W/m2\displaystyle L = 10 \lg \frac{I}{I_0}, \quad I_0 = 10^{-12}\ \mathrm{W/m^2}
+10 dB = 10 пъти по-голям интензитет
Интензитет на точков източникурок
I=P4πr2\displaystyle I = \frac{P}{4\pi r^2}
Струна и отворена тръбаурок
fn=nv2L\displaystyle f_n = \frac{nv}{2L}
Тръба, затворена в единия крайурок
f=(2n−1)v4L\displaystyle f = \frac{(2n - 1)v}{4L}
само нечетни хармоници
Ноти и биенеурок
f=440⋅2n/12\displaystyle f = 440 \cdot 2^{n/12}fb=∣f1−f2∣\displaystyle f_b = |f_1 - f_2|
n – полутонове от ла₄ = 440 Hz

Температура и топлина

Температурни скалиурок
T=t+273,15\displaystyle T = t + 273{,}15tF=1,8 t+32\displaystyle t_F = 1{,}8\,t + 32
T в K, t в °C; абсолютната нула е −273,15 °C
Линейно разширениеурок
ΔL=αL0Δt\displaystyle \Delta L = \alpha L_0 \Delta t
за стомана α ≈ 1,2 · 10⁻⁵ K⁻¹
Количество топлинаурок
Q=mcΔt\displaystyle Q = mc\Delta t
за водата c ≈ 4200 J/(kg·K)
Топлинен балансурок
Qотд=Qпол\displaystyle Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}t=m1t1+m2t2m1+m2\displaystyle t = \frac{m_1 t_1 + m_2 t_2}{m_1 + m_2}
втората формула – при смесване на еднакви вещества
Топене и изпарениеурок
Q=λm\displaystyle Q = \lambda mQ=Lm\displaystyle Q = Lm
лед: λ ≈ 334 kJ/kg; вода: L ≈ 2,26 · 10⁶ J/kg
Топлопроводност през стенаурок
q=kSΔtd\displaystyle q = \frac{kS\Delta t}{d}R=dk\displaystyle R = \frac{d}{k}
съпротивленията на слоевете се събират

Идеален газ

Количество веществоурок
n=NNA=mM\displaystyle n = \frac{N}{N_A} = \frac{m}{M}
N_A = 6,022 · 10²³ mol⁻¹
Газови закониурок
pV=const\displaystyle pV = \text{const}VT=const\displaystyle \frac{V}{T} = \text{const}pT=const\displaystyle \frac{p}{T} = \text{const}
Бойл–Мариот (T = const), Гей-Люсак (p = const), Шарл (V = const)
Обединен газов законурок
p1V1T1=p2V2T2\displaystyle \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}
T – абсолютна температура, T = t + 273,15
Уравнение на състояниетоурок
pV=nRT=NkT\displaystyle pV = nRT = NkT
R = 8,314 J/(mol·K), k = 1,381 · 10⁻²³ J/K; при 0 °C и 101,3 kPa един мол заема 22,4 L
Плътност на газурок
ρ=pMRT\displaystyle \rho = \frac{pM}{RT}
Основно уравнение на молекулно-кинетичната теорияурок
p=13ρ v2‾\displaystyle p = \frac{1}{3}\rho\,\overline{v^2}Ek‾=32kT\displaystyle \overline{E_k} = \frac{3}{2}kT
Средна квадратична скоростурок
vск=3kTm0=3RTM\displaystyle v_{\text{ск}} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}
M в kg/mol

Термодинамика

Вътрешна енергия на едноатомен газурок
U=32nRT=32pV\displaystyle U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}pV
за двуатомен газ около 5/2 nRT
Работа на газаурок
W=pΔV\displaystyle W = p\Delta VW=∫V1V2p dV\displaystyle W = \int_{V_1}^{V_2} p\,dV
лицето под кривата в p–V диаграмата
Първи принцип на термодинамикатаурок
Q=ΔU+W\displaystyle Q = \Delta U + W
W – работата, извършена от газа
Изотермен и адиабатен процесурок
W=nRTln⁡V2V1\displaystyle W = nRT\ln\frac{V_2}{V_1}pVγ=const\displaystyle pV^{\gamma} = \text{const}
γ = 5/3 за едноатомен газ, около 1,4 за въздух
КПД на топлинен двигателурок
η=WQ1=1−Q2Q1\displaystyle \eta = \frac{W}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}
КПД на Карноурок
ηmax⁡=1−T2T1\displaystyle \eta_{\max} = 1 - \frac{T_2}{T_1}
температурите в келвини; 1 – нагревател, 2 – хладилник
Термопомпаурок
COP=Q1W≤T1T1−T2\displaystyle \mathrm{COP} = \frac{Q_1}{W} \le \frac{T_1}{T_1 - T_2}
Ентропияурок
ΔS=QT\displaystyle \Delta S = \frac{Q}{T}
в изолирана система ентропията не намалява

Електростатика

Елементарен зарядурок
q=Ne\displaystyle q = Nee=1,602⋅10−19 C\displaystyle e = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}
зарядът се запазва и е кратен на e
Закон на Кулонурок
F=k∣q1q2∣r2\displaystyle F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}k=14πε0≈8,99⋅109 N⋅m2/C2\displaystyle k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8{,}99 \cdot 10^9\ \mathrm{N \cdot m^2/C^2}
в диелектрик силата е ε пъти по-малка
Интензитет на електричното полеурок
E⃗=F⃗q\displaystyle \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}E=kQr2\displaystyle E = k\frac{Q}{r^2}
второто – за точков заряд; полетата се събират като вектори
Напрежение и работа на полетоурок
U=φ1−φ2=Aq\displaystyle U = \varphi_1 - \varphi_2 = \frac{A}{q}φ=kQr\displaystyle \varphi = k\frac{Q}{r}
Еднородно полеурок
E=Ud\displaystyle E = \frac{U}{d}
между успоредни заредени плочи
Електронволтурок
1 eV=1,602⋅10−19 J\displaystyle 1\ \mathrm{eV} = 1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{J}eU=mv22\displaystyle eU = \frac{mv^2}{2}
енергия на електрон, ускорен от покой с напрежение U

Кондензатори

Капацитетурок
C=qU\displaystyle C = \frac{q}{U}
1 F = 1 C/V; на практика µF, nF, pF
Плосък кондензаторурок
C=ε0εSd\displaystyle C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}E=Ud\displaystyle E = \frac{U}{d}
ε₀ ≈ 8,85 · 10⁻¹² F/m
Енергия на кондензаторурок
W=CU22=qU2=q22C\displaystyle W = \frac{CU^2}{2} = \frac{qU}{2} = \frac{q^2}{2C}
Успоредно свързванеурок
C=C1+C2+…\displaystyle C = C_1 + C_2 + \ldots
еднакво напрежение, зарядите се събират
Последователно свързванеурок
1C=1C1+1C2+…\displaystyle \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \ldots
еднакъв заряд, напреженията се събират
Зареждане и разреждане през резисторурок
UC=E(1−e−t/τ)\displaystyle U_C = \mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)UC=U0e−t/τ\displaystyle U_C = U_0 e^{-t/\tau}τ=RC\displaystyle \tau = RC
за τ – около 63 %, за 5τ – практически напълно

Постоянен ток

Сила на токаурок
I=qt\displaystyle I = \frac{q}{t}
1 A = 1 C/s; условната посока е от + към − по външната верига
Закон на Ом за участък от веригаурок
I=UR\displaystyle I = \frac{U}{R}
Съпротивление на проводникурок
R=ρlS\displaystyle R = \rho\frac{l}{S}
за мед ρ ≈ 1,7 · 10⁻⁸ Ω·m
Последователно и успоредно свързванеурок
R=R1+R2\displaystyle R = R_1 + R_21R=1R1+1R2\displaystyle \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}
Правила на Кирхофурок
∑Iвх=∑Iизх\displaystyle \sum I_{\text{вх}} = \sum I_{\text{изх}}∑E=∑IR\displaystyle \sum \mathcal{E} = \sum IR
второто – по затворен контур
Работа и мощност на токаурок
W=UIt\displaystyle W = UItP=UI=I2R=U2R\displaystyle P = UI = I^2R = \frac{U^2}{R}
1 kWh = 3,6 MJ
Закон на Ом за цялата веригаурок
I=ER+r\displaystyle I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}U=E−Ir\displaystyle U = \mathcal{E} - Ir
Най-голяма мощност в товараурок
Pmax⁡=E24rпри R=r\displaystyle P_{\max} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r} \quad \text{при } R = r
тогава КПД е 50%

Магнитно поле

Поле на прав проводникурок
B=μ0I2πr\displaystyle B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}
μ₀ = 4π · 10⁻⁷ T·m/A; посоката – по правилото на дясната ръка
Поле в бобина (соленоид)урок
B=μ0nI\displaystyle B = \mu_0 n I
n – брой навивки на метър
Сила на Амперурок
F=BIlsin⁡α\displaystyle F = BIl\sin\alpha
посоката – по правилото на лявата ръка
Сила между успоредни токовеурок
Fl=μ0I1I22πd\displaystyle \frac{F}{l} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}
еднопосочните токове се привличат
Сила на Лоренцурок
F=∣q∣vBsin⁡α\displaystyle F = |q|vB\sin\alpha
перпендикулярна на скоростта, не извършва работа
Заряд в еднородно магнитно полеурок
r=mv∣q∣B\displaystyle r = \frac{mv}{|q|B}T=2πm∣q∣B\displaystyle T = \frac{2\pi m}{|q|B}
периодът не зависи от скоростта
Селектор на скоростиурок
v=EB\displaystyle v = \frac{E}{B}
Въртящ момент на рамка с токурок
M=NBISsin⁡θ\displaystyle M = NBIS\sin\theta
θ – ъгълът между перпендикуляра към рамката и силовите линии

Електромагнитна индукция

Магнитен потокурок
Φ=BScos⁡α\displaystyle \Phi = BS\cos\alpha
α – ъгълът между B и нормалата; 1 Wb = 1 T·m²
Закон на Фарадейурок
E=−NΔΦΔt\displaystyle \mathcal{E} = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}
минусът е правилото на Ленц
ЕДН в движещ се проводникурок
E=Blv\displaystyle \mathcal{E} = Blv
ЕДН на генераторурок
E=NBSωsin⁡ωt\displaystyle \mathcal{E} = NBS\omega\sin\omega tEmax⁡=NBSω\displaystyle \mathcal{E}_{\max} = NBS\omega
Самоиндукцияурок
E=−LΔIΔt\displaystyle \mathcal{E} = -L\frac{\Delta I}{\Delta t}W=LI22\displaystyle W = \frac{LI^2}{2}
L – индуктивност, единица хенри (H)
Трансформаторурок
U2U1=N2N1\displaystyle \frac{U_2}{U_1} = \frac{N_2}{N_1}U1I1=U2I2\displaystyle U_1 I_1 = U_2 I_2
за идеален трансформатор
Загуби при преносурок
Pзаг=I2R=P2RU2\displaystyle P_{\text{заг}} = I^2 R = \frac{P^2 R}{U^2}
десет пъти по-високо напрежение – сто пъти по-малки загуби

Променлив ток и ЕМ вълни

Променливо напрежениеурок
u=Umsin⁡ωt\displaystyle u = U_m \sin \omega tω=2πf=2πT\displaystyle \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}
мрежата в Европа: 50 Hz
Ефективни стойностиурок
U=Um2\displaystyle U = \frac{U_m}{\sqrt{2}}I=Im2\displaystyle I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}
230 V ефективно = около 325 V максимално
Средна мощност в резисторурок
P=UI=I2R=U2R\displaystyle P = UI = I^2 R = \frac{U^2}{R}
с ефективните стойности
Капацитивно и индуктивно съпротивлениеурок
XC=1ωC\displaystyle X_C = \frac{1}{\omega C}XL=ωL\displaystyle X_L = \omega L
Импеданс на последователна RLC веригаурок
Z=R2+(XL−XC)2\displaystyle Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}
при резонанс X_L = X_C и Z = R
Формула на Томсънурок
T=2πLC\displaystyle T = 2\pi\sqrt{LC}f0=12πLC\displaystyle f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
Скорост на електромагнитните вълниурок
c=1ε0μ0≈3,00⋅108 m/s\displaystyle c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} \approx 3{,}00 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}c=λf\displaystyle c = \lambda f

Отражение и пречупване

Закон за отражениетоурок
α′=α\displaystyle \alpha' = \alpha
ъглите се мерят от нормалата към повърхността
Фокус на сферично огледалоурок
f=R2\displaystyle f = \frac{R}{2}
вдлъбнато – действителен фокус, изпъкнало – мним
Показател на пречупванеурок
n=cv\displaystyle n = \frac{c}{v}
вода 1,33; стъкло около 1,5; диамант 2,42
Закон на Снелурок
n1sin⁡α=n2sin⁡β\displaystyle n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta
Критичен ъгълурок
sin⁡αкр=n2n1\displaystyle \sin\alpha_{\text{кр}} = \frac{n_2}{n_1}
пълно вътрешно отражение само при n₁ > n₂
Видима дълбочинаурок
h′≈hn\displaystyle h' \approx \frac{h}{n}
при почти отвесно гледане
Дъгаурок
θ≈42∘\displaystyle \theta \approx 42^{\circ}θ2≈51∘\displaystyle \theta_2 \approx 51^{\circ}
от точката срещу Слънцето; червеното е отвън при основната дъга

Лещи и оптични уреди

Оптична силаурок
D=1f\displaystyle D = \frac{1}{f}D=D1+D2\displaystyle D = D_1 + D_2
f в метри, D в диоптри; за разсейвателна леща f < 0; второто – за долепени лещи
Формула на тънката лещаурок
1f=1d+1d′\displaystyle \frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d'}
d' > 0 – реален образ, d' < 0 – въображаем
Увеличениеурок
Γ=h′h=∣d′∣d\displaystyle \Gamma = \frac{h'}{h} = \frac{|d'|}{d}
реалният образ е обърнат, въображаемият – прав
Очила за късогледурок
D=−1a\displaystyle D = -\frac{1}{a}
a – далечната точка на окото в метри
Лупаурок
Γ≈25 cmf\displaystyle \Gamma \approx \frac{25\ \mathrm{cm}}{f}Γ=1+25 cmf\displaystyle \Gamma = 1 + \frac{25\ \mathrm{cm}}{f}
образ в безкрайност / образ на 25 cm
Микроскопурок
M≈Lfоб⋅25 cmfок\displaystyle M \approx \frac{L}{f_{\text{об}}} \cdot \frac{25\ \mathrm{cm}}{f_{\text{ок}}}
L – оптична дължина на тубуса

Вълнова оптика

Опит на Юнгурок
dsin⁡θ=kλ\displaystyle d\sin\theta = k\lambdaΔy=λLd\displaystyle \Delta y = \frac{\lambda L}{d}
максимуми; минимуми при d sin θ = (k + 1/2)λ
Дифракция на една цепнатинаурок
asin⁡θ=λ\displaystyle a\sin\theta = \lambda
първият минимум; a – ширина на цепнатината
Разделителна способностурок
θ≈1,22 λD\displaystyle \theta \approx 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}
в радиани; D – диаметър на отвора
Дифракционна решеткаурок
dsin⁡θ=kλ\displaystyle d\sin\theta = k\lambdad=1N\displaystyle d = \frac{1}{N}∣k∣<dλ\displaystyle |k| < \frac{d}{\lambda}
N – брой линии на единица дължина
Тънък слой във въздухаурок
2nd=(k+12)λ\displaystyle 2nd = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda
усилване при едно обръщане на фазата (сапунен филм)
Антиотражателно покритиеурок
d=λ4n\displaystyle d = \frac{\lambda}{4n}
Закон на Малюсурок
I=I0cos⁡2φ\displaystyle I = I_0\cos^2\varphi
неполяризирана светлина след поляризатор: I₀/2
Ъгъл на Брюстерурок
tg⁡θB=n\displaystyle \tg\theta_B = n
отразената светлина е напълно поляризирана

Фотони и фотоефект

Енергия на фотонаурок
E=hf=hcλ\displaystyle E = hf = \frac{hc}{\lambda}E [eV]≈1240λ [nm]\displaystyle E\,[\mathrm{eV}] \approx \frac{1240}{\lambda\,[\mathrm{nm}]}
1 eV = 1,6 · 10⁻¹⁹ J
Уравнение на Айнщайн за фотоефектаурок
hf=A+Ek,max⁡\displaystyle hf = A + E_{k,\max}
Червена границаурок
f0=Ah\displaystyle f_0 = \frac{A}{h}λ0=hcA\displaystyle \lambda_0 = \frac{hc}{A}
фотоефект има при f > f₀, т.е. λ < λ₀
Спиращо напрежениеурок
eUs=Ek,max⁡=hf−A\displaystyle eU_s = E_{k,\max} = hf - AUs=hef−Ae\displaystyle U_s = \frac{h}{e}f - \frac{A}{e}
Импулс на фотона и светлинно наляганеурок
p=Ec=hλ\displaystyle p = \frac{E}{c} = \frac{h}{\lambda}F=Pc (поглъщане),F=2Pc (отражение)\displaystyle F = \frac{P}{c}\ \text{(поглъщане)}, \quad F = \frac{2P}{c}\ \text{(отражение)}
Ефект на Комптънурок
Δλ=hmc(1−cos⁡θ)\displaystyle \Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\theta)hmc≈2,43 pm\displaystyle \frac{h}{mc} \approx 2{,}43\ \mathrm{pm}
Дължина на вълната на дьо Бройлурок
λ=hp=hmv\displaystyle \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}λ=h2meU\displaystyle \lambda = \frac{h}{\sqrt{2meU}}
последното – за електрон, ускорен от покой с напрежение U

Атомът

Най-малко разстояние при челен удар (Ръдърфорд)урок
d=2Zke2Ek\displaystyle d = \frac{2Zke^2}{E_k}ke2≈1,44 MeV⋅fm\displaystyle ke^2 \approx 1{,}44\ \mathrm{MeV \cdot fm}
α-частица със заряд 2e към ядро със заряд Ze
Ъгъл на разсейванеурок
tg⁡θ2=d2b\displaystyle \operatorname{tg}\frac{\theta}{2} = \frac{d}{2b}
b – прицелен параметър
Правило на Бор за орбититеурок
mvr=nℏ\displaystyle mvr = n\hbarℏ=h2π\displaystyle \hbar = \frac{h}{2\pi}
Радиуси на орбититеурок
rn=n2a0Z\displaystyle r_n = \frac{n^2 a_0}{Z}a0≈0,053 nm\displaystyle a_0 \approx 0{,}053\ \mathrm{nm}
Z = 1 за водорода
Енергетични ниваурок
En=−13,6 eV⋅Z2n2\displaystyle E_n = -\frac{13{,}6\ \mathrm{eV} \cdot Z^2}{n^2}
атом или йон с един електрон
Фотон при преходурок
hf=Em−En\displaystyle hf = E_m - E_nλ[nm]≈1240ΔE[eV]\displaystyle \lambda[\mathrm{nm}] \approx \frac{1240}{\Delta E[\mathrm{eV}]}
Брой спектрални линииурок
N=n(n−1)2\displaystyle N = \frac{n(n - 1)}{2}
при връщане от ниво n в основно състояние

Ядро и радиоактивност

Състав на ядротоурок
ZAX\displaystyle {}^{A}_{Z}\mathrm{X}N=A−Z\displaystyle N = A - Zr≈1,2 fm⋅A1/3\displaystyle r \approx 1{,}2\ \mathrm{fm} \cdot A^{1/3}
Z – протони, N – неутрони, A – нуклони
Дефект на масата и енергия на връзкатаурок
Δm=Zmp+Nmn−mя\displaystyle \Delta m = Zm_p + Nm_n - m_{\text{я}}Eсв=Δm c2\displaystyle E_{\text{св}} = \Delta m\,c^2
1 u ↔ 931,5 MeV; с масите на атомите вместо m_p се взема масата на водородния атом
α-разпаданеурок
ZAX→Z−2A−4Y+24He\displaystyle {}^{A}_{Z}\mathrm{X} \to {}^{A-4}_{Z-2}\mathrm{Y} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}
β⁻-разпаданеурок
ZAX→Z+1AY+e−+νˉe\displaystyle {}^{A}_{Z}\mathrm{X} \to {}^{A}_{Z+1}\mathrm{Y} + e^- + \bar{\nu}_e
в ядрото неутрон става протон; при γ-лъчение A и Z не се менят
Закон за радиоактивното разпаданеурок
N=N0⋅2−t/T=N0e−λt\displaystyle N = N_0 \cdot 2^{-t/T} = N_0 e^{-\lambda t}λ=ln⁡2T\displaystyle \lambda = \frac{\ln 2}{T}
T – период на полуразпадане
Активностурок
A=λN\displaystyle A = \lambda N1 Bq=1 s−1\displaystyle 1\ \mathrm{Bq} = 1\ \mathrm{s^{-1}}
Енергия на ядрена реакцияурок
Q=(∑mпреди−∑mслед)c2\displaystyle Q = \left(\sum m_{\text{преди}} - \sum m_{\text{след}}\right)c^2
делене на ²³⁵U ≈ 200 MeV; ²H + ³H → ⁴He + n: 17,6 MeV

Вълнова функция и неопределеност

Правило на Борнурок
P=∣ψ(x)∣2 Δx\displaystyle P = |\psi(x)|^2\,\Delta x
вероятност частицата да бъде открита в малък интервал Δx около x
Суперпозицияурок
P=∣ψ1+ψ2∣2\displaystyle P = |\psi_1 + \psi_2|^2
събират се амплитудите, не вероятностите
Принцип на неопределеносттаурок
Δx⋅Δpx≥ℏ2\displaystyle \Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}ℏ=h2π≈1,05⋅10−34 J⋅s\displaystyle \hbar = \frac{h}{2\pi} \approx 1{,}05 \cdot 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}
Време на живот и ширина на нивотоурок
ΔE≈ℏτ\displaystyle \Delta E \approx \frac{\hbar}{\tau}Δf≈12πτ\displaystyle \Delta f \approx \frac{1}{2\pi\tau}
Енергия на затворена частица (оценка)урок
Ek≈ℏ22mr2\displaystyle E_k \approx \frac{\hbar^2}{2mr^2}
p ≈ ħ/r за частица в област с размер r
Радиус на Бор и енергия на водорода от оценкатаурок
a0=ℏ2mke2≈0,0529 nm\displaystyle a_0 = \frac{\hbar^2}{mke^2} \approx 0{,}0529\ \mathrm{nm}E=−ke22a0≈−13,6 eV\displaystyle E = -\frac{ke^2}{2a_0} \approx -13{,}6\ \mathrm{eV}
минимумът на E(r) = ħ²/(2mr²) − ke²/r; за йон със заряд Ze: a₀/Z и −13,6·Z² eV
Гаусов вълнов пакетурок
Δx⋅Δk=12\displaystyle \Delta x \cdot \Delta k = \frac{1}{2}p=ℏk\displaystyle p = \hbar k

Частица в кутия и тунелен ефект

Стоящи вълни в кутияурок
λn=2Ln\displaystyle \lambda_n = \frac{2L}{n}pn=nh2L\displaystyle p_n = \frac{nh}{2L}
n = 1, 2, 3, …
Енергия на частица в кутияурок
En=n2h28mL2=n2E1\displaystyle E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2} = n^2E_1
за електрон h²/(8mₑ) ≈ 0,376 eV·nm²
Вълнови функции в кутияурок
ψn(x)=2Lsin⁡nπxL\displaystyle \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L}
n − 1 възела вътре в кутията
Преход между ниватаурок
hf=En−Em=(n2−m2)h28mL2\displaystyle hf = E_n - E_m = (n^2 - m^2)\frac{h^2}{8mL^2}
Затихване в забранената областурок
ψ∝e−κx\displaystyle \psi \propto e^{-\kappa x}κ=2m(U−E)ℏ\displaystyle \kappa = \frac{\sqrt{2m(U - E)}}{\hbar}
за електрон κ [nm⁻¹] ≈ 5,12·√(U − E [eV]); дълбочина на проникване ≈ 1/κ
Прозрачност на бариера (тунелен ефект)урок
T≈e−2κd\displaystyle T \approx e^{-2\kappa d}
при κd ≫ 1; d – ширина на бариерата

Квантовият атом

Квантови числаурок
n=1,2,…\displaystyle n = 1, 2, \ldotsl=0,…,n−1\displaystyle l = 0, \ldots, n - 1ml=−l,…,l\displaystyle m_l = -l, \ldots, lms=±12\displaystyle m_s = \pm\frac{1}{2}
l = 0, 1, 2, 3 → подслоеве s, p, d, f
Брой орбитали и електрониурок
подслой: 2l+1 орбитали, 2(2l+1) e−\displaystyle \text{подслой: } 2l + 1 \text{ орбитали, } 2(2l + 1)\ e^-слой: n2 орбитали, 2n2 e−\displaystyle \text{слой: } n^2 \text{ орбитали, } 2n^2\ e^-
по принципа на Паули – до 2 електрона в орбитала
Момент на импулса в атомаурок
L=ℏl(l+1)\displaystyle L = \hbar\sqrt{l(l + 1)}Lz=mlℏ\displaystyle L_z = m_l\hbarSz=±ℏ2\displaystyle S_z = \pm\frac{\hbar}{2}
Радиална вероятностурок
P(r) dr=r2R2(r) dr\displaystyle P(r)\,dr = r^2 R^2(r)\,drrнай-вер.=n2a0 (l=n−1)\displaystyle r_{\text{най-вер.}} = n^2 a_0 \ (l = n - 1)
за 1s: P(r) = 4r²/a₀³ · e^(−2r/a₀), максимум при r = a₀
Магнетон на Бор и сила в нееднородно полеурок
μB=eℏ2me≈9,27⋅10−24 J/T\displaystyle \mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} \approx 9{,}27 \cdot 10^{-24}\ \mathrm{J/T}Fz=μz∂B∂z\displaystyle F_z = \mu_z \frac{\partial B}{\partial z}
μ_B ≈ 5,79·10⁻⁵ eV/T; опитът на Щерн и Герлах
Ефект на Зееман (нормален)урок
ΔE=mlμBB\displaystyle \Delta E = m_l \mu_B BΔλλ=ΔEE\displaystyle \frac{\Delta\lambda}{\lambda} = \frac{\Delta E}{E}
нивото с орбитално число l се разцепва на 2l + 1 поднива
Последователни измервания на спинаурок
P(нагоре по нова ос)=cos⁡2θ2\displaystyle P(\text{нагоре по нова ос}) = \cos^2\frac{\theta}{2}
θ – ъгълът между старата и новата ос

Астрономия

Въведение

Време за светлинатаурок
t=dc,\displaystyle t = \frac{d}{c},c≈3⋅108 m/s\displaystyle c \approx 3 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}
Слънце – 8,3 min, Луна – 1,3 s; виждаме обекта такъв, какъвто е бил преди t
Ъгъл при малки размериурок
α=Dd (rad)≈57,3∘⋅Dd≈206 265′′⋅Dd\displaystyle \alpha = \frac{D}{d}\ (\mathrm{rad}) \approx 57{,}3^\circ \cdot \frac{D}{d} \approx 206\,265'' \cdot \frac{D}{d}
при d много по-голямо от D; Слънцето и Луната – около 0,5°
Единици за разстояниеурок
1 AU≈1,496⋅108 km\displaystyle 1\ \mathrm{AU} \approx 1{,}496 \cdot 10^{8}\ \mathrm{km}1 ly≈9,46⋅1012 km\displaystyle 1\ \mathrm{ly} \approx 9{,}46 \cdot 10^{12}\ \mathrm{km}1 pc≈3,26 ly≈206 265 AU\displaystyle 1\ \mathrm{pc} \approx 3{,}26\ \mathrm{ly} \approx 206\,265\ \mathrm{AU}
Ъглови единициурок
1∘=60′=3600′′\displaystyle 1^\circ = 60' = 3600''1 rad≈57,3∘≈206 265′′\displaystyle 1\ \mathrm{rad} \approx 57{,}3^\circ \approx 206\,265''

Небесна сфера и време

Височина на полюсаурок
hP=φ\displaystyle h_P = \varphi
Зенитно разстояниеурок
z=90∘−h\displaystyle z = 90^\circ - h
Звездно времеурок
S=t+α\displaystyle S = t + \alpha
в горна кулминация S = α
Часове и градусиурок
1h=15∘\displaystyle 1^{\mathrm h} = 15^\circ1m=15′\displaystyle 1^{\mathrm m} = 15'1s=15′′\displaystyle 1^{\mathrm s} = 15''
Звездно и слънчево денонощиеурок
T⊙=T⋆⋅366,26365,26\displaystyle T_\odot = T_\star \cdot \frac{366{,}26}{365{,}26}
T★ = 23h 56m 04s
Изгрев и залезурок
cos⁡t0=−tg⁡φ⋅tg⁡δ\displaystyle \cos t_0 = -\tg\varphi \cdot \tg\delta
продължителност на деня 2t₀ / 15°
Линейна скорост на въртенеурок
v=2πRcos⁡φT\displaystyle v = \frac{2\pi R\cos\varphi}{T}
Синодичен месецурок
1S=1T⋆−1T⊕\displaystyle \frac{1}{S} = \frac{1}{T_\star} - \frac{1}{T_\oplus}
T★ = 27,32 дни – сидеричен месец
Синодичен период на планета
1S=∣1T−1T⊕∣\displaystyle \frac{1}{S} = \left|\frac{1}{T} - \frac{1}{T_\oplus}\right|
T – сидеричен период на планетата
Слънчево денонощие на планетаурок
1Pслънч=1Pсид∓1T\displaystyle \frac{1}{P_\text{слънч}} = \frac{1}{P_\text{сид}} \mp \frac{1}{T}
− при въртене в посоката на обикаляне

Гравитация и орбити

Закон за всемирното привличанеурок
F=G m1m2r2\displaystyle F = G\,\frac{m_1 m_2}{r^2}
Ускорение на свободното паданеурок
g=GMR2\displaystyle g = \frac{GM}{R^2}g(h)=g0(RR+h)2\displaystyle g(h) = g_0 \left(\frac{R}{R + h}\right)^2
Приливно ускорениеурок
a≈2GMRd3\displaystyle a \approx \frac{2GMR}{d^3}
Трети закон на Кеплерурок
T2=a3\displaystyle T^2 = a^3
T в години, a в AU, около Слънцето
Трети закон във формата на Нютонурок
T2=4π2a3G(M+m)\displaystyle T^2 = \frac{4\pi^2 a^3}{G(M + m)}
Маса от орбитаурок
M=4π2a3GT2\displaystyle M = \frac{4\pi^2 a^3}{G T^2}
Перихелий и афелийурок
rp=a(1−e)\displaystyle r_p = a(1 - e)ra=a(1+e)\displaystyle r_a = a(1 + e)
Малка полуосурок
b=a1−e2\displaystyle b = a\sqrt{1 - e^2}
Кръгова (първа космическа) скоростурок
v1=GMr\displaystyle v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r}}
за Земята 7,9 km/s
Скорост за бягство (втора космическа)урок
v2=2GMr=2 v1\displaystyle v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{2}\, v_1
за Земята 11,2 km/s
Уравнение vis-vivaурок
v2=GM(2r−1a)\displaystyle v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)
Скорост около Слънцетоурок
v=29,78 kms⋅2r−1a\displaystyle v = 29{,}78\ \tfrac{\text{km}}{\text{s}} \cdot \sqrt{\frac{2}{r} - \frac{1}{a}}
r и a в AU
Център на маситеурок
d1=a m2m1+m2\displaystyle d_1 = \frac{a\, m_2}{m_1 + m_2}m1a1=m2a2\displaystyle m_1 a_1 = m_2 a_2
Граница на Рошурок
dR≈2,44 R(ρплρсп)1/3\displaystyle d_R \approx 2{,}44\, R \left(\frac{\rho_\text{пл}}{\rho_\text{сп}}\right)^{1/3}
за твърдо тяло 1,26 вместо 2,44
Резонанс с Юпитерурок
a=aJ(qp)2/3\displaystyle a = a_J \left(\frac{q}{p}\right)^{2/3}
a_J = 5,20 AU
Параметър на Тисеранурок
TJ=aJa+2cos⁡i aaJ (1−e2)\displaystyle T_J = \frac{a_J}{a} + 2\cos i\,\sqrt{\frac{a}{a_J}\,(1 - e^2)}
Правило на Тициус–Бодеурок
a=0,4+0,3⋅2n AU\displaystyle a = 0{,}4 + 0{,}3 \cdot 2^n\ \text{AU}
емпирично правило, не закон

Светлина, спектри и телескопи

Вълна и фотонурок
c=λν\displaystyle c = \lambda\nuE=hν=hcλ\displaystyle E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}
Закон на Винурок
λmax T=b\displaystyle \lambda_\text{max}\, T = b
b = 2,898 · 10⁻³ m·K
Закон на Стефан–Болцманурок
F=σT4\displaystyle F = \sigma T^4L=4πR2σT4\displaystyle L = 4\pi R^2 \sigma T^4
Формула на Ридбергурок
1λ=R(1n12−1n22)\displaystyle \frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)
Eₙ = −13,6 eV / n²
Доплерово отместванеурок
Δλλ=vc\displaystyle \frac{\Delta\lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}
v ≪ c; v > 0 – отдалечаване
Увеличение на телескопаурок
M=Ff\displaystyle M = \frac{F}{f}
полезно: от ~D/7 до ~2D (D в mm)
Гранична звездна величинаурок
m≈2,7+5lg⁡D\displaystyle m \approx 2{,}7 + 5\lg D
D в mm
Разделителна способностурок
θ=1,22 λD≈138′′D\displaystyle \theta = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D} \approx \frac{138''}{D}
D в mm, λ = 550 nm
Интерферометърурок
θ≈λB\displaystyle \theta \approx \frac{\lambda}{B}
B – база
Seeingурок
θ≈λr0\displaystyle \theta \approx \frac{\lambda}{r_0}
r₀ – параметър на Фрийд
Отношение сигнал/шумурок
SN≈N⋆\displaystyle \frac{S}{N} \approx \sqrt{N_\star}
когато доминират фотоните от звездата

Слънце и планети

Светимост от слънчевата константаурок
L=4πd2S\displaystyle L = 4\pi d^2 S
S = 1361 W/m², d = 1 AU
Маса и енергияурок
E=Δm c2\displaystyle E = \Delta m\, c^2
при 4 ¹H → ⁴He се губи ~0,7% от масата
Число на Волфурок
R=k (10g+f)\displaystyle R = k\,(10g + f)
Средна плътностурок
ρ=3M4πR3\displaystyle \rho = \frac{3M}{4\pi R^3}
Топлинна скорост на молекулитеурок
v=3kTm\displaystyle v = \sqrt{\frac{3kT}{m}}
газът се задържа, ако v₂ ≳ 6v
Равновесна температураурок
T≈279 K⋅(1−A)1/4d\displaystyle T \approx 279\ \text{K} \cdot \frac{(1 - A)^{1/4}}{\sqrt{d}}
d в AU, A – албедо
Налягане в центъраурок
Pц=2π3 Gρ2R2\displaystyle P_\text{ц} = \frac{2\pi}{3}\, G\rho^2 R^2
Диаметър на астероидурок
D≈1329 kmp⋅10−H/5\displaystyle D \approx \frac{1329\ \text{km}}{\sqrt{p}} \cdot 10^{-H/5}
Видими метеори в часурок
HR=ZHR⋅sin⁡hr 6,5−LM\displaystyle HR = \frac{ZHR \cdot \sin h}{r^{\,6{,}5 - LM}}

Звезди

Формула на Погсънурок
m1−m2=−2,5lg⁡F1F2\displaystyle m_1 - m_2 = -2{,}5 \lg\frac{F_1}{F_2}
5 величини = 100 пъти
Модул на разстояниетоурок
m−M=5lg⁡d10 pc\displaystyle m - M = 5 \lg\frac{d}{10\ \text{pc}}
Разстояние от звездната величинаурок
d=10m−M−A5+1 pc\displaystyle d = 10^{\frac{m - M - A}{5} + 1}\ \text{pc}
A – поглъщане
Светимост от абсолютната величинаурок
LL⊙=10 0,4 (4,83−M)\displaystyle \frac{L}{L_\odot} = 10^{\,0{,}4\,(4{,}83 - M)}
Потокурок
F=L4πd2\displaystyle F = \frac{L}{4\pi d^2}
Звезди спрямо Слънцетоурок
LL⊙=(RR⊙)2(TT⊙)4\displaystyle \frac{L}{L_\odot} = \left(\frac{R}{R_\odot}\right)^2 \left(\frac{T}{T_\odot}\right)^4
Маса–светимостурок
L≈L⊙(MM⊙)3,5\displaystyle L \approx L_\odot \left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{3{,}5}
Време на животурок
t≈1010 г.⋅(MM⊙)−2,5\displaystyle t \approx 10^{10}\ \text{г.} \cdot \left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{-2{,}5}
Температура от показателя на цветаурок
T≈4600 K(10,92 (B−V)+1,7+10,92 (B−V)+0,62)\displaystyle T \approx 4600\ \text{K} \left(\frac{1}{0{,}92\,(B - V) + 1{,}7} + \frac{1}{0{,}92\,(B - V) + 0{,}62}\right)
Паралаксурок
d (pc)=1p (′′)\displaystyle d\ (\text{pc}) = \frac{1}{p\ ('')}
Двойни звездиурок
M1+M2=a3P2\displaystyle M_1 + M_2 = \frac{a^3}{P^2}
a в AU, P в години, M в M☉
Ъглова и линейна полуосурок
a (AU)=α (′′)⋅d (pc)=αp\displaystyle a\ (\text{AU}) = \alpha\ ('') \cdot d\ (\text{pc}) = \frac{\alpha}{p}
Спектрални двойниурок
M1M2=K2K1\displaystyle \frac{M_1}{M_2} = \frac{K_2}{K_1}asin⁡i=(K1+K2) P2π\displaystyle a\sin i = \frac{(K_1 + K_2)\,P}{2\pi}
Период на пулсиранеурок
P≈Qρ/ρ⊙\displaystyle P \approx \frac{Q}{\sqrt{\rho / \rho_\odot}}
Q ≈ 0,04 дни
Цефеиди: период–светимостурок
MV≈−2,43 (lg⁡P−1)−4,05\displaystyle M_V \approx -2{,}43\,(\lg P - 1) - 4{,}05
P в дни
Маса на Джинсурок
MJ≈(5kTGμmH)3/2(34πρ)1/2\displaystyle M_J \approx \left(\frac{5kT}{G\mu m_H}\right)^{3/2} \left(\frac{3}{4\pi\rho}\right)^{1/2}
Време за свободно паданеурок
tff=3π32 Gρ\displaystyle t_\text{ff} = \sqrt{\frac{3\pi}{32\,G\rho}}
Време на Келвин–Хелмхолцурок
tKH≈GM2RL\displaystyle t_\text{KH} \approx \frac{GM^2}{RL}
Граница на Чандрасекарурок
M≈1,44 M⊙\displaystyle M \approx 1{,}44\, M_\odot
Свиване на въртящо се тялоурок
P2=P1(R2R1)2\displaystyle P_2 = P_1 \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2
Радиус на Шварцшилдурок
Rs=2GMc2≈2,95 km⋅MM⊙\displaystyle R_s = \frac{2GM}{c^2} \approx 2{,}95\ \text{km} \cdot \frac{M}{M_\odot}

Галактики и космология

Маса от кривата на въртенеурок
M(r)=v2rG\displaystyle M(r) = \frac{v^2 r}{G}
Светимост на Едингтънурок
LEdd≈1,26⋅1031 W⋅MM⊙\displaystyle L_\text{Edd} \approx 1{,}26 \cdot 10^{31}\ \text{W} \cdot \frac{M}{M_\odot}
Акрецияурок
L=η M˙c2\displaystyle L = \eta\, \dot M c^2
η ≈ 0,1
Тип на елиптична галактикаурок
n=10(1−ba)\displaystyle n = 10\left(1 - \frac{b}{a}\right)
Галактична годинаурок
T=2πRv\displaystyle T = \frac{2\pi R}{v}
1 km/s ≈ 1,02 pc за милион години
Вириална масаурок
M≈5σ2RG\displaystyle M \approx \frac{5\sigma^2 R}{G}
Отклонение на светлинатаурок
α=4GMc2b\displaystyle \alpha = \frac{4GM}{c^2 b}
Червено отместванеурок
z=Δλλ\displaystyle z = \frac{\Delta\lambda}{\lambda}1+z=1a\displaystyle 1 + z = \frac{1}{a}
Закон на Хъбъл–Льометрурок
v=H0 d\displaystyle v = H_0\, d
H₀ ≈ 70 km/s/Mpc
Време на Хъбълурок
tH=1H0≈14 млрд. години\displaystyle t_H = \frac{1}{H_0} \approx 14\ \text{млрд. години}
Критична плътностурок
ρc=3H028πG\displaystyle \rho_c = \frac{3H_0^2}{8\pi G}
Температура на реликтовото излъчванеурок
T=T0 (1+z)\displaystyle T = T_0\,(1 + z)
T₀ = 2,725 K
Разреждане при разширениеурок
ρвещ∝a−3\displaystyle \rho_\text{вещ} \propto a^{-3}ρизл∝a−4\displaystyle \rho_\text{изл} \propto a^{-4}ρΛ=const\displaystyle \rho_\Lambda = \text{const}

Екзопланети и живот

Дълбочина на транзитаурок
δ≈(RpR⋆)2\displaystyle \delta \approx \left(\frac{R_p}{R_\star}\right)^2
Вероятност за транзитурок
p≈R⋆a\displaystyle p \approx \frac{R_\star}{a}
Радиална скорост на звездатаурок
K≈28,4 ms⋅msin⁡iMЮп(M⋆M⊙)−2/3(P1 г.)−1/3\displaystyle K \approx 28{,}4\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \frac{m\sin i}{M_\text{Юп}} \left(\frac{M_\star}{M_\odot}\right)^{-2/3} \left(\frac{P}{1\ \text{г.}}\right)^{-1/3}
Обитаема зонаурок
d=LS:от≈0,95L  до≈1,7L AU\displaystyle d = \sqrt{\frac{L}{S}}: \quad \text{от} \approx 0{,}95\sqrt{L} \;\text{до} \approx 1{,}7\sqrt{L}\ \text{AU}
L в L☉
Уравнение на Дрейкурок
N=R⋆⋅fp⋅ne⋅fl⋅fi⋅fc⋅L\displaystyle N = R_\star \cdot f_p \cdot n_e \cdot f_l \cdot f_i \cdot f_c \cdot L

Специална теория на относителността

Лоренцов факторурок
γ=11−v2c2\displaystyle \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}
Забавяне на времетоурок
Δt=γ Δt0\displaystyle \Delta t = \gamma\, \Delta t_0
Свиване на дължинитеурок
L=L0γ\displaystyle L = \frac{L_0}{\gamma}
Събиране на скороститеурок
u=u′+v1+u′vc2\displaystyle u = \frac{u' + v}{1 + \dfrac{u'v}{c^2}}
Енергияурок
E0=mc2\displaystyle E_0 = mc^2E=γmc2\displaystyle E = \gamma mc^2Ek=(γ−1) mc2\displaystyle E_k = (\gamma - 1)\,mc^2
Релативистки ефект на Доплерурок
λ=λ01+β1−β\displaystyle \lambda = \lambda_0 \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}
β = v/c

Химия

Смеси и разделяне

Масова частурок
w(X)=m(X)mсмес,\displaystyle w(\mathrm{X}) = \frac{m(\mathrm{X})}{m_{\text{смес}}},∑wi=1=100%\displaystyle \sum w_i = 1 = 100\%
Маса на разтворурок
mр-р=mразтворено в-во+mразтворител\displaystyle m_{\text{р-р}} = m_{\text{разтворено в-во}} + m_{\text{разтворител}}
Смесване на разтвориурок
w=w1m1+w2m2m1+m2\displaystyle w = \frac{w_1 m_1 + w_2 m_2}{m_1 + m_2}
Събират се масите на веществото и на разтворите, не масовите части.
Изпаряване и разрежданеурок
w1m1=w2m2\displaystyle w_1 m_1 = w_2 m_2
Масата на разтвореното вещество не се променя.
Обемна част (газове)урок
φ(X)=V(X)Vсмес\displaystyle \varphi(\mathrm{X}) = \frac{V(\mathrm{X})}{V_{\text{смес}}}
Стойност Rf при хроматографияурок
Rf=lпетноlфронт,\displaystyle R_f = \frac{l_{\text{петно}}}{l_{\text{фронт}}},0≤Rf≤1\displaystyle 0 \le R_f \le 1

Атоми, изотопи и периодичната система

Масово числоурок
A=Z+N\displaystyle A = Z + N
ZZ – протони, NN – неутрони; нуклид ZAX{}^{A}_{Z}\mathrm{X}.
Електрони в йонурок
ne=Z−q\displaystyle n_e = Z - q
За катион q>0q > 0, за анион q<0q < 0; в неутралния атом ne=Zn_e = Z.
Атомна единица за масаурок
1 u=112 m(12C)≈1,661⋅10−27 kg\displaystyle 1\ \mathrm{u} = \frac{1}{12}\,m({}^{12}\mathrm{C}) \approx 1{,}661 \cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}
Относителна атомна масаурок
Ar=∑iximi,\displaystyle A_r = \sum_i x_i m_i,∑ixi=1\displaystyle \sum_i x_i = 1
xix_i – дял на изотопа, mim_i – масата му в u.
Дял на изотоп (два изотопа)урок
x1=m2−Arm2−m1\displaystyle x_1 = \frac{m_2 - A_r}{m_2 - m_1}
Външни електрони (главни групи)урок
nвън=група (1,2),\displaystyle n_{\text{вън}} = \text{група} \ (1, 2),nвън=група−10 (13–18)\displaystyle n_{\text{вън}} = \text{група} - 10 \ (13\text{–}18)
Номерът на периода е равен на броя на електронните слоеве.

Химична връзка

Заряд на йона (главни групи)урок
q=+Nгр (групи 1, 2, 13),\displaystyle q = +N_{\text{гр}}\ (\text{групи 1, 2, 13}),q=Nгр−18 (групи 15–17)\displaystyle q = N_{\text{гр}} - 18\ (\text{групи 15–17})
Металите отдават валентните си електрони, неметалите приемат до октет.
Електронеутралност на йонно съединениеурок
n⋅q++m⋅q−=0\displaystyle n \cdot q_{+} + m \cdot q_{-} = 0
Броят на йоните се намира от НОК на зарядите: Al3+\mathrm{Al^{3+}} и O2−\mathrm{O^{2-}} → Al2O3\mathrm{Al_2O_3}.
Разлика в електроотрицателносттаурок
Δχ=∣χA−χB∣\displaystyle \Delta\chi = |\chi_A - \chi_B|
Около 0 – ковалентна неполярна, умерена – ковалентна полярна, над около 1,7 (метал и неметал) – йонна; границите са приблизителни.
Брой електронни двойки във формула на Люисурок
Nдвойки=∑Vi−q2\displaystyle N_{\text{двойки}} = \frac{\sum V_i - q}{2}
ViV_i – валентните електрони на атомите, qq – зарядът на частицата.
Формален зарядурок
Zф=V−N−B2\displaystyle Z_{\text{ф}} = V - N - \frac{B}{2}
NN – електрони в несподелените двойки, BB – в общите двойки на атома.
Енергия на реакция от енергиите на връзкитеурок
Q≈∑Eобразувани−∑Eразкъсани\displaystyle Q \approx \sum E_{\text{образувани}} - \sum E_{\text{разкъсани}}
Q>0Q > 0 – енергия се отделя.

Форма на молекулите и полярност

Брой електронни области (VSEPR)урок
n=nсвързани атоми+nнеподелени двойки\displaystyle n = n_{\text{свързани атоми}} + n_{\text{неподелени двойки}}
Кратната връзка се брои за една област.
Идеални ъглиурок
2:180∘\displaystyle 2: 180^\circ3:120∘\displaystyle 3: 120^\circ4:109,5∘\displaystyle 4: 109{,}5^\circ5:90∘, 120∘\displaystyle 5: 90^\circ,\ 120^\circ6:90∘\displaystyle 6: 90^\circ
Ъгъл в тетраедъраурок
cos⁡θ=−13,\displaystyle \cos\theta = -\tfrac{1}{3},θ≈109,47∘\displaystyle \theta \approx 109{,}47^\circ
Диполен моментурок
μ=q⋅d,\displaystyle \mu = q \cdot d,1 D≈3,336⋅10−30 C⋅m\displaystyle 1\ \mathrm{D} \approx 3{,}336 \cdot 10^{-30}\ \mathrm{C \cdot m}
Диполен момент на молекулатаурок
μ⃗=∑μ⃗i,\displaystyle \vec{\mu} = \sum \vec{\mu}_i,два равни дипола под ъгъл θ: μ=2μbcos⁡θ2\displaystyle \text{два равни дипола под ъгъл } \theta:\ \mu = 2\mu_b \cos\frac{\theta}{2}

Мол и моларна маса

Количество веществоурок
n=mM=NNA\displaystyle n = \frac{m}{M} = \frac{N}{N_A}
Константа на Авогадроурок
NA=6,022 140 76⋅1023 mol−1\displaystyle N_A = 6{,}022\,140\,76 \cdot 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}
Точна стойност от 2019 г.
Маса на една частицаурок
m0=MNA\displaystyle m_0 = \frac{M}{N_A}
Относителна молекулна масаурок
Mr=∑aiAr(Xi),\displaystyle M_r = \sum a_i A_r(\mathrm{X}_i),M=Mr g/mol\displaystyle M = M_r\ \mathrm{g/mol}
Масова част на елемент в съединениеурок
w(X)=a⋅Ar(X)Mr\displaystyle w(\mathrm{X}) = \frac{a \cdot A_r(\mathrm{X})}{M_r}
Молекулна формула от най-простатаурок
k=MMнай-проста\displaystyle k = \frac{M}{M_{\text{най-проста}}}
Индексите в най-простата формула се умножават по k.

Химични уравнения и стехиометрия

Закон за запазване на масатаурок
∑mреагенти=∑mпродукти\displaystyle \sum m_{\text{реагенти}} = \sum m_{\text{продукти}}
Стехиометрично отношениеурок
n(A)νA=n(B)νB\displaystyle \frac{n(\mathrm{A})}{\nu_A} = \frac{n(\mathrm{B})}{\nu_B}
ν\nu – коефициентите в изравненото уравнение.
Маса по уравнениеурок
m(B)=m(A)M(A)⋅νBνA⋅M(B)\displaystyle m(\mathrm{B}) = \frac{m(\mathrm{A})}{M(\mathrm{A})} \cdot \frac{\nu_B}{\nu_A} \cdot M(\mathrm{B})
Вещество в недостигурок
в недостиг е реагентът с най-малко nν\displaystyle \text{в недостиг е реагентът с най-малко } \frac{n}{\nu}
Добив на реакциятаурок
η=mпрактmтеор⋅100%\displaystyle \eta = \frac{m_{\text{практ}}}{m_{\text{теор}}} \cdot 100\%
Чисто вещество в пробаурок
mчисто=w⋅mпроба\displaystyle m_{\text{чисто}} = w \cdot m_{\text{проба}}

Разтвори и концентрации

Моларна концентрацияурок
c=nV,\displaystyle c = \frac{n}{V},[c]=mol/L=mol⋅dm−3=M\displaystyle [c] = \mathrm{mol/L} = \mathrm{mol \cdot dm^{-3}} = \mathrm{M}
Маса за приготвяне на разтворурок
m=c⋅V⋅M\displaystyle m = c \cdot V \cdot M
Масова част и моларна концентрацияурок
c=1000⋅ρ⋅wM\displaystyle c = \frac{1000 \cdot \rho \cdot w}{M}
ρ в g/mL, M в g/mol, c в mol/L.
Разрежданеурок
c1V1=c2V2\displaystyle c_1 V_1 = c_2 V_2
Количеството разтворено вещество не се променя.
Смесване на разтвори (обемите се събират)урок
c=c1V1+c2V2V1+V2\displaystyle c = \frac{c_1 V_1 + c_2 V_2}{V_1 + V_2}
Масова част на наситен разтворурок
w=S100+S\displaystyle w = \frac{S}{100 + S}
S – разтворимост в грамове на 100 g вода.
ppm и ppbурок
1 ppm=1 mg/kg≈1 mg/L,\displaystyle 1\ \mathrm{ppm} = 1\ \mathrm{mg/kg} \approx 1\ \mathrm{mg/L},1 ppb=1 μg/kg\displaystyle 1\ \mathrm{ppb} = 1\ \mathrm{\mu g/kg}
Приближението с литър е за разредени водни разтвори.

Газове в химията

Моларен обемурок
Vm=Vn,\displaystyle V_m = \frac{V}{n},Vm=22,4 L/mol (0 °C, 101,3 kPa)\displaystyle V_m = 22{,}4\ \mathrm{L/mol}\ \text{(0 °C, 101,3 kPa)}
При 25 °C и 101,3 kPa – около 24,5 L/mol.
Закон на Авогадроурок
V1V2=n1n2(p,T=const)\displaystyle \frac{V_1}{V_2} = \frac{n_1}{n_2} \quad (p, T = \text{const})
Плътност на газ (н.у.)урок
ρ=MVm\displaystyle \rho = \frac{M}{V_m}
Относителна плътностурок
DY(X)=M(X)M(Y),\displaystyle D_{\mathrm{Y}}(\mathrm{X}) = \frac{M(\mathrm{X})}{M(\mathrm{Y})},M=2DH2=29Dвъздух\displaystyle M = 2D_{\mathrm{H_2}} = 29D_{\text{въздух}}
Средна моларна маса на газова смесурок
Mˉ=∑φiMi,\displaystyle \bar{M} = \sum \varphi_i M_i,φi=ViV=nin\displaystyle \varphi_i = \frac{V_i}{V} = \frac{n_i}{n}
Закон на Далтонурок
p=∑pi,\displaystyle p = \sum p_i,pi=φi p\displaystyle p_i = \varphi_i\, p

Енергия на реакциите

Знак на енталпиятаурок
ΔH<0 (екзотермична),\displaystyle \Delta H < 0\ \text{(екзотермична)},ΔH>0 (ендотермична)\displaystyle \Delta H > 0\ \text{(ендотермична)}
Обратната реакция има ΔH\Delta H с обратен знак; при умножаване на уравнението по kk и ΔH\Delta H се умножава по kk.
Калориметрияурок
q=mcΔT,\displaystyle q = m c \Delta T,ΔH=−qn\displaystyle \Delta H = -\frac{q}{n}
За вода c=4,18 J/(g⋅K)c = 4{,}18\ \mathrm{J/(g \cdot K)}.
Закон на Хесурок
ΔH=∑iki ΔHi\displaystyle \Delta H = \sum_i k_i\, \Delta H_i
Ако търсеното уравнение е сбор от дадените, умножени по kik_i.
ΔH от енталпиите на образуванеурок
ΔH=∑ν ΔfH∘(продукти)−∑ν ΔfH∘(реагенти)\displaystyle \Delta H = \sum \nu\, \Delta_f H^\circ(\text{продукти}) - \sum \nu\, \Delta_f H^\circ(\text{реагенти})
За простите вещества в стандартно състояние ΔfH∘=0\Delta_f H^\circ = 0.
ΔH от енергиите на връзкитеурок
ΔH≈∑E(скъсани)−∑E(образувани)\displaystyle \Delta H \approx \sum E(\text{скъсани}) - \sum E(\text{образувани})
Приблизително, със средни енергии на връзките; за вещества в газово състояние.
Калоричност на горивоурок
Qm=∣ΔcH∣M\displaystyle Q_m = \frac{|\Delta_c H|}{M}
ΔcH\Delta_c H – енталпия на горене на мол; 1 kcal=4,184 kJ1\ \mathrm{kcal} = 4{,}184\ \mathrm{kJ}.
Енергия на Гибсурок
ΔG=ΔH−TΔS\displaystyle \Delta G = \Delta H - T\Delta S
Реакцията може да протече самопроизволно при ΔG<0\Delta G < 0; граничната температура е T=ΔH/ΔST = \Delta H / \Delta S.

Скорост на реакцията

Средна скорост на реакциятаурок
vˉ=−Δc(реагент)Δt=Δc(продукт)Δt\displaystyle \bar{v} = -\frac{\Delta c(\text{реагент})}{\Delta t} = \frac{\Delta c(\text{продукт})}{\Delta t}
При aA→…a\mathrm{A} \to \ldots скоростта на реакцията е −1aΔc(A)Δt-\frac{1}{a}\frac{\Delta c(\mathrm{A})}{\Delta t}.
Правило на Вант Хофурок
v2v1=γt2−t110,\displaystyle \frac{v_2}{v_1} = \gamma^{\frac{t_2 - t_1}{10}},γ≈2–4\displaystyle \gamma \approx 2\text{–}4
Кинетично уравнениеурок
v=k⋅c(A)m⋅c(B)n\displaystyle v = k \cdot c(\mathrm{A})^m \cdot c(\mathrm{B})^n
Редовете mm и nn се намират от опит; общият ред е m+nm + n.
Реакция от първи редурок
c=c0e−kt,\displaystyle c = c_0 e^{-kt},t1/2=ln⁡2k\displaystyle t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}
След nn периода остава c0/2nc_0/2^n.
Реакции от нулев и втори редурок
c=c0−kt, t1/2=c02k;\displaystyle c = c_0 - kt,\ t_{1/2} = \frac{c_0}{2k};1c=1c0+kt, t1/2=1kc0\displaystyle \frac{1}{c} = \frac{1}{c_0} + kt,\ t_{1/2} = \frac{1}{k c_0}
Уравнение на Арениусурок
k=Ae−EaRT,\displaystyle k = A e^{-\frac{E_a}{RT}},ln⁡k2k1=EaR(1T1−1T2)\displaystyle \ln\frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right)

Химично равновесие

Условие за равновесиеурок
v→=v←\displaystyle v_{\to} = v_{\leftarrow}
Константа на равновесие (закон за действие на масите)урок
aA+bB⇌cC+dD:\displaystyle a\mathrm{A} + b\mathrm{B} \rightleftharpoons c\mathrm{C} + d\mathrm{D}:Kc=[C]c[D]d[A]a[B]b\displaystyle K_c = \frac{[\mathrm{C}]^c [\mathrm{D}]^d}{[\mathrm{A}]^a [\mathrm{B}]^b}
Твърди вещества и чисти течности не влизат в израза; K зависи само от температурата.
Обърнато и умножено уравнениеурок
Kобр=1K,\displaystyle K_{\text{обр}} = \frac{1}{K},K′=Kn (уравнението, умножено по n)\displaystyle K' = K^n \ \text{(уравнението, умножено по } n\text{)}
Посока на реакциятаурок
Q<K⇒надясно,\displaystyle Q < K \Rightarrow \text{надясно},Q>K⇒наляво,\displaystyle Q > K \Rightarrow \text{наляво},Q=K⇒равновесие\displaystyle Q = K \Rightarrow \text{равновесие}
QQ се смята по израза за KK с текущите концентрации.
Връзка между Kp и Kcурок
Kp=Kc(RT)Δn,\displaystyle K_p = K_c (RT)^{\Delta n},R=0,08314 L⋅bar/(mol⋅K)\displaystyle R = 0{,}08314\ \mathrm{L \cdot bar/(mol \cdot K)}
Δn\Delta n – промяната на броя молове газ по уравнението.
Уравнение на Вант Хофурок
ln⁡K2K1=−ΔHR(1T2−1T1)\displaystyle \ln\frac{K_2}{K_1} = -\frac{\Delta H}{R}\left(\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1}\right)
Произведение на разтворимосттаурок
AgCl(тв)⇌Ag++Cl−:\displaystyle \mathrm{AgCl(тв) \rightleftharpoons Ag^+ + Cl^-}:Ksp=[Ag+][Cl−],\displaystyle K_{sp} = [\mathrm{Ag^+}][\mathrm{Cl^-}],s=Ksp\displaystyle s = \sqrt{K_{sp}}

Киселини, основи и pH

Йонно произведение на водатаурок
Kw=[H+][OH−]=1,0⋅10−14 (25 °C)\displaystyle K_w = [\mathrm{H^+}][\mathrm{OH^-}] = 1{,}0 \cdot 10^{-14}\ \text{(25 °C)}
pH и pOHурок
pH=−lg⁡[H+],\displaystyle \mathrm{pH} = -\lg[\mathrm{H^+}],pOH=−lg⁡[OH−],\displaystyle \mathrm{pOH} = -\lg[\mathrm{OH^-}],pH+pOH=14\displaystyle \mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = 14
Сумата 14 важи при 25 °C.
Константа на дисоциация на киселинаурок
Ka=[H+][A−][HA],\displaystyle K_a = \frac{[\mathrm{H^+}][\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]},pKa=−lg⁡Ka\displaystyle \mathrm{p}K_a = -\lg K_a
Закон за разреждането на Оствалдурок
α≈Kac,\displaystyle \alpha \approx \sqrt{\frac{K_a}{c}},[H+]≈Kac\displaystyle [\mathrm{H^+}] \approx \sqrt{K_a c}
За слаба киселина, когато α\alpha е под около 5%.
Спрегната двойкаурок
Ka⋅Kb=Kw,\displaystyle K_a \cdot K_b = K_w,pKa+pKb=14\displaystyle \mathrm{p}K_a + \mathrm{p}K_b = 14
Еквивалентна точка при титруванеурок
caVa=cbVb\displaystyle c_a V_a = c_b V_b
За едноосновна киселина и едновалентна основа.
Уравнение на Хендерсън–Хаселбалхурок
pH=pKa+lg⁡[A−][HA]\displaystyle \mathrm{pH} = \mathrm{p}K_a + \lg\frac{[\mathrm{A^-}]}{[\mathrm{HA}]}
pH на буферен разтвор; буферът действа в интервала pKa±1\mathrm{p}K_a \pm 1.

Окисление-редукция и електрохимия

Сбор на степените на окислениеурок
∑ini xi=q\displaystyle \sum_i n_i\, x_i = q
qq е зарядът на частицата (0 за молекула), nin_i – броят на атомите със степен xix_i.
Електронен балансурок
kред eотд=kок eпр=НОК(eотд,eпр)\displaystyle k_{\text{ред}}\, e_{\text{отд}} = k_{\text{ок}}\, e_{\text{пр}} = \text{НОК}(e_{\text{отд}}, e_{\text{пр}})
Отдадените електрони са равни на приетите.
Напрежение на галваничен елементурок
E∘=Eкатод∘−Eанод∘\displaystyle E^\circ = E^\circ_{\text{катод}} - E^\circ_{\text{анод}}
Анодът е металът с по-отрицателен стандартен потенциал; напр. за елемента на Даниел 0,34−(−0,76)=1,10 V0{,}34 - (-0{,}76) = 1{,}10\ \mathrm{V}.
Уравнение на Нернст (25 °C)урок
E=E∘−0,0592nlg⁡Q\displaystyle E = E^\circ - \frac{0{,}0592}{n}\lg Q
Енергия на Гибс и напрежениеурок
ΔG∘=−nFE∘\displaystyle \Delta G^\circ = -nFE^\circ
Закон на Фарадей за електролизатаурок
m=M I tz F,\displaystyle m = \frac{M\,I\,t}{z\,F},Q=It,\displaystyle Q = It,n(e−)=QF\displaystyle n(e^-) = \frac{Q}{F}
zz – броят на електроните за една частица.
Константа на Фарадейурок
F=NA e≈96 485 C/mol\displaystyle F = N_A\, e \approx 96\,485\ \mathrm{C/mol}

Метали

Метал с киселинаурок
M+nH+→Mn++n2H2,\displaystyle \mathrm{M + nH^+ \to M^{n+}} + \tfrac{n}{2}\mathrm{H_2},n(H2)=n2 n(M)\displaystyle n(\mathrm{H_2}) = \frac{n}{2}\, n(\mathrm{M})
Само за металите преди водорода в реда на активност; nn е степента на окисление на метала в солта.
Активен метал с водаурок
2M+2H2O→2MOH+H2,\displaystyle \mathrm{2M + 2H_2O \to 2MOH + H_2},M+2H2O→M(OH)2+H2\displaystyle \mathrm{M + 2H_2O \to M(OH)_2 + H_2}
Алкалните метали и Ca, Sr, Ba при стайна температура.
Изместване на метал от солурок
Fe+CuSO4→FeSO4+Cu,\displaystyle \mathrm{Fe + CuSO_4 \to FeSO_4 + Cu},Δm=n (Mотложен−Mразтворен)\displaystyle \Delta m = n\,(M_{\text{отложен}} - M_{\text{разтворен}})
Промяната на масата на пластинката, ако металите са с еднаква степен на окисление.
Метал от рудаурок
m(метал)=m(руда)⋅w(минерал)⋅w(метал в минерала)⋅η\displaystyle m(\text{метал}) = m(\text{руда}) \cdot w(\text{минерал}) \cdot w(\text{метал в минерала}) \cdot \eta
Доменна пещурок
C+O2→CO2,CO2+C→2CO,Fe2O3+3CO→2Fe+3CO2\displaystyle \mathrm{C + O_2 \to CO_2}, \quad \mathrm{CO_2 + C \to 2CO}, \quad \mathrm{Fe_2O_3 + 3CO \to 2Fe + 3CO_2}
Амфотерност на алуминияурок
2Al+2NaOH+6H2O→2Na[Al(OH)4]+3H2\displaystyle \mathrm{2Al + 2NaOH + 6H_2O \to 2Na[Al(OH)_4] + 3H_2}
Алуминотермияурок
Fe2O3+2Al→Al2O3+2Fe\displaystyle \mathrm{Fe_2O_3 + 2Al \to Al_2O_3 + 2Fe}

Неметали

Ред на активност на халогенитеурок
F2>Cl2>Br2>I2,\displaystyle \mathrm{F_2 > Cl_2 > Br_2 > I_2},Cl2+2Br−→2Cl−+Br2\displaystyle \mathrm{Cl_2 + 2Br^- \to 2Cl^- + Br_2}
По-активният халоген измества по-слабия от разтворите на солите му.
Контактен метод (сярна киселина)урок
S→O2SO2→O2, V2O5SO3→H2SO4, H2OH2SO4\displaystyle \mathrm{S \xrightarrow{O_2} SO_2 \xrightarrow{O_2,\ V_2O_5} SO_3 \xrightarrow{H_2SO_4,\ H_2O} H_2SO_4}
2SO2+O2⇌2SO3\mathrm{2SO_2 + O_2 \rightleftharpoons 2SO_3} при около 450 °C; от 32 t сяра теоретично – 98 t киселина.
Метод на Оствалд (азотна киселина)урок
NH3→O2, PtNO→O2NO2→O2, H2OHNO3\displaystyle \mathrm{NH_3 \xrightarrow{O_2,\ Pt} NO \xrightarrow{O_2} NO_2 \xrightarrow{O_2,\ H_2O} HNO_3}
4NH3+5O2→4NO+6H2O\mathrm{4NH_3 + 5O_2 \to 4NO + 6H_2O}; от мол NH3\mathrm{NH_3} теоретично – мол HNO3\mathrm{HNO_3}.
Общ добив на многоетапен процесурок
η=η1⋅η2⋅η3⋯\displaystyle \eta = \eta_1 \cdot \eta_2 \cdot \eta_3 \cdots
Събиране на газурок
M>29 g/mol: съд с отвора нагоре,\displaystyle M > 29\ \mathrm{g/mol}:\ \text{съд с отвора нагоре},M<29 g/mol: обърнат съд\displaystyle M < 29\ \mathrm{g/mol}:\ \text{обърнат съд}
Над вода се събират само слабо разтворимите газове (H2\mathrm{H_2}, O2\mathrm{O_2}, N2\mathrm{N_2}).
Получаване на озонурок
3O2→2O3,\displaystyle \mathrm{3O_2 \to 2O_3},ΔV=−12V(O3)\displaystyle \Delta V = -\tfrac{1}{2} V(\mathrm{O_3})
При еднакви условия обемът намалява с половината от обема на образувания озон.

Класове неорганични съединения

Неутрализацияурок
основа+киселина→сол+H2O\displaystyle \text{основа} + \text{киселина} \to \text{сол} + \mathrm{H_2O}
Например NaOH+HCl→NaCl+H2O\mathrm{NaOH + HCl \to NaCl + H_2O}.
Оксиди и водаурок
основен оксид+H2O→основа,\displaystyle \text{основен оксид} + \mathrm{H_2O} \to \text{основа},киселинен оксид+H2O→киселина\displaystyle \text{киселинен оксид} + \mathrm{H_2O} \to \text{киселина}
С вода реагират само оксидите на алкалните и алкалоземните метали; SiO2\mathrm{SiO_2} не реагира с вода.
Оксиди с киселини и основиурок
основен оксид+киселина→сол+H2O,\displaystyle \text{основен оксид} + \text{киселина} \to \text{сол} + \mathrm{H_2O},киселинен оксид+основа→сол+H2O\displaystyle \text{киселинен оксид} + \text{основа} \to \text{сол} + \mathrm{H_2O}
Формула на солурок
MaAb:a⋅z(M)=b⋅∣z(A)∣\displaystyle \mathrm{M}_a\mathrm{A}_b: \quad a \cdot z(\mathrm{M}) = b \cdot |z(\mathrm{A})|
Сборът от зарядите на катионите и анионите е нула, например Fe2(SO4)3\mathrm{Fe_2(SO_4)_3}: 2⋅3=3⋅22 \cdot 3 = 3 \cdot 2.
Генетична връзкаурок
метал→осн. оксид→основа→сол←киселина←кис. оксид←неметал\displaystyle \text{метал} \to \text{осн. оксид} \to \text{основа} \to \text{сол} \leftarrow \text{киселина} \leftarrow \text{кис. оксид} \leftarrow \text{неметал}

Йонни реакции и качествен анализ

Концентрация на йон при пълна дисоциацияурок
MaXb→aMn++bXm−,\displaystyle \mathrm{M_aX_b \to aM^{n+} + bX^{m-}},c(Mn+)=a c,c(Xm−)=b c\displaystyle c(\mathrm{M^{n+}}) = a\,c, \quad c(\mathrm{X^{m-}}) = b\,c
За силни електролити; cc е концентрацията на солта. Проверка: a⋅n=b⋅ma \cdot n = b \cdot m.
Маса на утайкаурок
n=c⋅V,\displaystyle n = c \cdot V,mутайка=nутайка⋅Mутайка\displaystyle m_{\text{утайка}} = n_{\text{утайка}} \cdot M_{\text{утайка}}
Количеството утайка се определя от йона в недостиг според съкратеното йонно уравнение.
Гравиметрично пресмятанеурок
m(X)=mутайка⋅k⋅M(X)Mутайка\displaystyle m(\mathrm{X}) = m_{\text{утайка}} \cdot \frac{k \cdot M(\mathrm{X})}{M_{\text{утайка}}}
kk – броят атоми (йони) X във формулата на утайката, например m(S)=m(BaSO4)⋅32233m(\mathrm{S}) = m(\mathrm{BaSO_4}) \cdot \frac{32}{233}.
Йон от два разтвора след смесванеурок
c=c1V1+c2V2V1+V2\displaystyle c = \frac{c_1 V_1 + c_2 V_2}{V_1 + V_2}
Когато йонът не участва в реакция; c1,c2c_1, c_2 са концентрациите на самия йон в двата разтвора.
Условие за образуване на утайкаурок
[M]a[X]b>Ksp  (MaXb)\displaystyle [\mathrm{M}]^a [\mathrm{X}]^b > K_{sp}\ \ (\mathrm{M_aX_b})

Въглеводороди

Общи формули на хомоложните редовеурок
алкани CnH2n+2,алкени, циклоалкани CnH2n,алкини CnH2n−2\displaystyle \text{алкани } \mathrm{C}_n\mathrm{H}_{2n+2}, \quad \text{алкени, циклоалкани } \mathrm{C}_n\mathrm{H}_{2n}, \quad \text{алкини } \mathrm{C}_n\mathrm{H}_{2n-2}
Моларна маса на алканурок
M(CnH2n+2)=14n+2\displaystyle M(\mathrm{C}_n\mathrm{H}_{2n+2}) = 14n + 2
Хомоложната разлика CH2\mathrm{CH_2} е 14 g/mol14\ \mathrm{g/mol}; за алкените M=14nM = 14n, за алкините M=14n−2M = 14n - 2.
Пълно изгаряне на въглеводородурок
CxHy+(x+y4)O2→x CO2+y2 H2O\displaystyle \mathrm{C}_x\mathrm{H}_y + \left(x + \frac{y}{4}\right)\mathrm{O_2} \to x\,\mathrm{CO_2} + \frac{y}{2}\,\mathrm{H_2O}
Степен на ненаситеностурок
пръстени+π-връзки=2x+2−y2(CxHy)\displaystyle \text{пръстени} + \pi\text{-връзки} = \frac{2x + 2 - y}{2} \quad (\mathrm{C}_x\mathrm{H}_y)
Хибридизация на въглеродаурок
sp3: 109,5∘,\displaystyle sp^3:\ 109{,}5^\circ,sp2: 120∘,\displaystyle sp^2:\ 120^\circ,sp: 180∘\displaystyle sp:\ 180^\circ
Дължини на връзките C–C: 154 pm, C=C: 134 pm, C≡C: 120 pm, в бензена – 139 pm.

Функционални групи

Наситени едновалентни алкохолиурок
CnH2n+1OH,\displaystyle \mathrm{C_nH_{2n+1}OH},M=14n+18\displaystyle M = 14n + 18
Наситени алдехиди и кетониурок
CnH2nO,\displaystyle \mathrm{C_nH_{2n}O},M=14n+16\displaystyle M = 14n + 16
Наситени едноосновни карбоксилни киселиниурок
CnH2n+1COOH=Cn+1H2n+2O2\displaystyle \mathrm{C_nH_{2n+1}COOH} = \mathrm{C_{n+1}H_{2n+2}O_2}
Естерите със същия брой въглеродни атоми са техни изомери.
Естерификацияурок
RCOOH+R′OH⇌RCOOR′+H2O,\displaystyle \mathrm{RCOOH} + \mathrm{R'OH} \rightleftharpoons \mathrm{RCOOR'} + \mathrm{H_2O},K=[RCOOR′][H2O][RCOOH][R′OH]≈4\displaystyle K = \frac{[\mathrm{RCOOR'}][\mathrm{H_2O}]}{[\mathrm{RCOOH}][\mathrm{R'OH}]} \approx 4
Стойността K≈4K \approx 4 е за етилов етаноат; при 1 mol киселина и 1 mol алкохол в равновесие се получават около 2/3 mol естер.
Окисление на алкохолитеурок
RCH2OH→RCHO→RCOOH,\displaystyle \mathrm{RCH_2OH} \to \mathrm{RCHO} \to \mathrm{RCOOH},R2CHOH→R2CO\displaystyle \mathrm{R_2CHOH} \to \mathrm{R_2CO}
Първичните алкохоли дават алдехиди и киселини, вторичните – кетони, третичните не се окисляват.
Реакция на сребърното огледало (опростено)урок
RCHO+Ag2O→RCOOH+2Ag↓,\displaystyle \mathrm{RCHO} + \mathrm{Ag_2O} \to \mathrm{RCOOH} + 2\mathrm{Ag}\downarrow,n(Ag)=2n(RCHO)\displaystyle n(\mathrm{Ag}) = 2n(\mathrm{RCHO})
Метаналът дава 4 mol сребро на мол, защото се окислява до CO2\mathrm{CO_2}.
Водород от алкохол и натрийурок
2ROH+2Na→2RONa+H2,\displaystyle \mathrm{2ROH} + \mathrm{2Na} \to \mathrm{2RONa} + \mathrm{H_2},n(H2)=12 n(OH)\displaystyle n(\mathrm{H_2}) = \tfrac{1}{2}\, n(\mathrm{OH})

Механизми на органичните реакции

Дял на продукта при радикалово халогениранеурок
xi=niri∑jnjrj\displaystyle x_i = \frac{n_i r_i}{\sum_j n_j r_j}
nin_i – брой еквивалентни H, rir_i – относителна реактивност; при хлориране rперв:rвтор:rтрет≈1:4:5r_{\text{перв}} : r_{\text{втор}} : r_{\text{трет}} \approx 1 : 4 : 5, при бромиране – около 1:80:16001 : 80 : 1600.
Кинетично уравнение на SN2 и E2урок
v=k[RX][Nu−]\displaystyle v = k[\mathrm{RX}][\mathrm{Nu^-}]
Една стъпка, реакция от втори порядък; при SN2 конфигурацията се обръща.
Кинетично уравнение на SN1 и E1урок
v=k[RX],\displaystyle v = k[\mathrm{RX}],t1/2=ln⁡2k\displaystyle t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}
Бавната стъпка е йонизацията до карбокатион – нуклеофилът не влиза в уравнението.
Стабилност на карбокатионите и радикалитеурок
третичен>вторичен>първичен>метилов\displaystyle \text{третичен} > \text{вторичен} > \text{първичен} > \text{метилов}
Енергия на фотон, разкъсващ връзкаурок
λmax⁡=hcNAEвръзка\displaystyle \lambda_{\max} = \frac{h c N_A}{E_{\text{връзка}}}
За Cl–Cl (242 kJ/mol242\ \mathrm{kJ/mol}) – около 494 nm494\ \mathrm{nm}.

Полимери

Степен на полимеризацияурок
n=M(полимер)M(звено)\displaystyle n = \frac{M(\text{полимер})}{M(\text{звено})}
Присъединителна полимеризацияурок
n CH2=CHX→[−CH2−CHX−]n\displaystyle n\,\mathrm{CH_2{=}CHX} \to [\mathrm{-CH_2{-}CHX-}]_n
Звеното има състава и моларната маса на мономера.
Поликондензация (два мономера)урок
n A+n B→H−[AB]n−OH+(2n−1) H2O\displaystyle n\,\mathrm{A} + n\,\mathrm{B} \to \mathrm{H{-}[AB]_n{-}OH} + (2n - 1)\,\mathrm{H_2O}
Звеното е с 2 H2O2\,\mathrm{H_2O} по-леко от сбора на двата мономера, напр. PET: 166+62−36=192 g/mol166 + 62 - 36 = 192\ \mathrm{g/mol}.
Среднобройна моларна масаурок
Mn=∑niMi∑ni\displaystyle M_n = \frac{\sum n_i M_i}{\sum n_i}
Средномасова моларна масаурок
Mw=∑niMi2∑niMi\displaystyle M_w = \frac{\sum n_i M_i^2}{\sum n_i M_i}
Дисперсностурок
Đ=MwMn≥1\displaystyle \text{Đ} = \frac{M_w}{M_n} \ge 1
При еднакво дълги вериги Đ=1\text{Đ} = 1.

Химия на живота

Фотосинтезаурок
6CO2+6H2O→hνC6H12O6+6O2,\displaystyle \mathrm{6CO_2 + 6H_2O \xrightarrow{h\nu} C_6H_{12}O_6 + 6O_2},ΔH≈+2800 kJ/mol\displaystyle \Delta H \approx +2800\ \mathrm{kJ/mol}
Дишането в клетките е обратният процес.
Алкохолна ферментацияурок
C6H12O6→2C2H5OH+2CO2\displaystyle \mathrm{C_6H_{12}O_6 \to 2C_2H_5OH + 2CO_2}
Хидролиза на нишестеурок
(C6H10O5)n+nH2O→nC6H12O6\displaystyle \mathrm{(C_6H_{10}O_5)_n + nH_2O \to nC_6H_{12}O_6}
Осапуняване на мазнинаурок
мазнина+3NaOH→глицерол+3 RCOONa\displaystyle \text{мазнина} + 3\mathrm{NaOH} \to \text{глицерол} + 3\,\mathrm{RCOONa}
Моларна маса на пептидурок
M=∑i=1nMi−(n−1)⋅18\displaystyle M = \sum_{i=1}^{n} M_i - (n - 1) \cdot 18
При всяка от n−1n - 1 пептидни връзки се отделя молекула вода.
Правило на Чаргафурок
%A=%T,\displaystyle \%\mathrm{A} = \%\mathrm{T},%G=%C,\displaystyle \%\mathrm{G} = \%\mathrm{C},%A+%G=50%\displaystyle \%\mathrm{A} + \%\mathrm{G} = 50\%
За двойноверижна ДНК; A–T има две, а G–C – три водородни връзки.
Енергийна стойност на хранаурок
E=17 mвъгл+37 mмазн+17 mбелт  (kJ, m в грамове)\displaystyle E = 17\,m_{\text{въгл}} + 37\,m_{\text{мазн}} + 17\,m_{\text{белт}}\ \ (\mathrm{kJ},\ m\ \text{в грамове})
В kcal коефициентите са 4, 9 и 4.

Ядрена химия

Изравняване на ядрено уравнениеурок
∑Aвляво=∑Aвдясно,\displaystyle \sum A_{\text{вляво}} = \sum A_{\text{вдясно}},∑Zвляво=∑Zвдясно\displaystyle \sum Z_{\text{вляво}} = \sum Z_{\text{вдясно}}
Елементът на неизвестното ядро се познава по ZZ.
β⁺-разпадане и електронно захващанеурок
ZAX→Z−1AY++1  0e+νe,\displaystyle {}^{A}_{Z}\mathrm{X} \to {}^{A}_{Z-1}\mathrm{Y} + {}^{\ \,0}_{+1}e + \nu_e,ZAX+−1  0e→Z−1AY+νe\displaystyle {}^{A}_{Z}\mathrm{X} + {}^{\ \,0}_{-1}e \to {}^{A}_{Z-1}\mathrm{Y} + \nu_e
Брой разпадания в радиоактивен редурок
xα=A1−A24,\displaystyle x_{\alpha} = \frac{A_1 - A_2}{4},yβ−=Z2−Z1+2xα\displaystyle y_{\beta^-} = Z_2 - Z_1 + 2x_{\alpha}
Активност на дадена масаурок
A=ln⁡2T1/2⋅mM⋅NA\displaystyle A = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \cdot \frac{m}{M} \cdot N_A
T1/2T_{1/2} в секунди, MM ≈ масовото число в g/mol.
Възраст по разпадането (¹⁴C)урок
t=T1/2⋅log⁡2N0N\displaystyle t = T_{1/2} \cdot \log_2 \frac{N_0}{N}
За въглерод-14 T1/2=5730T_{1/2} = 5730 години; методът е приложим до около 50 000 години.
Калий-аргоново датиранеурок
t=T1/2⋅log⁡2(1+40Ar/40K0,107)\displaystyle t = T_{1/2} \cdot \log_2\left(1 + \frac{{}^{40}\mathrm{Ar}/{}^{40}\mathrm{K}}{0{,}107}\right)
T1/2(40K)=1,25⋅109T_{1/2}({}^{40}\mathrm{K}) = 1{,}25 \cdot 10^9 години; около 10,7% от разпаданията дават ⁴⁰Ar.

Химия на околната среда

CO₂ от изгаряне на въглерод и метанурок
m(CO2)=4412 m(C),\displaystyle m(\mathrm{CO_2}) = \frac{44}{12}\, m(\mathrm{C}),m(CO2)=4416 m(CH4)\displaystyle m(\mathrm{CO_2}) = \frac{44}{16}\, m(\mathrm{CH_4})
ppm на CO₂ в атмосфератаурок
1 ppm CO2≈2,13 Gt C≈7,8 Gt CO2\displaystyle 1\ \mathrm{ppm\ CO_2} \approx 2{,}13\ \mathrm{Gt\ C} \approx 7{,}8\ \mathrm{Gt\ CO_2}
Около половината от изхвърления CO2\mathrm{CO_2} се поема от океаните и растенията.
Каталитично разрушаване на озонаурок
Cl+O3→ClO+O2,\displaystyle \mathrm{Cl + O_3 \to ClO + O_2},ClO+O→Cl+O2\displaystyle \mathrm{ClO + O \to Cl + O_2}
Сумарно O3+O→2O2\mathrm{O_3 + O \to 2O_2}; хлорният атом е катализатор.
Кисел дъждурок
2SO2+O2→2SO3,\displaystyle \mathrm{2SO_2 + O_2 \to 2SO_3},SO3+H2O→H2SO4\displaystyle \mathrm{SO_3 + H_2O \to H_2SO_4}
Чистият дъжд е с pH около 5,6 заради разтворения CO2\mathrm{CO_2}; кисел дъжд – под 5,6.
Временна твърдост на водатаурок
Ca(HCO3)2→tCaCO3↓+H2O+CO2↑\displaystyle \mathrm{Ca(HCO_3)_2 \xrightarrow{t} CaCO_3 \downarrow + H_2O + CO_2 \uparrow}
Атомна икономияурок
АИ=M(желан продукт)⋅k∑ki M(реагентi)⋅100%\displaystyle \text{АИ} = \frac{M(\text{желан продукт}) \cdot k}{\sum k_i\, M(\text{реагент}_i)} \cdot 100\%
При присъединителните реакции АИ = 100%.

Спектроскопия и анализ

Пропускане и абсорбцияурок
T=II0,\displaystyle T = \frac{I}{I_0},A=lg⁡I0I=−lg⁡T\displaystyle A = \lg \frac{I_0}{I} = -\lg T
A=1A = 1 – минава 10% от светлината, A=2A = 2 – 1%.
Закон на Бер–Ламбертурок
A=εlc\displaystyle A = \varepsilon l c
ε\varepsilon – моларен коефициент на поглъщане, L/(mol·cm); ll – дължина на кюветата, cm; cc – mol/L. Важи за разредени разтвори.
Смес от поглъщащи веществаурок
A=l (ε1c1+ε2c2+…)\displaystyle A = l\,(\varepsilon_1 c_1 + \varepsilon_2 c_2 + \ldots)
Абсорбциите на компонентите се събират; при две вещества се мери при две дължини на вълната.
Вълново числоурок
ν~=1λ,\displaystyle \tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda},ν~ [cm−1]=104λ [μm]\displaystyle \tilde{\nu}\,[\mathrm{cm^{-1}}] = \frac{10^4}{\lambda\,[\mathrm{\mu m}]}
Изотопни пикове в масспектъраурок
1 Cl: M:(M+2)≈3:1,1 Br: ≈1:1,2 Cl: 9:6:1\displaystyle \text{1 Cl: } M : (M{+}2) \approx 3 : 1, \quad \text{1 Br: } \approx 1 : 1, \quad \text{2 Cl: } 9 : 6 : 1
Пикът M+1 е около 1,1% от M за всеки въглероден атом (изотопът ¹³C).
Правило n + 1 в ¹H ЯМРурок
брой линии=n+1\displaystyle \text{брой линии} = n + 1
nn – брой еквивалентни водородни атоми при съседния въглероден атом; височините на линиите са като в триъгълника на Паскал.

Биология

Микроскоп

Общо увеличениеурок
M=Mок⋅Mоб\displaystyle M = M_{\text{ок}} \cdot M_{\text{об}}
увеличенията на окуляра и обектива се умножават
Истински размерурок
размер=образM\displaystyle \text{размер} = \frac{\text{образ}}{M}
образът – размерът на снимката или рисунката, в същите единици
Увеличение по мащабна линийкаурок
M=дължина на линийката на снимкатанаписаната дължина\displaystyle M = \frac{\text{дължина на линийката на снимката}}{\text{написаната дължина}}
Зрително полеурок
D≈полево числоMоб\displaystyle D \approx \frac{\text{полево число}}{M_{\text{об}}}
полевото число е написано на окуляра, често 18 mm
Разделителна способностурок
d≈λ2 NA\displaystyle d \approx \frac{\lambda}{2\,\mathrm{NA}}
NA – числова апертура на обектива; светлинният микроскоп различава до около 0,2 µm
Мерни единициурок
1 mm=1000 μm,\displaystyle 1\ \mathrm{mm} = 1000\ \mathrm{\mu m},1 μm=1000 nm\displaystyle 1\ \mathrm{\mu m} = 1000\ \mathrm{nm}

Размер на клетката

Повърхност към обем (куб)урок
S=6a2,V=a3,SV=6a\displaystyle S = 6a^2, \quad V = a^3, \quad \frac{S}{V} = \frac{6}{a}
Повърхност към обем (кълбо)урок
SV=πd2πd3/6=6d\displaystyle \frac{S}{V} = \frac{\pi d^2}{\pi d^3 / 6} = \frac{6}{d}
Мащабиранеурок
d→kd:S→k2S,V→k3V,SV→1kSV\displaystyle d \to kd: \quad S \to k^2 S, \quad V \to k^3 V, \quad \frac{S}{V} \to \frac{1}{k}\frac{S}{V}
Време за дифузияурок
t≈x22D\displaystyle t \approx \frac{x^2}{2D}
D – коефициент на дифузия; за кислород във вода около 2·10⁻⁹ m²/s

Мембрана и транспорт

Закон на Фикурок
J∼A⋅Δcd\displaystyle J \sim \frac{A \cdot \Delta c}{d}
A – площ, Δc – разлика в концентрациите, d – дебелина на мембраната
Осмоларитетурок
cосм=i⋅c\displaystyle c_{\text{осм}} = i \cdot c
i – на колко частици се разпада веществото: глюкоза 1, NaCl 2, CaCl₂ 3
Осмотично налягане (Вант Хоф)урок
π=icRT\displaystyle \pi = icRT
Воден потенциалурок
ψ=ψs+ψp,\displaystyle \psi = \psi_s + \psi_p,ψs=−icRT\displaystyle \psi_s = -icRT
водата тече от по-високия към по-ниския воден потенциал
Промяна на масатаурок
m−m0m0⋅100%\displaystyle \frac{m - m_0}{m_0} \cdot 100\%
Натриево-калиева помпаурок
3 Na+ навън+2 K+ навътре за 1 АТФ\displaystyle 3\ \mathrm{Na^+}\ \text{навън} + 2\ \mathrm{K^+}\ \text{навътре}\ \text{за}\ 1\ \text{АТФ}

Клетъчно делене

Митотичен индексурок
клетки в митозавсички клетки⋅100%\displaystyle \frac{\text{клетки в митоза}}{\text{всички клетки}} \cdot 100\%
Продължителност на фазаурок
tфаза≈NфазаN⋅Tцикъл\displaystyle t_{\text{фаза}} \approx \frac{N_{\text{фаза}}}{N} \cdot T_{\text{цикъл}}
когато клетките се делят несинхронно
Брой гамети от независимото разпределениеурок
2n\displaystyle 2^n
n – брой двойки хомоложни хромозоми; при човека 2²³ ≈ 8,4 милиона
Брой клетки след k деленияурок
N=2k\displaystyle N = 2^k
Хромозоми и ДНКурок
G1: 2n,2c;G2: 2n,4c;гамета: n,c\displaystyle \text{G1: } 2n, 2c;\quad \text{G2: } 2n, 4c;\quad \text{гамета: } n, c

Ензими и АТФ

Хидролиза на АТФурок
АТФ+H2O→АДФ+Pi,\displaystyle \text{АТФ} + \mathrm{H_2O} \to \text{АДФ} + \mathrm{P_i},ΔG∘≈−30,5 kJ/mol\displaystyle \Delta G^\circ \approx -30{,}5\ \mathrm{kJ/mol}
в клетката – около −50 kJ/mol
Спрегнати реакцииурок
ΔGобщо=ΔG1+ΔG2<0\displaystyle \Delta G_{\text{общо}} = \Delta G_1 + \Delta G_2 < 0
неизгодна реакция протича, ако се свърже с хидролиза на АТФ
Температурен коефициентурок
Q10=vT+10vT,\displaystyle Q_{10} = \frac{v_{T+10}}{v_T},v2v1=Q10(T2−T1)/10\displaystyle \frac{v_2}{v_1} = Q_{10}^{(T_2 - T_1)/10}
за ензимите под оптимума обикновено 2–3
Уравнение на Михаелис–Ментенурок
v=Vmax⁡[S]Km+[S]\displaystyle v = \frac{V_{\max} [\mathrm{S}]}{K_m + [\mathrm{S}]}
при [S]=Km[\mathrm{S}] = K_m скоростта е Vmax⁡/2V_{\max}/2
Двойно обратни координати (Лайнуийвър–Бърк)урок
1v=KmVmax⁡⋅1[S]+1Vmax⁡\displaystyle \frac{1}{v} = \frac{K_m}{V_{\max}} \cdot \frac{1}{[\mathrm{S}]} + \frac{1}{V_{\max}}
пресечните точки с осите са 1/Vmax⁡1/V_{\max} и −1/Km-1/K_m
Конкурентен инхибиторурок
Km′=Km(1+[I]Ki),\displaystyle K_m' = K_m \left(1 + \frac{[\mathrm{I}]}{K_i}\right),Vmax⁡′=Vmax⁡\displaystyle V_{\max}' = V_{\max}
Неконкурентен инхибиторурок
Vmax⁡′=Vmax⁡1+[I]/Ki,\displaystyle V_{\max}' = \frac{V_{\max}}{1 + [\mathrm{I}]/K_i},Km′=Km\displaystyle K_m' = K_m

Клетъчно дишане

Аеробно дишанеурок
C6H12O6+6O2→6CO2+6H2O,ΔG≈−2870 kJ/mol\displaystyle \mathrm{C_6H_{12}O_6 + 6O_2 \to 6CO_2 + 6H_2O}, \quad \Delta G \approx -2870\ \mathrm{kJ/mol}
Млечнокисела ферментацияурок
C6H12O6→2C3H6O3\displaystyle \mathrm{C_6H_{12}O_6 \to 2C_3H_6O_3}
2 АТФ на глюкоза; в мускулите и в млечнокиселите бактерии
Алкохолна ферментацияурок
C6H12O6→2C2H5OH+2CO2\displaystyle \mathrm{C_6H_{12}O_6 \to 2C_2H_5OH + 2CO_2}
2 АТФ на глюкоза; в дрождите
Баланс на една глюкозаурок
гликолиза: 2 АТФ,2 НАДН;  пируват: 2 НАДН,2 CO2;  Кребс: 2 АТФ,6 НАДН,2 ФАДН2,4 CO2\displaystyle \text{гликолиза: } 2\ \text{АТФ}, 2\ \text{НАДН};\ \ \text{пируват: } 2\ \text{НАДН}, 2\ \mathrm{CO_2};\ \ \text{Кребс: } 2\ \text{АТФ}, 6\ \text{НАДН}, 2\ \text{ФАДН}_2, 4\ \mathrm{CO_2}
Добив на АТФурок
4+10⋅2,5+2⋅1,5=32 АТФ на глюкоза\displaystyle 4 + 10 \cdot 2{,}5 + 2 \cdot 1{,}5 = 32\ \text{АТФ на глюкоза}
НАДН ≈ 2,5 АТФ, ФАДН₂ ≈ 1,5 АТФ; 30 при совалка за НАДН от гликолизата; по-старите учебници – 36–38
Дихателен коефициентурок
RQ=VCO2VO2\displaystyle RQ = \frac{V_{\mathrm{CO_2}}}{V_{\mathrm{O_2}}}
въглехидрати 1,0; белтъци ≈ 0,8–0,9; мазнини ≈ 0,7; над 1 – част от глюкозата ферментира
Респирометърурок
V=πr2x,\displaystyle V = \pi r^2 x,RQ=x1−x2x1\displaystyle RQ = \frac{x_1 - x_2}{x_1}
x1x_1 – преместване на капката в тръбата с KOH (поет O₂), x2x_2 – в тръбата с вода (O₂ − CO₂)
Отношение P/Oурок
P/O=n(АТФ)n(O атоми)\displaystyle P/O = \frac{n(\text{АТФ})}{n(\text{O атоми})}
около 2,5 за НАДН и 1,5 за ФАДН₂

Фотосинтеза

Общо уравнениеурок
6 CO2+6 H2O→светлинаC6H12O6+6 O2\displaystyle 6\,\mathrm{CO_2} + 6\,\mathrm{H_2O} \xrightarrow{\text{светлина}} \mathrm{C_6H_{12}O_6} + 6\,\mathrm{O_2}
по-точно 6 CO2+12 H2O→C6H12O6+6 O2+6 H2O6\,\mathrm{CO_2} + 12\,\mathrm{H_2O} \to \mathrm{C_6H_{12}O_6} + 6\,\mathrm{O_2} + 6\,\mathrm{H_2O} – целият O2\mathrm{O_2} идва от водата
Фотолиза на водатаурок
2 H2O→O2+4 H++4e−\displaystyle 2\,\mathrm{H_2O} \to \mathrm{O_2} + 4\,\mathrm{H^+} + 4e^-
във фотосистема II; най-малко 8 фотона на една O2\mathrm{O_2} (по 2 на електрон)
Цикъл на Калвин – разходурок
1 CO2: 3 АТФ+2 НАДФН\displaystyle 1\ \mathrm{CO_2}:\ 3\ \text{АТФ} + 2\ \text{НАДФН}1 глюкоза: 18 АТФ+12 НАДФН\displaystyle 1\ \text{глюкоза}:\ 18\ \text{АТФ} + 12\ \text{НАДФН}
3 завъртания на цикъла дават 1 G3P (3C)
Фиксиране на CO₂урок
RuBP (5C)+CO2→РуБисКО2 GP (3C)\displaystyle \text{RuBP (5C)} + \mathrm{CO_2} \xrightarrow{\text{РуБисКО}} 2\ \text{GP (3C)}
Светлина и разстояниеурок
I∝1d2\displaystyle I \propto \frac{1}{d^2}
лампа на 2 пъти по-голямо разстояние дава 4 пъти по-слаба светлина
Нетна фотосинтезаурок
нетна=брутна−дишане\displaystyle \text{нетна} = \text{брутна} - \text{дишане}
в точката на компенсация нетната е 0
Rf на пигментурок
Rf=път на петнотопът на разтворителя\displaystyle R_f = \frac{\text{път на петното}}{\text{път на разтворителя}}
каротин > ксантофили > хлорофил a > хлорофил b

ДНК и синтез на белтък

Правило на Чаргафурок
% А=% Т,% Г=% Ц,% А+% Г=50%\displaystyle \%\,\text{А} = \%\,\text{Т},\quad \%\,\text{Г} = \%\,\text{Ц},\quad \%\,\text{А} + \%\,\text{Г} = 50\%
за двойноверижна ДНК, не за една верига
Водородни връзки между веригитеурок
H=2 nА–Т+3 nГ–Ц\displaystyle H = 2\,n_{\text{А–Т}} + 3\,n_{\text{Г–Ц}}
Дължина на ДНКурок
L=N⋅0,34 nm,\displaystyle L = N \cdot 0{,}34\ \mathrm{nm},навивки≈N10\displaystyle \text{навивки} \approx \frac{N}{10}
N – брой двойки бази
Брой кодониурок
43=64=61 смислови+3 стоп\displaystyle 4^3 = 64 = 61\ \text{смислови} + 3\ \text{стоп}
Нуклеотиди в кодиращата част на иРНКурок
nнт=3 (nак+1)\displaystyle n_{\text{нт}} = 3\,(n_{\text{ак}} + 1)
от стартовия кодон до стоп кодона включително; nакn_{\text{ак}} – брой аминокиселини
Опитът на Мезелсон и Сталурок
хибридни молекули: 22g,\displaystyle \text{хибридни молекули: } \frac{2}{2^g},вериги с 15N: 12g\displaystyle \text{вериги с }^{15}\mathrm{N}\text{: } \frac{1}{2^g}
g – брой поколения в ¹⁴N (g ≥ 1)
Време за репликацияурок
t=N2 v k\displaystyle t = \frac{N}{2\,v\,k}
N – двойки бази, v – скорост на една вилка, k – брой начала (всяко с две вилки)

Законите на Мендел

Монохибридно кръстосване, F₂урок
Aa×Aa:AA:Aa:aa=1:2:1,\displaystyle Aa \times Aa:\quad AA : Aa : aa = 1 : 2 : 1,A_:aa=3:1\displaystyle A\_ : aa = 3 : 1
при непълно доминиране и кодоминиране фенотиповете също са 1 : 2 : 1
Анализиращо кръстосванеурок
Aa×aa:Aa:aa=1:1\displaystyle Aa \times aa:\quad Aa : aa = 1 : 1
Дихибридно кръстосване, F₂урок
AaBb×AaBb:A_B_:A_bb:aaB_:aabb=9:3:3:1\displaystyle AaBb \times AaBb:\quad A\_B\_ : A\_bb : aaB\_ : aabb = 9 : 3 : 3 : 1
гените са в различни хромозоми; епистазата дава 9 : 3 : 4 или 9 : 7
Гамети, генотипове и фенотипове при n хетерозиготни генаурок
2n гамети,\displaystyle 2^n\ \text{гамети},3n генотипа и 2n фенотипа в F2\displaystyle 3^n\ \text{генотипа и}\ 2^n\ \text{фенотипа в F}_2
при пълно доминиране и гени в различни хромозоми
Правило за умножениеурок
P(A_ bb)=P(A_)⋅P(bb)=34⋅14=316\displaystyle P(A\_\,bb) = P(A\_) \cdot P(bb) = \tfrac{3}{4} \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{16}
за независимо унаследявани гени
Честота на рекомбинацияурок
RF=рекомбинантивсички потомци⋅100%,\displaystyle RF = \frac{\text{рекомбинанти}}{\text{всички потомци}} \cdot 100\%,1% =1 cM\displaystyle 1\%\ = 1\ \mathrm{cM}
при анализиращо кръстосване; RF ≤ 50%
Интерференцияурок
I=1−наблюдавани двойни кросинговъриRF1⋅RF2⋅N\displaystyle I = 1 - \frac{\text{наблюдавани двойни кросинговъри}}{RF_1 \cdot RF_2 \cdot N}
дробта е коефициентът на съвпадение
Тест хи-квадратурок
χ2=∑(O−E)2E,\displaystyle \chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E},степени на свобода=класове−1\displaystyle \text{степени на свобода} = \text{класове} - 1
критични стойности при 0,05: 3,84 (1), 5,99 (2), 7,81 (3), 9,49 (4)

Наследяване при човека

Двама носители на рецесивна болестурок
Aa×Aa:P(aa)=14,P(Aa)=12\displaystyle Aa \times Aa:\quad P(aa) = \tfrac{1}{4},\quad P(Aa) = \tfrac{1}{2}
за всяко дете поотделно, независимо от предишните деца
Здрав брат или сестра на боленурок
P(Aa∣здрав)=23\displaystyle P(Aa \mid \text{здрав}) = \tfrac{2}{3}
родителите са носители; случаят aa отпада
Носителка на X-свързана рецесивна болестурок
XHXh×XHY:12 от синовете болни,12 от дъщерите носителки\displaystyle X^HX^h \times X^HY:\quad \tfrac{1}{2}\ \text{от синовете болни},\quad \tfrac{1}{2}\ \text{от дъщерите носителки}
Болен баща, X-свързана рецесивна болестурок
XHXH×XhY:всички дъщери носителки, всички синове здрави\displaystyle X^HX^H \times X^hY:\quad \text{всички дъщери носителки, всички синове здрави}
Кръвни групи AB0урок
A: IAIA,IAi;B: IBIB,IBi;AB: IAIB;0: ii\displaystyle \text{A: } I^AI^A, I^Ai;\quad \text{B: } I^BI^B, I^Bi;\quad \text{AB: } I^AI^B;\quad \text{0: } ii
IA и IB са кодоминантни, i е рецесивен
Наследственост по Фалконърурок
H2≈2 (rЕБ−rДБ)\displaystyle H^2 \approx 2\,(r_{\text{ЕБ}} - r_{\text{ДБ}})
r – корелация на белега при еднояйчни (ЕБ) и двуяйчни (ДБ) близнаци
Полигенен белег с n адитивни генаурок
2n+1 фенотипа;\displaystyle 2n + 1\ \text{фенотипа};P(краен фенотип)=(14)n\displaystyle P(\text{краен фенотип}) = \left(\tfrac{1}{4}\right)^n
при родители, хетерозиготни по всички гени
Риск с допълнителна информация (Бейс)урок
P=p⋅L1p⋅L1+(1−p)⋅L0\displaystyle P = \frac{p \cdot L_1}{p \cdot L_1 + (1 - p) \cdot L_0}
p – началната вероятност (напр. за носителство); L₁, L₀ – вероятност на наблюдаваното, ако допускането е вярно или не
Телца на Барурок
NБар=NX−1\displaystyle N_{\text{Бар}} = N_X - 1
във всяка клетка остава активна само една X: 46,XY – 0, 46,XX – 1, 47,XXX – 2

Генни технологии

Честота на място за рязанеурок
веднъж на 4n bp\displaystyle \text{веднъж на } 4^n\ \mathrm{bp}
n – дължина на мястото; 4 bp – на 256, 6 bp – на 4096 bp (при случайна последователност)
Брой фрагменти при k разрезаурок
линейна ДНК: k+1,\displaystyle \text{линейна ДНК: } k + 1,кръгова (плазмид): k\displaystyle \text{кръгова (плазмид): } k
Брой копия при PCRурок
N=N0⋅2n,\displaystyle N = N_0 \cdot 2^n,N=N0(1+E)n\displaystyle N = N_0 (1 + E)^n
n – брой цикли, E – ефективност (1 при пълно удвояване)
Копия с точната дължинаурок
2n−2n\displaystyle 2^n - 2n
двойни вериги от праймер до праймер след n цикъла, започнати от една молекула
Сравнение по праговия цикъл (qPCR)урок
NANB=2Ct,B−Ct,A\displaystyle \frac{N_A}{N_B} = 2^{C_{t,B} - C_{t,A}}
при ефективност 100 %; иначе основата е 1 + E
Гел-електрофорезаурок
d≈a−blg⁡(размер)\displaystyle d \approx a - b \lg(\text{размер})
пробегът е линеен по логаритъма на размера; a и b се намират по маркера
Честота на ДНК профилурок
P=P1⋅P2⋅…⋅Pk\displaystyle P = P_1 \cdot P_2 \cdot \ldots \cdot P_k
произведение от честотите на генотипите в независимите локуси

Естествен отбор и популационна генетика

Честота на алелаурок
p=2NAA+NAa2N,\displaystyle p = \frac{2N_{AA} + N_{Aa}}{2N},p+q=1\displaystyle p + q = 1
всеки диплоиден индивид носи два алела – в популация от N индивида има 2N копия на гена
Закон на Харди–Вайнбергурок
AA:Aa:aa=p2:2pq:q2,\displaystyle AA : Aa : aa = p^2 : 2pq : q^2,p2+2pq+q2=1\displaystyle p^2 + 2pq + q^2 = 1
голяма популация, случайно кръстосване, без отбор, мутации и миграция; χ² при проверка – 1 степен на свобода
Промяна на честотата при отборурок
q′=q (p wAa+q waa)wˉ,\displaystyle q' = \frac{q\,(p\, w_{Aa} + q\, w_{aa})}{\bar{w}},wˉ=p2wAA+2pq wAa+q2waa\displaystyle \bar{w} = p^2 w_{AA} + 2pq\, w_{Aa} + q^2 w_{aa}
w – относителна приспособеност на генотипа, коефициент на отбора s = 1 − w
Рецесивен летален алелурок
qn=q01+nq0,\displaystyle q_n = \frac{q_0}{1 + n q_0},1qn=1q0+n\displaystyle \frac{1}{q_n} = \frac{1}{q_0} + n
n – брой поколения; колкото по-рядък е алелът, толкова по-бавно изчезва
Хетерозиготно предимствоурок
q∗=ss+t\displaystyle q^* = \frac{s}{s + t}
w_AA = 1 − s, w_Aa = 1, w_aa = 1 − t; устойчиво равновесие (сърповидноклетъчна анемия и малария)
Равновесие мутации – отборурок
рецесивен: q≈μ/s,\displaystyle \text{рецесивен: } q \approx \sqrt{\mu / s},доминантен: p≈μ/s\displaystyle \text{доминантен: } p \approx \mu / s
μ – честота на мутациите на ген на поколение
Генетичен дрейфурок
Ht=H0(1−12N)t,\displaystyle H_t = H_0 \left(1 - \frac{1}{2N}\right)^t,Pфикс=p0\displaystyle P_{\text{фикс}} = p_0
H – хетерозиготност; неутрален алел се фиксира с вероятност, равна на началната му честота (нова мутация – 1/2N)
Ефективна численостурок
Ne=4NmNfNm+Nf\displaystyle N_e = \frac{4 N_m N_f}{N_m + N_f}
N_m, N_f – брой размножаващи се мъжки и женски
Уравнение на селекционераурок
R=h2S\displaystyle R = h^2 S
S – диференциал на отбора, h² – наследственост, R – отговор на отбора (изместване на средното за едно поколение)

Видообразуване и филогения

Хромозоми на хибрид и алополиплоидурок
2nхибрид=n1+n2,\displaystyle 2n_{\text{хибрид}} = n_1 + n_2,2nалополиплоид=2(n1+n2)\displaystyle 2n_{\text{алополиплоид}} = 2(n_1 + n_2)
n₁, n₂ – хромозомите в гаметите на двата вида; муле: 32 + 31 = 63; хлебна пшеница AABBDD = 42
Брой двоични дърветаурок
Nвкоренени=(2n−3)!!,\displaystyle N_{\text{вкоренени}} = (2n - 3)!!,Nневкоренени=(2n−5)!!\displaystyle N_{\text{невкоренени}} = (2n - 5)!!
n – брой видове; за 4 вида – 15 и 3, за 10 вида – 34 459 425 и 2 027 025
p-разстояниеурок
p=брой различни позицииброй сравнени позиции\displaystyle p = \frac{\text{брой различни позиции}}{\text{брой сравнени позиции}}
Поправка на Джукс–Канторурок
d=−34ln⁡(1−43p)\displaystyle d = -\frac{3}{4} \ln\left(1 - \frac{4}{3} p\right)
d – замени на позиция с отчетени многократните; p не надхвърля 0,75
Молекулен часовникурок
d=2rT,\displaystyle d = 2rT,T=d2r\displaystyle T = \frac{d}{2r}
r – замени на позиция за единица време по всеки клон; калибрира се по вкаменелости
Индекс на съгласуваностурок
CI=ms\displaystyle CI = \frac{m}{s}
m – най-малкият възможен брой промени (брой състояния − 1 за всеки белег), s – промените по дървото; CI = 1 – без хомоплазия

Вируси, бактерии, протисти и гъби

Растеж на бактериитеурок
N=N0⋅2t/g,\displaystyle N = N_0 \cdot 2^{t/g},n=tg\displaystyle n = \frac{t}{g}
g – време на генерация, n – брой поколения; важи в логаритмичната фаза
Време на генерация от два брояурок
g=tn=tlg⁡2lg⁡N−lg⁡N0\displaystyle g = \frac{t}{n} = \frac{t \lg 2}{\lg N - \lg N_0}
Скорост на растежурок
μ=ln⁡2g,\displaystyle \mu = \frac{\ln 2}{g},N=N0eμt\displaystyle N = N_0 e^{\mu t}
Брой бактерии от брой колонииурок
N=CV⋅d  CFU/ml\displaystyle N = \frac{C}{V \cdot d}\ \ \mathrm{CFU/ml}
C – колонии (броят се петрита с 30–300), V – посят обем в ml, d – разреждане (напр. 10⁻⁶)
Последователно разрежданеурок
d=(vv+Vвода)k\displaystyle d = \left(\frac{v}{v + V_{\text{вода}}}\right)^k
1 ml в 9 ml вода, повторено k пъти: d = 10⁻ᵏ
Заразяване с фаги (Поасон)урок
m=NфагиNбактерии,\displaystyle m = \frac{N_{\text{фаги}}}{N_{\text{бактерии}}},P(k)=mke−mk!,\displaystyle P(k) = \frac{m^k e^{-m}}{k!},P(0)=e−m\displaystyle P(0) = e^{-m}
m – множественост на заразяване (MOI); P(0) – дял на незаразените клетки
Азотфиксацияурок
N2+8H++8e−+16 АТФ→2NH3+H2+16 АДФ+16 Pi\displaystyle \mathrm{N_2 + 8H^+ + 8e^- + 16\,АТФ \to 2NH_3 + H_2 + 16\,АДФ + 16\,P_i}
ензим нитрогеназа; работи само без кислород

Систематика

Брой тези в двувходов ключурок
n−1\displaystyle n - 1
n – брой видове, всеки в отделен край на ключа; всяка теза разделя една група на две
Най-краткият най-дълъг път в ключаурок
k=⌈log⁡2n⌉\displaystyle k = \lceil \log_2 n \rceil
с k въпроса „да/не“ се различават най-много 2k2^k вида
Среден брой въпроси в ключаурок
dˉ=∑pidi\displaystyle \bar{d} = \sum p_i d_i
pᵢ – колко често се среща видът, dᵢ – брой въпроси до него; честите видове трябва да са близо до началото
Плоидност при редуване на поколениятаурок
спора, гаметофит, гамета: n,\displaystyle \text{спора, гаметофит, гамета: } n,зигота, спорофит: 2n\displaystyle \text{зигота, спорофит: } 2n
мейозата дава спорите, митозата в гаметофита – гаметите; при мейоза от 1 клетка – 4 спори
Ходилни крака при членестоногитеурок
насекоми 6,паякообразни 8,десетоноги раци 10\displaystyle \text{насекоми } 6, \quad \text{паякообразни } 8, \quad \text{десетоноги раци } 10

Строеж и транспорт при растенията

Воден потенциалурок
Ψ=Ψs+Ψp,\displaystyle \Psi = \Psi_s + \Psi_p,Ψs=−cRT\displaystyle \Psi_s = -cRT
водата тече към по-ниския Ψ; c – осмотична концентрация, при 20 °C RT ≈ 2,44 L·MPa/mol
Воден потенциал на въздухаурок
Ψ=RTVˉwln⁡φ\displaystyle \Psi = \frac{RT}{\bar V_w} \ln \varphi
φ – относителна влажност; при 20 °C RT/V̄ ≈ 135 MPa, при 50 % Ψ ≈ −94 MPa
Потометърурок
V=πr2⋅dt\displaystyle V = \pi r^2 \cdot \frac{d}{t}
r – радиус на капиляра, d – път на мехурчето за време t; дава поетата вода за единица време
Гъстота на устицатаурок
ρ=Nπ(D/2)2\displaystyle \rho = \frac{N}{\pi (D/2)^2}
N – устица в кръгло зрително поле с диаметър D
Опън за воден стълбурок
ΔΨ=ρgh≈0,01 MPa/m\displaystyle \Delta \Psi = \rho g h \approx 0{,}01\ \mathrm{MPa/m}
само за да се задържи стълбът; триенето в съдовете добавя още толкова или повече
Закон на Хаген–Поазьойурок
Q=πr4Δp8ηL\displaystyle Q = \frac{\pi r^4 \Delta p}{8 \eta L}
двойно по-широк съд пропуска 16 пъти повече вода; средната скорост расте като r²
Капилярно издиганеурок
h=2σcos⁡θρgr\displaystyle h = \frac{2 \sigma \cos\theta}{\rho g r}
в съд с радиус 20 µm – около 0,75 m: твърде малко за дърветата

Растеж и размножаване при растенията

Двойно опложданеурок
зигота: n+n=2n,\displaystyle \text{зигота: } n + n = 2n,ендосперм: n+n+n=3n\displaystyle \text{ендосперм: } n + n + n = 3n
едната спермия + яйцеклетката; другата спермия + двете полярни ядра на централната клетка
Хромозоми в ендоспермаурок
Nендосперм=32⋅2n\displaystyle N_{\text{ендосперм}} = \frac{3}{2} \cdot 2n
при царевицата 2n = 20 → 30; семенната обвивка и стената на плода са 2n (тъкани на майката)
Генотип на ендоспермаурок
m m f\displaystyle m\,m\,f
m – алелът в мегаспората (двете полярни ядра са еднакви), f – алелът на спермията
Опит на Вентурок
α∼cауксин\displaystyle \alpha \sim c_{\text{ауксин}}
ъгълът на огъване е пропорционален на ауксина в агаровото блокче (при малки количества)
Прекъсната нощурок
tтъмно=max⁡(t1,t2),\displaystyle t_{\text{тъмно}} = \max(t_1, t_2),t1+t2=24−tден\displaystyle t_1 + t_2 = 24 - t_{\text{ден}}
решава най-дългият непрекъснат тъмен период и последната светкавица (червена – прекъсва, далечна червена – отменя)
Логистичен (сигмоиден) растежурок
h(t)=H1+e−r(t−t0),\displaystyle h(t) = \frac{H}{1 + e^{-r(t - t_0)}},hmax⁡′=rH4\displaystyle h'_{\max} = \frac{rH}{4}
H – крайна височина; най-бърз растеж при h = H/2 (t = t₀)

Хранене и храносмилане

Енергийна стойност на хранатаурок
E=17 mвъгл+37 mмазн+17 mбелт\displaystyle E = 17\,m_{\text{въгл}} + 37\,m_{\text{мазн}} + 17\,m_{\text{белт}}
E в kJ, масите в g; на грам: въглехидрати и белтъци 17 kJ (4 kcal), мазнини 37 kJ (9 kcal)
Килокалории и килоджаулиурок
1 kcal=4,184 kJ\displaystyle 1\ \mathrm{kcal} = 4{,}184\ \mathrm{kJ}
Площ на емулгираните капчициурок
A=6Vd,\displaystyle A = \frac{6V}{d},N=6Vπd3\displaystyle N = \frac{6V}{\pi d^3}
обем V мазнина на N еднакви капки с диаметър d; 10 пъти по-малки капки – 10 пъти по-голяма площ за липазата
Хидролиза на нишестетоурок
(C6H10O5)n+n H2O→n C6H12O6\displaystyle (\mathrm{C_6H_{10}O_5})_n + n\,\mathrm{H_2O} \to n\,\mathrm{C_6H_{12}O_6}
от 162 g нишесте се получават 180 g глюкоза – масата расте с присъединената вода
Основна обмяна (Мифлин – Сейнт Жор)урок
BMR=10 m+6,25 h−5 a+s\displaystyle BMR = 10\,m + 6{,}25\,h - 5\,a + s
kcal на ден; m в kg, h в cm, a – години; s = +5 за мъже, −161 за жени; за възрастни, при подрастващи – ориентир
Дневен разход на енергияурок
Eден=BMR⋅PAL\displaystyle E_{\text{ден}} = BMR \cdot PAL
PAL – коефициент на физическа активност: около 1,4 (заседнал) до 2 и повече (спортист)
Индекс на телесната масаурок
ИТМ=mh2\displaystyle \text{ИТМ} = \frac{m}{h^2}
m в kg, h в m; при възрастни 18,5–25 – нормално тегло, 25–30 – наднормено, над 30 – затлъстяване
Промяна на масатаурок
Δm≈Eприето−Eразход32 000 kJ/kg\displaystyle \Delta m \approx \frac{E_{\text{прието}} - E_{\text{разход}}}{32\,000\ \mathrm{kJ/kg}}
1 kg мастна тъкан – грубо 32 000 kJ (7700 kcal); тялото частично се приспособява, затова е горна граница
Дихателен коефициентурок
RQ=VCO2VO2\displaystyle RQ = \frac{V_{\mathrm{CO_2}}}{V_{\mathrm{O_2}}}
въглехидрати – 1, белтъци – около 0,8, мазнини – около 0,7

Кръв и кръвообращение

Минутен обемурок
МО=пулс⋅УО,\displaystyle \text{МО} = \text{пулс} \cdot \text{УО},УО=EDV−ESV\displaystyle \text{УО} = \text{EDV} - \text{ESV}
в покой ≈ 70 · 70 mL ≈ 5 L/min; при трениран бегач до 25–35 L/min
Фракция на изтласкванеурок
ФИ=УОEDV\displaystyle \text{ФИ} = \frac{\text{УО}}{\text{EDV}}
нормално около 55–70 %
Средно артериално наляганеурок
pˉ=МО⋅R+pДП≈pд+pс−pд3\displaystyle \bar p = \text{МО} \cdot R + p_{\text{ДП}} \approx p_{\text{д}} + \frac{p_{\text{с}} - p_{\text{д}}}{3}
при 120/80 mmHg – около 93 mmHg; pс − pд е пулсовото налягане
Уравнение на непрекъснатосттаурок
Q=A⋅v\displaystyle Q = A \cdot v
A – общото сечение на всички съдове от вида: аорта ≈ 2,5 cm², капиляри ≈ 2500 cm² → кръвта в капилярите е ≈ 1000 пъти по-бавна
Закон на Поазьой за съдоветеурок
Q=ΔpR,\displaystyle Q = \frac{\Delta p}{R},R=8ηLπr4\displaystyle R = \frac{8 \eta L}{\pi r^4}
двойно по-тесен съд има 16 пъти по-голямо съпротивление – така артериолите регулират потока
Принцип на Фикурок
МО=V˙O2Ca−Cv\displaystyle \text{МО} = \frac{\dot V_{O_2}}{C_a - C_v}
250 mL O₂/min : (200 − 150) mL O₂/L = 5 L/min
Пулс от ЕКГурок
пулс=60T=1500RR [mm]\displaystyle \text{пулс} = \frac{60}{T} = \frac{1500}{RR\ [\mathrm{mm}]}
при скорост на хартията 25 mm/s
Показатели на еритроцититеурок
MCV=HctNер,\displaystyle \text{MCV} = \frac{\text{Hct}}{N_{\text{ер}}},MCHC=HbHct\displaystyle \text{MCHC} = \frac{\text{Hb}}{\text{Hct}}
0,45 : 5 · 10¹²/L = 90 fL; 150 g/L : 0,45 ≈ 333 g/L
Сили на Старлингурок
J∼(pк−pт)−(πк−πт)\displaystyle J \sim (p_{\text{к}} - p_{\text{т}}) - (\pi_{\text{к}} - \pi_{\text{т}})
J > 0 – филтрация (артериален край, p ≈ 35 mmHg), J < 0 – реабсорбция (венозен край, p ≈ 15 mmHg); онкотично налягане ≈ 25 mmHg

Дишане и газообмен

Закон на Фикурок
J∼A Δpd\displaystyle J \sim \frac{A \, \Delta p}{d}
дифузията расте с площта и разликата в парциалното налягане и пада с дебелината на преградата
Белодробни капацитетиурок
ЖК=ДО+РВО+РИО,\displaystyle ЖК = ДО + РВО + РИО,ОБК=ЖК+ОО,\displaystyle ОБК = ЖК + ОО,ФОК=РИО+ОО\displaystyle ФОК = РИО + ОО
при млад мъж около ДО 0,5 L, ЖК 4,6 L, ОБК 5,8 L; остатъчният обем не се мери със спирометър
Белодробна и алвеоларна вентилацияурок
V˙E=VT⋅f,\displaystyle \dot V_E = V_T \cdot f,V˙A=(VT−VD)⋅f\displaystyle \dot V_A = (V_T - V_D) \cdot f
мъртвото пространство V_D ≈ 150 mL; в покой V̇E ≈ 6–8 L/min
Парциално налягане във вдишания въздухурок
PIO2=0,21⋅(p−6,3 kPa)\displaystyle P_{IO_2} = 0{,}21 \cdot (p - 6{,}3\ \mathrm{kPa})
в трахеята въздухът е наситен с водни пари; на морското равнище ≈ 20 kPa
Уравнение на алвеоларния газурок
PAO2≈PIO2−PACO2R\displaystyle P_{AO_2} \approx P_{IO_2} - \frac{P_{ACO_2}}{R}
R ≈ 0,8 – дихателният коефициент; на морското равнище 20 − 5,3/0,8 ≈ 13,3 kPa
Уравнение на Хилурок
S=PO2 nPO2 n+P50 n\displaystyle S = \frac{P_{O_2}^{\,n}}{P_{O_2}^{\,n} + P_{50}^{\,n}}
за хемоглобин на възрастен P50 ≈ 3,5 kPa, n ≈ 2,7; за миоглобин n = 1
Съдържание на кислород в кръвтаурок
CO2=1,34⋅[Hb]⋅S+0,225⋅PO2\displaystyle C_{O_2} = 1{,}34 \cdot [\mathrm{Hb}] \cdot S + 0{,}225 \cdot P_{O_2}
mL/L при [Hb] в g/L и PO₂ в kPa; артериалната кръв носи ≈ 200 mL O₂ на литър
Принцип на Фик за потреблението на O₂урок
V˙O2=Q⋅(Ca−Cv)\displaystyle \dot V_{O_2} = Q \cdot (C_a - C_v)
Q – сърдечен дебит; в покой 5 L/min · 50 mL/L = 250 mL/min
Пренос на CO₂урок
CO2+H2O⇌H2CO3⇌H++HCO3−\displaystyle \mathrm{CO_2 + H_2O \rightleftharpoons H_2CO_3 \rightleftharpoons H^+ + HCO_3^-}
ускорява се от карбоанхидразата в еритроцитите; около 70 % от CO₂ се носи като HCO₃⁻
pH на кръвтаурок
pH=6,1+lg⁡[HCO3−]0,23⋅PCO2\displaystyle \mathrm{pH} = 6{,}1 + \lg \frac{[\mathrm{HCO_3^-}]}{0{,}23 \cdot P_{CO_2}}
[HCO₃⁻] в mmol/L, PCO₂ в kPa; при 24 mmol/L и 5,3 kPa – pH ≈ 7,4

Отделяне и хомеостаза

Филтрат за денонощиеурок
Vден=GFR⋅1440 min\displaystyle V_{\text{ден}} = GFR \cdot 1440\ \mathrm{min}
GFR ≈ 125 mL/min → около 180 L филтрат на ден; урината е около 1,5 L – обратно се поемат около 99 % от водата
Ефективно филтрационно наляганеурок
Pеф=Pг−Pк−π≈55−15−30=10 mmHg\displaystyle P_{\text{еф}} = P_{\text{г}} - P_{\text{к}} - \pi \approx 55 - 15 - 30 = 10\ \mathrm{mmHg}
Pг – в капилярите на гломерула, Pк – в капсулата на Боуман, π – онкотичното налягане на плазмените белтъци
Баланс на веществото в нефронаурок
отделено=филтрирано−поето обратно+секретирано\displaystyle \text{отделено} = \text{филтрирано} - \text{поето обратно} + \text{секретирано}
филтрирано = GFR · P (P – концентрацията в плазмата)
Клирънсурок
C=U⋅VP\displaystyle C = \frac{U \cdot V}{P}
U – концентрация в урината, V – урина за минута, P – концентрация в плазмата; инулин: C = GFR ≈ 125 mL/min, PAH: C ≈ плазмения ток (≈ 600–650 mL/min), глюкоза: C = 0
Филтрационна фракция и кръвен токурок
FF=GFRRPF≈0,2,\displaystyle FF = \frac{GFR}{RPF} \approx 0{,}2,RBF=RPF1−Hct\displaystyle RBF = \frac{RPF}{1 - Hct}
RPF – плазменият ток през бъбреците (клирънсът на PAH), Hct – хематокритът
Бъбречен праг за глюкозаурок
Pпраг=TmGFR≈375 mg/min125 mL/min=300 mg/dL\displaystyle P_{\text{праг}} = \frac{T_m}{GFR} \approx \frac{375\ \mathrm{mg/min}}{125\ \mathrm{mL/min}} = 300\ \mathrm{mg/dL}
идеалният праг; реално глюкоза се появява в урината около 10 mmol/L (180 mg/dL), защото нефроните се различават
Обем на уринатаурок
V=SUосм\displaystyle V = \frac{S}{U_{\text{осм}}}
S – разтворените вещества за изхвърляне (≈ 600–900 mOsm/ден); при U от 50 до 1200 mOsm/kg – от около 0,5 до около 12 L на ден
Изпаряване на потурок
Q=mL,\displaystyle Q = m L,L≈2,4 kJ/g\displaystyle L \approx 2{,}4\ \mathrm{kJ/g}
1 L пот на час отнема около 670 W
Топлинен баланс на тялотоурок
mcΔTΔt=M−Qкожа−Qизп\displaystyle m c \frac{\Delta T}{\Delta t} = M - Q_{\text{кожа}} - Q_{\text{изп}}
c ≈ 3,5 kJ/(kg·K); M – произведената топлина (≈ 80 W в покой)

Нервна система и сетива

Уравнение на Нернстурок
E=RTzFln⁡[X]вън[X]вътре\displaystyle E = \frac{RT}{zF} \ln \frac{[\mathrm{X}]_{\text{вън}}}{[\mathrm{X}]_{\text{вътре}}}
равновесният потенциал на йона X със заряд z; R = 8,314 J/(mol·K), F = 96 485 C/mol
Нернст при 37 °Cурок
E≈61,5 mVzlg⁡[X]вън[X]вътре\displaystyle E \approx \frac{61{,}5\ \mathrm{mV}}{z} \lg \frac{[\mathrm{X}]_{\text{вън}}}{[\mathrm{X}]_{\text{вътре}}}
K⁺ 5/140 mmol/L → E(K⁺) ≈ −89 mV; Na⁺ 145/15 mmol/L → E(Na⁺) ≈ +61 mV
Уравнение на Голдман–Ходжкин–Кацурок
V=61,5lg⁡PK[K+]вън+PNa[Na+]вън+PCl[Cl−]вътреPK[K+]вътре+PNa[Na+]вътре+PCl[Cl−]вън\displaystyle V = 61{,}5 \lg \frac{P_K [K^+]_{\text{вън}} + P_{Na} [Na^+]_{\text{вън}} + P_{Cl} [Cl^-]_{\text{вътре}}}{P_K [K^+]_{\text{вътре}} + P_{Na} [Na^+]_{\text{вътре}} + P_{Cl} [Cl^-]_{\text{вън}}}
потенциалът на покой (mV, 37 °C); при P(K⁺) : P(Na⁺) : P(Cl⁻) = 1 : 0,04 : 0,45 – около −67 mV
Скорост на провежданеурок
v=ΔxΔt2−Δt1\displaystyle v = \frac{\Delta x}{\Delta t_2 - \Delta t_1}
нервът се дразни в две точки на разстояние Δx; закъснението в синапса и мускула отпада при изваждането
Скорост и диаметър на влакнотоурок
vмиелин≈6 m/sμm⋅d,\displaystyle v_{\text{миелин}} \approx 6\ \tfrac{\mathrm{m/s}}{\mathrm{\mu m}} \cdot d,vгол∝d\displaystyle v_{\text{гол}} \propto \sqrt{d}
приблизителни правила; гол аксон от 1 µm – около 1 m/s, миелинизиран от 10 µm – около 60 m/s
Най-голяма честота на импулситеурок
fmax⁡=1Tреф\displaystyle f_{\max} = \frac{1}{T_{\text{реф}}}
T – абсолютният рефрактерен период (около 1 ms → до около 1000 Hz)
Време на рефлексаурок
t=Lv+n⋅tсин\displaystyle t = \frac{L}{v} + n \cdot t_{\text{син}}
L – дължината на дъгата, n – броят на синапсите, синаптичното закъснение t ≈ 0,5 ms
Йони за един импулсурок
N=CΔV⋅Ae\displaystyle N = \frac{C \Delta V \cdot A}{e}
C ≈ 1 µF/cm² – капацитетът на мембраната, ΔV ≈ 100 mV, A – площта; около 6 · 10¹¹ йона на cm²

Хормони

Полуживот на хормонурок
C=C0⋅2−t/t1/2,\displaystyle C = C_0 \cdot 2^{-t/t_{1/2}},k=ln⁡2t1/2\displaystyle k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}
когато отделянето спре; адреналин t½ ≈ 2–3 min, инсулин ≈ 5 min, кортизол ≈ 60–90 min, T4 ≈ 7 дни
Стационарна концентрацияурок
Cст=RCl\displaystyle C_{\text{ст}} = \frac{R}{Cl}
R – скорост на отделяне, Cl – клирънс (обем плазма, изчистен за единица време); при стационарно ниво отделянето е равно на разграждането
Достигане на стационарното нивоурок
C=Cст(1−2−t/t1/2)\displaystyle C = C_{\text{ст}} \left(1 - 2^{-t/t_{1/2}}\right)
50 % за един полуживот, 90 % за log⁡210≈3,3\log_2 10 \approx 3{,}3 полуживота – независимо от скоростта на отделяне
Натрупване при повтарящи се дозиурок
R=11−2−τ/t1/2\displaystyle R = \frac{1}{1 - 2^{-\tau/t_{1/2}}}
τ – интервал между дозите; R – колко пъти върхът при стационарно ниво е над върха след първата доза; дъното е R⋅2−τ/t1/2R \cdot 2^{-\tau/t_{1/2}}
Усилване в сигналната каскадаурок
Nизход=Nхормон⋅a1⋅a2⋯an\displaystyle N_{\text{изход}} = N_{\text{хормон}} \cdot a_1 \cdot a_2 \cdots a_n
a – колко молекули се включват на всяко стъпало; по учебниците 1 молекула адреналин → около 10810^8 молекули глюкоза-1-фосфат
Йод в тироксинаурок
w(I)=4⋅126,9776,9≈0,65\displaystyle w(\mathrm{I}) = \frac{4 \cdot 126{,}9}{776{,}9} \approx 0{,}65
тироксинът C₁₅H₁₁I₄NO₄ (T4) е 65 % йод по маса; нужни са около 150 μg йод на ден

Имунитет

Ефективно репродуктивно числоурок
R=R0⋅(1−p)\displaystyle R = R_0 \cdot (1 - p)
R₀ – колко души заразява един болен сред податливи хора, p – делът на имунните; при R < 1 епидемията угасва
Праг на колективния имунитетурок
pc=1−1R0\displaystyle p_c = 1 - \frac{1}{R_0}
за морбили (R₀ около 12–18) – над 92–94 %, за полиомиелит (R₀ около 5–7) – 80–86 %
Нужен ваксинален обхватурок
Vc=1−1/R0E\displaystyle V_c = \frac{1 - 1/R_0}{E}
E – ефективността на ваксината (делът от ваксинираните, които са защитени); при V_c > 1 ваксината не стига за колективен имунитет
Ефективност на ваксинаурок
E=1−rваксинираниrплацебо\displaystyle E = 1 - \frac{r_{\text{ваксинирани}}}{r_{\text{плацебо}}}
r – делът на разболелите се във всяка група на изпитанието; например 8 срещу 162 при еднакви групи → E ≈ 95 %
Окончателен размер на епидемията (SIR)урок
z=1−e−R0z\displaystyle z = 1 - e^{-R_0 z}
z – делът от хората, които преболедуват без ваксинация; при R₀ = 2 → z ≈ 0,797
Случаи в n-тото поколениеурок
Nn=Rn\displaystyle N_n = R^n
от един болен; общо до n-тото поколение – 1 + R + … + Rⁿ
Клонално размножаванеурок
N=N0⋅2t/T\displaystyle N = N_0 \cdot 2^{t/T}
T – времето за едно делене на лимфоцита; при вторичния отговор N₀ са клетките на паметта и клонът е много по-голям
Разграждане на антителатаурок
C=C0⋅(12)t/t1/2\displaystyle C = C_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}
полуживот около 21 дни за IgG и около 5 дни за IgM
Разнообразие на антителата (V(D)J)урок
N=(V⋅D⋅J)тежка⋅(V⋅J)лека\displaystyle N = (V \cdot D \cdot J)_{\text{тежка}} \cdot (V \cdot J)_{\text{лека}}
около 40 · 25 · 6 = 6000 тежки и около 320 леки вериги → ≈ 1,9 · 10⁶ комбинации; неточните съединения дават още много повече

Размножаване и развитие

Брой клетки при браздяванетоурок
N=2n\displaystyle N = 2^n
n – брой синхронни деления на зиготата; 5 деления → 32 клетки (морула), 7 → 128 (бластула)
Размер на бластомеритеурок
Vn=V02n,\displaystyle V_n = \frac{V_0}{2^n},dn=d02n/3\displaystyle d_n = \frac{d_0}{2^{n/3}}
при браздяването общият обем не расте; човешката зигота d₀ ≈ 100 µm → след 3 деления 50 µm
Гамети от една клеткаурок
1 сперматоцит→4 сперматозоида,\displaystyle 1\ \text{сперматоцит} \to 4\ \text{сперматозоида},1 ооцит→1 яйцеклетка\displaystyle 1\ \text{ооцит} \to 1\ \text{яйцеклетка}
при оогенезата деленията са неравни – отделят се 2 или 3 полярни телца
Ден на овулациятаурок
tов≈L−14\displaystyle t_{\text{ов}} \approx L - 14
L – дължина на цикъла в дни; лутеалната фаза (от овулацията до менструацията) е около 14 дни
Плодни дниурок
tов−5≤t≤tов\displaystyle t_{\text{ов}} - 5 \le t \le t_{\text{ов}}
сперматозоидите живеят до около 5 дни, яйцеклетката може да бъде оплодена 12–24 h след овулацията
Правило на Негелеурок
tраждане=tПМ+280 дни=tПМ+40 седмици\displaystyle t_{\text{раждане}} = t_{\text{ПМ}} + 280\ \text{дни} = t_{\text{ПМ}} + 40\ \text{седмици}
ПМ – първият ден на последната менструация; от оплождането – около 266 дни
Нарастване на hCGурок
N=N0⋅2t/T,\displaystyle N = N_0 \cdot 2^{t/T},T≈2 дни\displaystyle T \approx 2\ \text{дни}
в началото на бременността; тестът за бременност открива hCG в урината
Двойна цена на половото размножаванеурок
Nбезп(g)=2g,\displaystyle N_{\text{безп}}(g) = 2^g,Nпол=const\displaystyle N_{\text{пол}} = \text{const}
безполовата женска има 2 дъщери, половата – дъщеря и син; без предимство на пола безполовите бързо биха надделели

Екосистеми и потоци на енергия

Нетна първична продукцияурок
НПП=БПП−R\displaystyle \text{НПП} = \text{БПП} - R
БПП – цялата енергия, свързана при фотосинтезата; R – изразходваното от самите растения за дишане (често около половината)
Ефективност на фотосинтезатаурок
ηф=БППEсветлина⋅100 %\displaystyle \eta_{\text{ф}} = \frac{\text{БПП}}{E_{\text{светлина}}} \cdot 100\ \%
обикновено около 1 %; в България на 1 m² падат около 5 · 10⁶ kJ слънчева енергия за година
Ефективност на прехода между трофичните ниваурок
η=Pn+1Pn⋅100 %\displaystyle \eta = \frac{P_{n+1}}{P_n} \cdot 100\ \%
P – продукцията (енергията) на нивото; обикновено 5–20 %, средно около 10 %
Правило на 10-те процентаурок
En≈E1⋅0,1 n−1\displaystyle E_n \approx E_1 \cdot 0{,}1^{\,n-1}
E₁ – нетната продукция на продуцентите; до ниво 4 стига около една хилядна
Ефективността като произведениеурок
η=CE⋅AE⋅PE\displaystyle \eta = CE \cdot AE \cdot PE
CE – изядена част от продукцията, AE – усвоена част от изяденото, PE – част от усвоеното, превърната в прираст (при топлокръвните 1–3 %)
Трофично ниво на всеяден организъмурок
TL=1+∑ipi⋅TLi\displaystyle TL = 1 + \sum_i p_i \cdot TL_i
pᵢ – делът на храната i в менюто, TLᵢ – нейното трофично ниво; продуцентите имат TL = 1
Биоконцентрацияурок
BCF=CорганизъмCвода\displaystyle \text{BCF} = \frac{C_{\text{организъм}}}{C_{\text{вода}}}
колко пъти концентрацията в организма (например планктона) е по-висока от тази във водата
Биомагнификацияурок
Cn+1=Cn⋅BMF,\displaystyle C_{n+1} = C_n \cdot \text{BMF},BMF≈fg\displaystyle \text{BMF} \approx \frac{f}{g}
f – задържаната част от погълнатото вещество, g – частта от храната, която става тяло; при f = 0,8 и g = 0,1 BMF = 8
Нетна продукция на екосистематаурок
NEP=НПП−Rхет\displaystyle \text{NEP} = \text{НПП} - R_{\text{хет}}
R_хет – дишането на животните и разлагачите; ако е положителна, екосистемата натрупва въглерод

Популации

Баланс на численосттаурок
Nt+1=Nt+B−D+I−E\displaystyle N_{t+1} = N_t + B - D + I - E
B – родени, D – умрели, I – дошли (имиграция), E – тръгнали си (емиграция)
Маркиране и повторно улавяне (Линкълн–Петерсен)урок
N≈M⋅CR\displaystyle N \approx \frac{M \cdot C}{R}
M – маркирани, C – уловени втория път, R – маркирани сред тях; популацията трябва да е затворена
Поправка на Чапманурок
N≈(M+1)(C+1)R+1−1\displaystyle N \approx \frac{(M + 1)(C + 1)}{R + 1} - 1
по-точна при малко R; работи и при R = 0
Експоненциален растежурок
dNdt=rN,\displaystyle \frac{dN}{dt} = rN,N=N0ert,\displaystyle N = N_0 e^{rt},r=b−d\displaystyle r = b - d
b и d – раждаемост и смъртност на индивид за единица време
Време за удвояванеурок
t2=ln⁡2r≈70r [%]\displaystyle t_2 = \frac{\ln 2}{r} \approx \frac{70}{r\,[\%]}
правилото на 70 е точно при малки проценти растеж
Логистичен растежурок
dNdt=rN(1−NK)\displaystyle \frac{dN}{dt} = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right)
K – капацитетът на средата; S-образна крива
Максимален устойчив уловурок
Ymax⁡=rK4приN=K2\displaystyle Y_{\max} = \frac{rK}{4} \quad \text{при} \quad N = \frac{K}{2}
най-големият приръст на логистичната популация
Модел на Лотка–Волтераурок
dHdt=αH−βHP,\displaystyle \frac{dH}{dt} = \alpha H - \beta HP,dPdt=δHP−γP\displaystyle \frac{dP}{dt} = \delta HP - \gamma P
H – жертви, P – хищници; равновесие H* = γ/δ, P* = α/β
Индекс на разсейванеурок
s2xˉ\displaystyle \frac{s^2}{\bar{x}}
от броя в пробни площадки: ≈ 1 случайно, < 1 равномерно, > 1 групово разпределение

Съобщества и биоразнообразие

Индекс на Симпсънурок
D=1−∑ni(ni−1)N(N−1)≈1−∑pi2\displaystyle D = 1 - \sum \frac{n_i(n_i - 1)}{N(N - 1)} \approx 1 - \sum p_i^2
вероятността две особи, взети наслуки, да са от различни видове; от 0 (един вид) до почти 1
Индекс на Шанънурок
H′=−∑piln⁡pi\displaystyle H' = -\sum p_i \ln p_i
pᵢ = nᵢ / N – делът на i-тия вид; при S еднакво чести вида H′ = ln S (най-голямата стойност)
Изравненостурок
J=H′ln⁡S\displaystyle J = \frac{H'}{\ln S}
1 – всички видове са еднакво чести; близо до 0 – един вид доминира
Ефективен брой видове (обратен Симпсън)урок
1∑pi2\displaystyle \frac{1}{\sum p_i^2}
колко еднакво чести вида биха дали същото разнообразие; при S еднакво чести вида е равен на S
Коефициент на сходство на Сьоренсенурок
QS=2CA+B\displaystyle QS = \frac{2C}{A + B}
A и B – видовете в двете съобщества, C – общите видове; 1 – еднакъв състав, 0 – няма общи видове
Закон видове–площурок
S=cAz\displaystyle S = c A^z
z обикновено е 0,15–0,35; при z ≈ 0,3 десет пъти по-голяма площ има около два пъти повече видове
Видове след загуба на местообитаниеурок
SS0=(AA0)z\displaystyle \frac{S}{S_0} = \left(\frac{A}{A_0}\right)^z
при z = 0,25 загубата на 90 % от площта води в крайна сметка до изчезване на около 44 % от видовете
Равновесен брой видове на островурок
S∗=P⋅I0I0+E0\displaystyle S^* = \frac{P \cdot I_0}{I_0 + E_0}
модел на Макартър и Уилсън с линейни скорости I = I₀(1 − S/P) и E = E₀S/P; P – видовете на континента

Поведение на животните

Посока в танца на пчелитеурок
α=Aхрана−Aслънце\displaystyle \alpha = A_{\text{храна}} - A_{\text{слънце}}
α – ъгълът на вилтенето от вертикалата по часовника; A – азимутите на храната и на слънцето
Разстояние в танца на пчелитеурок
d≈k⋅tвилтене\displaystyle d \approx k \cdot t_{\text{вилтене}}
k ≈ 1 km на секунда вилтене (различно при различните подвидове и колонии); под ≈ 100 m – кръгов танц
Профитабилност на плячкатаурок
Eh\displaystyle \frac{E}{h}
E – енергията от плячката, h – времето за улавяне и изяждане
Среден добив при хранене на петнаурок
R=g(t)T+t\displaystyle R = \frac{g(t)}{T + t}
g(t) – събраната в петното енергия за време t, T – пътят до петното
Теорема за пределната стойностурок
g′(t∗)=g(t∗)T+t∗\displaystyle g'(t^*) = \frac{g(t^*)}{T + t^*}
животното напуска петното, когато добивът в него спадне до средния; по-дълъг път → по-дълго в петното
Правило на Хамилтънурок
rB>C\displaystyle r B > C
r – коефициентът на родство, B – ползата за роднината, C – цената за помагащия (в потомци)
Коефициент на родствоурок
r=∑(12)L\displaystyle r = \sum \left(\frac{1}{2}\right)^{L}
L – броят на поколенията (мейозите) по всеки път през общ прародител: брат 1/2, полубрат 1/4, братовчед 1/8
Сестри при хаплодиплоиднитеурок
r=12⋅1+12⋅12=34\displaystyle r = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}
пчели, оси, мравки с един баща; при n бащи средно r = 1/4 + 1/(2n)
Ястреб–гълъб: ЕССурок
p∗=VC\displaystyle p^* = \frac{V}{C}
дял на ястребите при цена на нараняването C > V; при V ≥ C – само ястреби

География

Координати и време

Градус по меридианаурок
1∘≈111 km,1′≈1 морска миля=1852 m\displaystyle 1^\circ \approx 111\ \mathrm{km},\quad 1' \approx 1\ \text{морска миля} = 1852\ \mathrm{m}
обиколката на Земята по меридиана е около 40 000 km
Градус по паралелаурок
1∘≈111 km⋅cos⁡φ\displaystyle 1^\circ \approx 111\ \mathrm{km} \cdot \cos\varphi
паралелите се скъсяват към полюсите; φ\varphi – географската ширина
Ортодромия (най-кратък път)урок
cos⁡d=sin⁡φ1sin⁡φ2+cos⁡φ1cos⁡φ2cos⁡Δλ,s=R d\displaystyle \cos d = \sin\varphi_1 \sin\varphi_2 + \cos\varphi_1 \cos\varphi_2 \cos\Delta\lambda,\quad s = R\,d
dd – централният ъгъл в радиани, R≈6371R \approx 6371 km
Местно време и дължинаурок
Δt=4 min⋅Δλ∘,15∘=1 h\displaystyle \Delta t = 4\ \text{min} \cdot \Delta\lambda^\circ,\quad 15^\circ = 1\ \mathrm{h}
на изток местното време е напред
Поясно времеурок
T=UTC+n\displaystyle T = \mathrm{UTC} + n
nn – номерът на пояса; България: n=2n = 2, през лятото n=3n = 3
Ширина по пладнешкото Слънцеурок
φ=90∘−h+δ\displaystyle \varphi = 90^\circ - h + \delta
hh – височина на Слънцето в пладне (на юг), δ\delta – деклинацията му; височината на Полярната звезда е ≈φ\approx \varphi

Мащаб и проекции

Мащабурок
Lтерен=M⋅Lкарта,Sтерен=M2⋅Sкарта\displaystyle L_{\text{терен}} = M \cdot L_{\text{карта}},\quad S_{\text{терен}} = M^2 \cdot S_{\text{карта}}
при мащаб 1:M1 : M; 1 : 50 000 – „в 1 cm – 500 m“
Изкривяване на лицатаурок
p=h⋅k\displaystyle p = h \cdot k
hh – мащаб по меридиана, kk – по паралела (спрямо главния мащаб)
Проекция на Меркаторурок
x=Rλ,y=Rln⁡tg⁡(45∘+φ2),h=k=1cos⁡φ\displaystyle x = R\lambda,\quad y = R \ln \operatorname{tg}\left(45^\circ + \frac{\varphi}{2}\right),\quad h = k = \frac{1}{\cos\varphi}
равноъгълна; лицата растат 1/cos⁡2φ1/\cos^2\varphi пъти
Равновелика цилиндрична (Гал–Петерс)урок
x=Rλcos⁡45∘,y=Rsin⁡φcos⁡45∘,h⋅k=1\displaystyle x = R\lambda\cos 45^\circ,\quad y = \frac{R\sin\varphi}{\cos 45^\circ},\quad h \cdot k = 1

Релеф на картата

Наклон на склонаурок
i=Δhd⋅100%,tg⁡α=Δhd\displaystyle i = \frac{\Delta h}{d} \cdot 100\%,\quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{\Delta h}{d}
dd – хоризонталното разстояние; 100%=45∘100\% = 45^\circ
Вертикално преувеличениеурок
k=MхорMверт\displaystyle k = \frac{M_{\text{хор}}}{M_{\text{верт}}}
MM – знаменателите на мащабите; при 1:25 0001 : 25\,000 и 1:50001 : 5000 k=5k = 5
Разстояние до хоризонтаурок
d≈2Rh≈3,57h km\displaystyle d \approx \sqrt{2Rh} \approx 3{,}57\sqrt{h}\ \mathrm{km}
hh в метри, без пречупването във въздуха
Правило на Нейсмитурок
t=s5 km/h+Δh↑600 m/h\displaystyle t = \frac{s}{5\ \mathrm{km/h}} + \frac{\Delta h_{\uparrow}}{600\ \mathrm{m/h}}
време за пешеходен маршрут без почивките

Спътници и GPS

Вегетационен индексурок
NDVI=БИЧ−ЧБИЧ+Ч\displaystyle \mathrm{NDVI} = \frac{\text{БИЧ} - \text{Ч}}{\text{БИЧ} + \text{Ч}}
от −1 до 1; вода < 0, гъста растителност > 0,6
Разстояние по времето на сигналаурок
d=c Δt,1 μs↔300 m\displaystyle d = c\,\Delta t,\quad 1\ \mu\mathrm{s} \leftrightarrow 300\ \mathrm{m}
GPS: поне 4 спътника – три координати и грешката в часовника
Пиксел на теренаурок
a=H pf\displaystyle a = \frac{H\,p}{f}
HH – височина на спътника, pp – пиксел на сензора, ff – фокусно разстояние

Строеж на Земята

Средна плътност на Земятаурок
ρˉ=M43πR3≈5,51 g/cm3\displaystyle \bar\rho = \frac{M}{\frac43 \pi R^3} \approx 5{,}51\ \mathrm{g/cm^3}
два пъти повече от скалите на кората (≈ 2,7) – навътре има плътно ядро
Изостазия по Ейриурок
r=h⋅ρкρм−ρк\displaystyle r = h \cdot \frac{\rho_{\text{к}}}{\rho_{\text{м}} - \rho_{\text{к}}}
rr – корен на планина с височина hh; при 2,7 и 3,3 g/cm³ r≈4,5 hr \approx 4{,}5\,h
Потъване под ледена шапкаурок
d=t⋅ρлρм\displaystyle d = t \cdot \frac{\rho_{\text{л}}}{\rho_{\text{м}}}
tt – дебелина на леда; при 0,917 и 3,3 g/cm³ d≈0,28 td \approx 0{,}28\,t
Двуслоен модел на Земятаурок
ρˉ=ρм+(ρя−ρм) x3,IMR2=0,4 [ρм+(ρя−ρм) x5]ρˉ\displaystyle \bar\rho = \rho_{\text{м}} + (\rho_{\text{я}} - \rho_{\text{м}})\,x^3,\quad \frac{I}{MR^2} = \frac{0{,}4\,[\rho_{\text{м}} + (\rho_{\text{я}} - \rho_{\text{м}})\,x^5]}{\bar\rho}
xx – радиусът на ядрото спрямо радиуса на Земята; за Земята I/(MR2)=0,331I/(MR^2) = 0{,}331
Пречупване на сеизмична вълнаурок
sin⁡αv1=sin⁡βv2\displaystyle \frac{\sin\alpha}{v_1} = \frac{\sin\beta}{v_2}
в сферична Земя rsin⁡iv\frac{r \sin i}{v} е едно и също по целия лъч

Тектоника на плочите

Път на плочатаурок
s=v t,1 cm/год⋅1 млн. г.=10 km\displaystyle s = v\,t,\quad 1\ \mathrm{cm/год} \cdot 1\ \text{млн. г.} = 10\ \mathrm{km}
скоростите на плочите са от около 1 до над 10 cm/год
Скорост на спредингаурок
v1/2=xt,v=2v1/2\displaystyle v_{1/2} = \frac{x}{t},\quad v = 2v_{1/2}
xx – разстояние от оста на хребета до ивица с възраст tt
Дълбочина на океана и възраст на дънотоурок
d≈2500+350t\displaystyle d \approx 2500 + 350\sqrt{t}
dd в метри, tt в милиони години (до около 70 млн. години)

Земетресения и вулкани

Разстояние до огнищетоурок
d=vPvSvP−vS(tS−tP)≈8 km/s⋅(tS−tP)\displaystyle d = \frac{v_P v_S}{v_P - v_S}(t_S - t_P) \approx 8\ \mathrm{km/s} \cdot (t_S - t_P)
при vP≈6v_P \approx 6 km/s и vS≈3,5v_S \approx 3{,}5 km/s в земната кора
Магнитуд и енергияурок
lg⁡E≈1,5 M+4,8,E2E1=101,5(M2−M1)\displaystyle \lg E \approx 1{,}5\,M + 4{,}8,\quad \frac{E_2}{E_1} = 10^{1{,}5(M_2 - M_1)}
EE в джаули; +1 магнитуд – амплитуда ×10, енергия ×≈32
Моментен магнитудурок
Mw=23(lg⁡M0−9,1),M0=μSD\displaystyle M_w = \frac{2}{3}(\lg M_0 - 9{,}1),\quad M_0 = \mu S D
M0M_0 в N·m; μ\mu – твърдост на скалите, SS – площ на разлома, DD – приплъзване
Скорост на цунамиурок
v=gh,H∼h−1/4\displaystyle v = \sqrt{g h},\quad H \sim h^{-1/4}
hh – дълбочина; в плитчините вълната се забавя и расте (закон на Грийн)

Външни сили и релеф

Коефициент на извитостурок
k=LкоритоLдолина\displaystyle k = \frac{L_{\text{корито}}}{L_{\text{долина}}}
k≥1,5k \geq 1{,}5 – меандрираща река
Разтваряне на варовикаурок
CaCO3+H2O+CO2⇌Ca2++2HCO3−\displaystyle \mathrm{CaCO_3 + H_2O + CO_2 \rightleftharpoons Ca^{2+} + 2HCO_3^-}
повече CO2\mathrm{CO_2} и по-студена вода – повече разтворен варовик; отделянето на CO2\mathrm{CO_2} в пещерата утаява сталактити
Карстова денудацияурок
h=R⋅cρ\displaystyle h = \frac{R \cdot c}{\rho}
RR – отток (m за година), cc – разтворен CaCO3\mathrm{CaCO_3} (g/m³), ρ≈2,7⋅106\rho \approx 2{,}7 \cdot 10^6 g/m³; hh – снижаване за година
Утаяване (закон на Стокс)урок
v=(ρз−ρ) g d218 η\displaystyle v = \frac{(\rho_{\text{з}} - \rho)\,g\,d^2}{18\,\eta}
скорост на падане на малко зърно в покойна вода; 10 пъти по-дребно зърно пада 100 пъти по-бавно

Атмосфера и топлинен баланс

Височина на Слънцето по пладнеурок
h=90∘−∣φ−δ∣\displaystyle h = 90^\circ - |\varphi - \delta|
δ от +23,44° (21 юни) до −23,44° (21 декември)
Радиация върху хоризонтална повърхностурок
I=Ssin⁡h,S≈1361 W/m2\displaystyle I = S \sin h,\quad S \approx 1361\ \mathrm{W/m^2}
над атмосферата; средно за цялата Земя S/4 ≈ 340 W/m²
Погълната радиацияурок
Iпогл.=(1−α) I\displaystyle I_{\text{погл.}} = (1 - \alpha)\, I
α – албедо; за Земята средно около 0,30
Равновесна температура на Земятаурок
Te=(1−α)S4σ4≈255 K\displaystyle T_e = \sqrt[4]{\frac{(1-\alpha) S}{4\sigma}} \approx 255\ \mathrm{K}
около −18 °C – без парников ефект
Модел с един слой атмосфераурок
Ts=Te22−ε4\displaystyle T_s = T_e \sqrt[4]{\frac{2}{2 - \varepsilon}}
ε – частта от излъчването на повърхността, погълната от атмосферата; ε ≈ 0,78 дава 288 K
Закон на Винурок
λmax⁡=2898T μm\displaystyle \lambda_{\max} = \frac{2898}{T}\ \mathrm{\mu m}
Слънцето ≈ 0,5 μm, Земята ≈ 10 μm
Температура с височинатаурок
T(z)=T0−Γ (z−z0),Γ≈6,5 ∘C/km\displaystyle T(z) = T_0 - \Gamma\,(z - z_0),\quad \Gamma \approx 6{,}5\ ^\circ\mathrm{C/km}
при инверсия температурата расте нагоре
Амплитуда на температуратаурок
A=tmax⁡−tmin⁡\displaystyle A = t_{\max} - t_{\min}
денонощна или годишна

Водата във въздуха

Налягане на наситената пара (Магнус)урок
es(T)≈6,11 hPa⋅e17,6 T243 + T\displaystyle e_s(T) \approx 6{,}11\ \mathrm{hPa} \cdot e^{\frac{17{,}6\,T}{243\ +\ T}}
T в °C; при всеки градус – с около 6–7% повече
Абсолютна влажностурок
a=217 eT+273 g/m3\displaystyle a = \frac{217\, e}{T + 273}\ \mathrm{g/m^3}
e – налягане на парата в hPa, T в °C
Относителна влажностурок
RH=aamax⁡⋅100%=ees(T)⋅100%\displaystyle RH = \frac{a}{a_{\max}} \cdot 100\% = \frac{e}{e_s(T)} \cdot 100\%
Адиабатни градиентиурок
Γd=gcp≈9,8 ∘C/km,Γs≈4–7 ∘C/km\displaystyle \Gamma_d = \frac{g}{c_p} \approx 9{,}8\ ^\circ\mathrm{C/km},\quad \Gamma_s \approx 4\text{–}7\ ^\circ\mathrm{C/km}
сух и наситен издигащ се въздух
Кондензационно нивоурок
h≈125 m⋅(T−Td)\displaystyle h \approx 125\ \mathrm{m} \cdot (T - T_d)
основата на купестите облаци; 125 = 1000 / (9,8 − 1,8)
Устойчивост на въздухаурок
Γ<Γs: устойчив;Γs<Γ<Γd: условно неустойчив;Γ>Γd: неустойчив\displaystyle \Gamma < \Gamma_s:\ \text{устойчив};\quad \Gamma_s < \Gamma < \Gamma_d:\ \text{условно неустойчив};\quad \Gamma > \Gamma_d:\ \text{неустойчив}
Γ – температурният градиент на околния въздух
Количество на валежаурок
1 mm=1 L/m2\displaystyle 1\ \mathrm{mm} = 1\ \mathrm{L/m^2}

Налягане и вятър

Барометрична формулаурок
p=p0 e−z/H,H=RTMg≈8 km\displaystyle p = p_0\, e^{-z/H},\quad H = \dfrac{RT}{Mg} \approx 8\ \mathrm{km}
на около 5,5 km налягането е наполовина
Барично стъпалоурок
h=1ρg≈8 m/hPa\displaystyle h = \dfrac{1}{\rho g} \approx 8\ \mathrm{m/hPa}
близо до морското равнище; с височината расте
Градиентна сила (на единица маса)урок
a=1ρΔpΔn\displaystyle a = \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\Delta p}{\Delta n}
перпендикулярна на изобарите, към ниското налягане
Параметър на Кориолисурок
f=2Ωsin⁡φ,Ω=7,292⋅10−5 s−1\displaystyle f = 2\Omega \sin\varphi,\quad \Omega = 7{,}292 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{s^{-1}}
сила на Кориолис на единица маса: fV
Геострофичен вятърурок
Vg=1ρfΔpΔn\displaystyle V_g = \dfrac{1}{\rho f}\dfrac{\Delta p}{\Delta n}
успореден на изобарите; не важи близо до екватора

Времето и прогнозата

Височина на фронталната повърхностурок
h=dk\displaystyle h = \frac{d}{k}
наклон 1 : k; топъл фронт k ≈ 100–200, студен k ≈ 50–100; d – разстояние от фронта при земята
Разстояние до мълниятаурок
d=vзвук Δt≈340 m/s⋅Δt\displaystyle d = v_{\text{звук}}\, \Delta t \approx 340\ \mathrm{m/s} \cdot \Delta t
около 3 секунди на километър
Най-голяма скорост на възходящото течениеурок
wmax⁡=2⋅CAPE\displaystyle w_{\max} = \sqrt{2 \cdot \mathrm{CAPE}}
CAPE в J/kg; истинските течения са обикновено около наполовина по-слаби
Вероятност за валежурок
P=nс валежN=C⋅A\displaystyle P = \frac{n_{\text{с валеж}}}{N} = C \cdot A
от ансамбъл с N члена; или увереност C по дела от района A
Растеж на грешката на прогнозатаурок
ε(t)=ε0⋅2t/τ\displaystyle \varepsilon(t) = \varepsilon_0 \cdot 2^{t/\tau}
τ – време за удвояване (за времето грубо ден-два); 10 пъти по-малка ε₀ удължава прогнозата само с τ·log₂10 ≈ 3,3τ

Климат

Сух месец (Госен)урок
P<2t\displaystyle P < 2t
P – валежи на месеца в mm, t – средна температура в °C; на климатограмата 10 °C ↔ 20 mm
Годишна амплитудаурок
A=tmax⁡−tmin⁡\displaystyle A = t_{\max} - t_{\min}
разлика между средните температури на най-топлия и най-студения месец
Индекс на континенталност (Горчински)урок
K=1,7 Asin⁡φ−20,4\displaystyle K = \dfrac{1{,}7\,A}{\sin\varphi} - 20{,}4
около 0 при най-морските места, около 100 във Верхоянск; вариант на Конрад: 1,7A/sin(φ + 10°) − 14
Праг на сухота (Кьопен)урок
Pпраг=20 tˉ+c,c=280, 140, 0\displaystyle P_{\text{праг}} = 20\,\bar t + c,\quad c = 280,\ 140,\ 0
c = 280 при ≥ 70% летни валежи, 0 при ≥ 70% зимни, 140 иначе; P < P_праг → B, P < P_праг/2 → BW
Мусонен или саванен климатурок
Pсух≥100−P25 ⇒ Am\displaystyle P_{\text{сух}} \geq 100 - \dfrac{P}{25}\ \Rightarrow\ \mathrm{Am}
P_сух – валежите в най-сухия месец, P – годишните (mm); при P_сух ≥ 60 mm – Af, иначе Aw

Изменение на климата

Радиационно въздействие на CO₂урок
ΔF≈5,35ln⁡CC0 W/m2\displaystyle \Delta F \approx 5{,}35 \ln\dfrac{C}{C_0}\ \mathrm{W/m^2}
C₀ ≈ 280 ppm; всяко удвояване добавя около 3,7 W/m²
Равновесно затоплянеурок
ΔT≈ΔT2×⋅ΔF3,7 W/m2\displaystyle \Delta T \approx \Delta T_{2\times} \cdot \dfrac{\Delta F}{3{,}7\ \mathrm{W/m^2}}
ΔT₂ₓ – чувствителност на климата, около 3 °C (вероятно 2,5–4 °C)
Усилване от обратните връзкиурок
ΔT=ΔT01−f,ΔT0≈ΔF3,2 W/(m2⋅K)\displaystyle \Delta T = \dfrac{\Delta T_0}{1 - f},\quad \Delta T_0 \approx \dfrac{\Delta F}{3{,}2\ \mathrm{W/(m^2 \cdot K)}}
f – каква част от затоплянето обратните връзки добавят отново
CO₂ в атмосфератаурок
1 ppm CO2≈2,12 Gt C≈7,8 Gt CO2\displaystyle 1\ \mathrm{ppm\ CO_2} \approx 2{,}12\ \mathrm{Gt\ C} \approx 7{,}8\ \mathrm{Gt\ CO_2}
около 45% от емисиите остават във въздуха
Затопляне и сумарни емисииурок
ΔT≈0,45 ∘C⋅Eсумарно1000 Gt CO2\displaystyle \Delta T \approx 0{,}45\ ^\circ\mathrm{C} \cdot \dfrac{E_{\text{сумарно}}}{1000\ \mathrm{Gt\ CO_2}}
основа на въглеродния бюджет; вероятно 0,27–0,63 °C на 1000 Gt
Поток в перихелия и афелияурок
IперихелийIафелий=(1+e1−e)2\displaystyle \dfrac{I_{\text{перихелий}}}{I_{\text{афелий}}} = \left(\dfrac{1 + e}{1 - e}\right)^2
днес e = 0,0167 – разлика около 7%

Световният океан

Соленостурок
S=mсолmвода⋅1000 ‰\displaystyle S = \dfrac{m_{\text{сол}}}{m_{\text{вода}}} \cdot 1000\ ‰
средно в океана около 35 ‰, в Черно море около 18 ‰
Соленост на смесурок
S=m1S1+m2S2m1+m2\displaystyle S = \dfrac{m_1 S_1 + m_2 S_2}{m_1 + m_2}
солта се запазва при смесване
Солеви баланс на протокурок
QвхSвх=QизхSизх\displaystyle Q_{\text{вх}} S_{\text{вх}} = Q_{\text{изх}} S_{\text{изх}}
например Босфорът: долу влиза солена вода, горе излиза по-сладка
Дълбочина по ехолотурок
h=v t2,v≈1500 m/s\displaystyle h = \dfrac{v\,t}{2},\quad v \approx 1500\ \mathrm{m/s}
tt – времето до дъното и обратно
Налягане под водатаурок
p≈1 atm+h10 m atm\displaystyle p \approx 1\ \mathrm{atm} + \dfrac{h}{10\ \mathrm{m}}\ \mathrm{atm}
всеки 10 m вода добавят около 1 atm
Дебит на течениеурок
1 Sv=106 m3/s\displaystyle 1\ \mathrm{Sv} = 10^6\ \mathrm{m^3/s}
Гълфстрийм край Флорида около 30 Sv, всички реки заедно около 1,2 Sv
Период на приливитеурок
T≈24 h 50 min2=12 h 25 min\displaystyle T \approx \dfrac{24\ \mathrm{h}\ 50\ \mathrm{min}}{2} = 12\ \mathrm{h}\ 25\ \mathrm{min}
полуденонощни приливи

Реки и езера

Водно количествоурок
Q=S⋅v\displaystyle Q = S \cdot v
S – напречно сечение, v – средна скорост (около 0,8–0,9 от повърхностната)
Отточен модулурок
M=1000 QF l/(s⋅km2)\displaystyle M = \dfrac{1000\,Q}{F}\ \mathrm{l/(s \cdot km^2)}
Q в m³/s, F – площ на басейна в km²
Отточен слойурок
R [mm]=Q⋅tF≈31,5⋅M\displaystyle R\ [\mathrm{mm}] = \dfrac{Q \cdot t}{F} \approx 31{,}5 \cdot M
за година t ≈ 31,5 млн. s
Коефициент на оттокаурок
η=RP\displaystyle \eta = \dfrac{R}{P}
у нас средно около 0,25–0,3
Воден баланс на басейнаурок
P=R+E+ΔS\displaystyle P = R + E + \Delta S
за многогодишен период ΔS ≈ 0
Наклон на рекатаурок
i=ΔHL\displaystyle i = \dfrac{\Delta H}{L}
в ‰: метри пад на километър
Рационална формулаурок
Qmax⁡=C i A3,6\displaystyle Q_{\max} = \dfrac{C\,i\,A}{3{,}6}
i в mm/h, A в km², Q в m³/s; за малки басейни

Подземни води и ледници

Закон на Дарсиурок
Q=K A ΔhL=K A i\displaystyle Q = K\,A\,\frac{\Delta h}{L} = K\,A\,i
K – коефициент на филтрация (m/s), i – наклон на водното ниво
Действителна скорост на подземната водаурок
v=K ine\displaystyle v = \frac{K\,i}{n_e}
nₑ – ефективна порестост; водата тече само през порите
Вода в наситен пластурок
V=S⋅b⋅n\displaystyle V = S \cdot b \cdot n
S – площ, b – дебелина, n – порестост
Правило на Гибен–Херцбергурок
z=ρслρсол−ρсл h≈40 h\displaystyle z = \frac{\rho_{\text{сл}}}{\rho_{\text{сол}} - \rho_{\text{сл}}}\,h \approx 40\,h
z – дълбочина на солената вода под морското ниво, h – водно ниво над него; за Черно море ≈ 77h
Геотермален градиентурок
T(z)≈T0+Γz,Γ≈25–30 ∘C/km\displaystyle T(z) \approx T_0 + \Gamma z,\quad \Gamma \approx 25\text{–}30\ ^\circ\mathrm{C/km}
в земната кора; около разседи и вулкани е повече
Покачване на морското ниво от стопен ледурок
Δh≈0,9 Vлед361⋅106 km2\displaystyle \Delta h \approx \frac{0{,}9\,V_{\text{лед}}}{361 \cdot 10^6\ \mathrm{km^2}}
само за леда на сушата; плаващият лед почти не мени нивото

Почви и природни зони

Коефициент на овлажняванеурок
K=PE\displaystyle K = \dfrac{P}{E}
P – годишни валежи, E – изпаряемост; K > 1 – излишна влага, 0,3–0,6 – степ, под 0,1 – пустиня
Запас на хумусурок
M=S⋅h⋅ρ⋅w\displaystyle M = S \cdot h \cdot \rho \cdot w
на 1 ha: S = 10 000 m², h – дебелина на хоризонта (m), ρ – плътност (t/m³), w – дял на хумуса
Загуба на почва (USLE)урок
A=R⋅K⋅LS⋅C⋅P\displaystyle A = R \cdot K \cdot LS \cdot C \cdot P
A в t/ha за година; R – дъждове, K – почва, LS – склон, C – растителност, P – противоерозионни мерки
Фактор на склонаурок
LS=(λ22,13)m(65,41sin⁡2θ+4,56sin⁡θ+0,065)\displaystyle LS = \left(\dfrac{\lambda}{22{,}13}\right)^{m} \left(65{,}41 \sin^2\theta + 4{,}56 \sin\theta + 0{,}065\right)
λ – дължина на склона (m), θ – наклон; m = 0,5 при наклон от 5% нагоре
Дебелина на загубения слойурок
h=A10 ρ mm\displaystyle h = \dfrac{A}{10\,\rho}\ \mathrm{mm}
A в t/ha, ρ в t/m³; при ρ = 1,3 t/m³ 13 t/ha са 1 mm

Население

Естествен прирастурок
k=B−DP⋅1000 ‰\displaystyle k = \dfrac{B - D}{P} \cdot 1000\ \text{‰}
BB – родени, DD – починали за година, PP – средното население
Общо изменение на населениетоурок
ΔP=(B−D)+(I−E)\displaystyle \Delta P = (B - D) + (I - E)
естествен плюс механичен прираст; II – заселили се, EE – изселили се
Растеж с постоянен темпурок
P=P0(1+r)t\displaystyle P = P_0 (1 + r)^t
rr – годишният темп като дроб (0,9% = 0,009)
Време за удвояванеурок
t2=ln⁡2ln⁡(1+r)≈70r [%]\displaystyle t_2 = \dfrac{\ln 2}{\ln(1 + r)} \approx \dfrac{70}{r\,[\%]}
правилото на 70: при 1% годишно – около 70 години
Тотален коефициент на плодовитостурок
TFR=5∑afa\displaystyle TFR = 5 \sum_{a} f_a
faf_a – раждания на една жена годишно в петгодишната група aa (15–19, …, 45–49); заместване при TFR≈2,1TFR \approx 2{,}1
Коефициент на демографска зависимостурок
P0–14+P65+P15–64⋅100\displaystyle \dfrac{P_{0\text{–}14} + P_{65+}}{P_{15\text{–}64}} \cdot 100
деца и възрастни на 100 души в трудоспособна възраст
Гъстота на населениетоурок
ρ=PS  души/km2\displaystyle \rho = \dfrac{P}{S}\ \ \text{души/km}^2
средно за сушата без Антарктида – около 60 души/km²

Миграции

Механичен прирастурок
МП=И−Е,kМП=И−ЕP⋅1000 ‰\displaystyle МП = И - Е,\quad k_{МП} = \dfrac{И - Е}{P} \cdot 1000\ \text{‰}
ИИ – заселили се, ЕЕ – изселили се за година, PP – средното население
Брутна миграция и ефективностурок
БМ=И+Е,ефективност=∣И−Е∣И+Е\displaystyle БМ = И + Е,\quad \text{ефективност} = \dfrac{|И - Е|}{И + Е}
малка ефективност – силен насрещен поток
Баланс на населениетоурок
P1=P0+(Р−У)+(И−Е)\displaystyle P_1 = P_0 + (Р - У) + (И - Е)
РР – родени, УУ – умрели; естествен плюс механичен прираст
Гравитационен моделурок
F=k P1P2dβ\displaystyle F = k\,\dfrac{P_1 P_2}{d^{\beta}}
β\beta обикновено е между 1 и 2; при β=2\beta = 2 двойно по-далечно място привлича 4 пъти по-малко хора
Показател на затихване от два потокаурок
β=lg⁡(F1/F2)lg⁡(d2/d1)\displaystyle \beta = \dfrac{\lg (F_1 / F_2)}{\lg (d_2 / d_1)}
при еднакви населения на двете места на пристигане

Градове и урбанизация

Дял на градското населениеурок
u=UP⋅100%\displaystyle u = \dfrac{U}{P} \cdot 100\%
UU – градско, PP – цялото население
Средногодишен темп на растежурок
r=(PtP0)1/t−1,T2≈70r [%]\displaystyle r = \left(\dfrac{P_t}{P_0}\right)^{1/t} - 1,\quad T_2 \approx \dfrac{70}{r\,[\%]}
T2T_2 – време за удвояване (правилото на 70)
Логистична крива на урбанизациятаурок
U(t)=Um1+e−k(t−t0),(dUdt)max⁡=k Um4\displaystyle U(t) = \dfrac{U_m}{1 + e^{-k(t - t_0)}},\quad \left(\dfrac{dU}{dt}\right)_{\max} = \dfrac{k\,U_m}{4}
UmU_m – таванът, t0t_0 – годината, в която U=Um/2U = U_m/2
Правило ранг–големинаурок
Pr=P1rq,lg⁡Pr=lg⁡P1−qlg⁡r\displaystyle P_r = \dfrac{P_1}{r^q},\quad \lg P_r = \lg P_1 - q \lg r
q=1q = 1 – правилото на Ципф
Индекс на първенствоурок
I=P1P2\displaystyle I = \dfrac{P_1}{P_2}
по Ципф I=2I = 2; при град-примат е много по-голям (България ≈ 3,7)
Системи на Кристалерурок
dn=d (K) n−1,Sn=K n−1S1,S1=32 d2\displaystyle d_n = d\,(\sqrt{K})^{\,n-1},\quad S_n = K^{\,n-1} S_1,\quad S_1 = \dfrac{\sqrt3}{2}\,d^2
dd – разстояние между селата, K=3,4,7K = 3, 4, 7
Погълната слънчева радиацияурок
Eпогл=(1−A) E\displaystyle E_{\text{погл}} = (1 - A)\,E
AA – албедо: асфалт ≈ 0,05, трева ≈ 0,25, бял покрив ≈ 0,75

Ресурси и енергетика

Статична ресурсообезпеченостурок
RP години\displaystyle \dfrac{R}{P}\ \text{години}
RR – запасите, PP – годишният добив
Обезпеченост при растящ добивурок
T=ln⁡(1+r⋅R/P)ln⁡(1+r)\displaystyle T = \dfrac{\ln(1 + r \cdot R/P)}{\ln(1 + r)}
добивът расте с rr годишно (като дроб), без нови находища
Коефициент на използванеурок
КИ=EP⋅8760 h,E=P⋅8760⋅КИ\displaystyle \text{КИ} = \dfrac{E}{P \cdot 8760\ \mathrm{h}},\quad E = P \cdot 8760 \cdot \text{КИ}
АЕЦ ≈ 90%, вятър на сушата 20–35%, слънце 10–25%
Мощност на вятъраурок
P=12ρAv3,Pmax⁡=1627P\displaystyle P = \tfrac{1}{2} \rho A v^3,\quad P_{\max} = \tfrac{16}{27} P
ρ≈1,2 kg/m3\rho \approx 1{,}2\ \mathrm{kg/m^3}, AA – площта на кръга на перките; граница на Бец ≈ 59%
Единици за енергияурок
1 t н.е.=41,868 GJ≈11 630 kWh,1 kWh=3,6 MJ\displaystyle 1\ \text{t н.е.} = 41{,}868\ \mathrm{GJ} \approx 11\,630\ \mathrm{kWh},\quad 1\ \mathrm{kWh} = 3{,}6\ \mathrm{MJ}
t н.е. – тон нефтен еквивалент; 1 барел ≈ 159 l
Енергийна зависимостурок
внос−износпотребление⋅100%\displaystyle \dfrac{\text{внос} - \text{износ}}{\text{потребление}} \cdot 100\%
потребление = добив + внос − износ ± промяна на запасите

Селско стопанство

Реколтаурок
P=S⋅y\displaystyle P = S \cdot y
SS – площ (ha), yy – добив (t/ha); 1 t/ha=0,1 kg/m21\ \mathrm{t/ha} = 0{,}1\ \mathrm{kg/m^2}, 1 km2=100 ha1\ \mathrm{km^2} = 100\ \mathrm{ha}
Поземлена рента (фон Тюнен)урок
R=Y(p−c)−Yfd\displaystyle R = Y(p - c) - Y f d
YY – добив (t/ha), pp – цена, cc – разходи (€/t), ff – превоз (€/(t·km)), dd – разстояние до пазара
Граница на отглежданетоурок
dmax⁡=p−cf\displaystyle d_{\max} = \dfrac{p - c}{f}
рентата става нула; границата между два пояса е там, където рентите им са равни
Закон на минимума (Либих)урок
Y=min⁡(YN, YW, YP, … )\displaystyle Y = \min(Y_N,\ Y_W,\ Y_P,\ \dots)
добивът се определя от фактора, който най-много не достига
Крива на Мичерлихурок
Y=Ymax⁡(1−e−(N+N0)/a)\displaystyle Y = Y_{\max}\left(1 - e^{-(N + N_0)/a}\right)
намаляваща възвръщаемост; изгодно е да се тори до dYdN=pNpY\dfrac{dY}{dN} = \dfrac{p_N}{p_Y}
Напояванеурок
1 mm върху 1 ha=10 m3\displaystyle 1\ \mathrm{mm} \text{ върху } 1\ \mathrm{ha} = 10\ \mathrm{m^3}
добив, ограничен от водата: около 20 kg/ha на mm над 110 mm (пшеница, Френч и Шулц)
Хора, изхранвани от хектарурок
n=E365 k (1−s+s/η)\displaystyle n = \dfrac{E}{365\,k\,(1 - s + s/\eta)}
EE – kcal от хектар за година, kk – kcal на ден за човек, ss – дял на животинските калории, η\eta – колко от калориите във фуража стават храна

Промишленост и услуги

БВП по разходитеурок
БВП=C+I+G+(X−M)\displaystyle \text{БВП} = C + I + G + (X - M)
потребление, инвестиции, държавни разходи и нетен износ
БВП на човекурок
БВП на човек=БВПP\displaystyle \text{БВП на човек} = \dfrac{\text{БВП}}{P}
PP – населението
Ценово равнище и ППСурок
ценово равнище=БВП на човек (номинален)БВП на човек (по ППС)\displaystyle \text{ценово равнище} = \dfrac{\text{БВП на човек (номинален)}}{\text{БВП на човек (по ППС)}}
спрямо САЩ (в долари) или спрямо средното за ЕС (в евро)
Реален растежурок
1+gреален=1+gноминален1+π\displaystyle 1 + g_{\text{реален}} = \dfrac{1 + g_{\text{номинален}}}{1 + \pi}
π\pi – ръстът на цените (инфлацията); приблизително gреален≈gноминален−πg_{\text{реален}} \approx g_{\text{номинален}} - \pi
Дял на секторурок
s=nсекторN⋅100%\displaystyle s = \dfrac{n_{\text{сектор}}}{N} \cdot 100\%
по заетите или по брутната добавена стойност
Материален индексурок
MI=тегло на локализираните суровинитегло на продукта\displaystyle MI = \dfrac{\text{тегло на локализираните суровини}}{\text{тегло на продукта}}
MI>1MI > 1 – към суровините, MI<1MI < 1 – към пазара; повсеместните суровини (вода) не се броят
Транспортни разходи по Веберурок
T=k∑iwidi→min⁡\displaystyle T = k \sum_i w_i d_i \to \min
wiw_i – тонове на 1 t продукт, did_i – разстояния, kk – тарифа за t·km; заводът се мести при евтин труд, ако спестеното е над допълнителния превоз

Транспорт и търговия

Товарооборотурок
Q=m⋅d  (t⋅km)\displaystyle Q = m \cdot d\ \ (\mathrm{t \cdot km})
разход за превоза c⋅Qc \cdot Q, емисии f⋅Qf \cdot Q; ориентировъчно f≈80f \approx 80 (камион), 25 (влак), 10 (кораб), 600 (самолет) g CO₂/(t·km)
Разход за превоз на тонурок
C(d)=C0+c d\displaystyle C(d) = C_0 + c\,d
C0C_0 – начален разход (терминали), cc – ставка на t·km; два вида транспорт се изравняват при d=C0,2−C0,1c1−c2d = \frac{C_{0,2} - C_{0,1}}{c_1 - c_2}
Индекси на свързаностурок
β=ev,γ=e3(v−2),α=e−v+p2v−5\displaystyle \beta = \dfrac{e}{v},\quad \gamma = \dfrac{e}{3(v - 2)},\quad \alpha = \dfrac{e - v + p}{2v - 5}
vv – възли, ee – връзки, pp – отделни части; при дърво e=v−1e = v - 1
Връзки при пълна мрежа и при главинаурок
eпълна=n(n−1)2,eглавина=n−1\displaystyle e_{\text{пълна}} = \dfrac{n(n-1)}{2},\quad e_{\text{главина}} = n - 1
модел „главина и спици“
Коефициент на заобикалянеурок
k=dпо мрежатаdпо права≥1\displaystyle k = \dfrac{d_{\text{по мрежата}}}{d_{\text{по права}}} \ge 1
Търговски баланс и покритиеурок
B=X−M,покритие=XM⋅100%\displaystyle B = X - M,\quad \text{покритие} = \dfrac{X}{M} \cdot 100\%
XX – износ, MM – внос; B<0B < 0 – дефицит
Алтернативна ценаурок
цена на 1 A=tAtB единици B\displaystyle \text{цена на 1 } A = \dfrac{t_A}{t_B}\ \text{единици } B
tA,tBt_A, t_B – труд за единица от всяка стока; размяната е изгодна за двете страни при цена между техните алтернативни цени
Скорост в моретоурок
1 възел=1 морска миля/h=1,852 km/h\displaystyle 1\ \text{възел} = 1\ \text{морска миля/h} = 1{,}852\ \mathrm{km/h}
при 16 възела – около 711 km на денонощие

Политическата карта

Индекс на компактностурок
C=4πSP2\displaystyle C = \dfrac{4\pi S}{P^2}
SS – площ, PP – дължина на границата; кръг C=1C = 1, квадрат π/4≈0,785\pi/4 \approx 0{,}785
Морски зониурок
12 мили=22,2 km,24 мили=44,4 km,200 мили=370,4 km\displaystyle 12\ \text{мили} = 22{,}2\ \mathrm{km},\quad 24\ \text{мили} = 44{,}4\ \mathrm{km},\quad 200\ \text{мили} = 370{,}4\ \mathrm{km}
териториално море, прилежаща зона, ИИЗ; 1 морска миля = 1852 m
Индекс на здраветоурок
Iздраве=e0−2085−20\displaystyle I_{\text{здраве}} = \dfrac{e_0 - 20}{85 - 20}
e0e_0 – очаквана продължителност на живота при раждане
Индекс на образованиетоурок
Iобр.=12(очаквани години18+средни години15)\displaystyle I_{\text{обр.}} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\text{очаквани години}}{18} + \dfrac{\text{средни години}}{15}\right)
очаквани години обучение за детето днес и средни години обучение на възрастните
Индекс на доходаурок
Iдоход=ln⁡БНД−ln⁡100ln⁡75 000−ln⁡100\displaystyle I_{\text{доход}} = \dfrac{\ln \text{БНД} - \ln 100}{\ln 75\,000 - \ln 100}
БНД на човек в поППС;удвояванетовдигаиндексас по ППС; удвояването вдига индекса с \ln 2 / \ln 750 \approx 0{,}105$
Индекс на човешкото развитиеурок
ИЧР=Iздраве⋅Iобр.⋅Iдоход3\displaystyle \text{ИЧР} = \sqrt[3]{I_{\text{здраве}} \cdot I_{\text{обр.}} \cdot I_{\text{доход}}}
много висок ≥0,800\ge 0{,}800, висок ≥0,700\ge 0{,}700, среден ≥0,550\ge 0{,}550

Европейският съюз

Квалифицирано мнозинство в Съветаурок
nза≥0,55⋅27 (15),Pза≥0,65 PЕС\displaystyle n_{\text{за}} \ge 0{,}55 \cdot 27 \ (15),\quad P_{\text{за}} \ge 0{,}65\,P_{\text{ЕС}}
nn – брой държави, PP – население; по предложение на Комисията
Блокиращо малцинствоурок
nпротив≥4,Pпротив>0,35 PЕС\displaystyle n_{\text{против}} \ge 4,\quad P_{\text{против}} > 0{,}35\,P_{\text{ЕС}}
ако против са под 4 държави, мнозинството се смята за постигнато
Индекс на БВП на човек по ППСурок
I=БВП на човек (ППС)средно за ЕС⋅100%\displaystyle I = \dfrac{\text{БВП на човек (ППС)}}{\text{средно за ЕС}} \cdot 100\%
под 75% – по-слабо развит регион, 75–100% – в преход, над 100% – по-развит (2021–2027)
Време за догонванеурок
t=ln⁡(Iцел/I0)ln⁡1+g1+gЕС\displaystyle t = \dfrac{\ln(I_{\text{цел}} / I_0)}{\ln\dfrac{1 + g}{1 + g_{\text{ЕС}}}}
gg, gЕСg_{\text{ЕС}} – годишният реален ръст на региона и на ЕС (като дроб)
Жители на едно място в ЕПурок
p=PM\displaystyle p = \dfrac{P}{M}
MM – местата на държавата (от 6 до 96, общо 720 за 2024–2029)
Маастрихтски критерии за бюджетаурок
дефицитБВП≤3%,дългБВП≤60%\displaystyle \dfrac{\text{дефицит}}{\text{БВП}} \le 3\%,\quad \dfrac{\text{дълг}}{\text{БВП}} \le 60\%
плюс ниска инфлация, стабилен курс и ниски лихви
Лев и евроурок
1 €=1,95583 лв.\displaystyle 1\ € = 1{,}95583\ \text{лв.}
неотменимият курс, по който България приема еврото на 1.1.2026 г.

Природата на България

Разстояние север–югурок
s≈111,2 km⋅Δφ∘\displaystyle s \approx 111{,}2\ \mathrm{km} \cdot \Delta\varphi^\circ
от Тимок (44°12′45″) до Вейката (41°14′05″): Δφ≈2,98∘\Delta\varphi \approx 2{,}98^\circ, s≈331s \approx 331 km
Разлика в местното времеурок
Δt=4 min⋅Δλ∘\displaystyle \Delta t = 4\ \text{min} \cdot \Delta\lambda^\circ
между най-западната и най-източната точка на България (Δλ≈6,25∘\Delta\lambda \approx 6{,}25^\circ) – около 25 min
Средна годишна температура и височинаурок
T≈T0−0,5⋅h100 ∘C\displaystyle T \approx T_0 - 0{,}5 \cdot \dfrac{h}{100}\ ^\circ\mathrm{C}
груба оценка за България: T0≈12,5T_0 \approx 12{,}5 °C ниско долу; за отделен момент градиентът е около 0,6 °C/100 m
Дял от териториятаурок
p=S110 994 km2⋅100%\displaystyle p = \dfrac{S}{110\,994\ \mathrm{km^2}} \cdot 100\%
напр. трите национални парка (≈ 1930 km²) – около 1,7%

Регионално развитие

Индекс на БВП на човекурок
I=дял от БВПдял от населението⋅100\displaystyle I = \dfrac{\text{дял от БВП}}{\text{дял от населението}} \cdot 100
средното за страната е 100; София (столица) 2024: 43,720,1⋅100≈217\frac{43{,}7}{20{,}1} \cdot 100 \approx 217
Коефициент на Джиниурок
G=1−2A=1−∑i(Xi−Xi−1)(Yi+Yi−1)\displaystyle G = 1 - 2A = 1 - \sum_{i} (X_i - X_{i-1})(Y_i + Y_{i-1})
XiX_i, YiY_i – натрупаните дялове от населението и от БВП по кривата на Лоренц, подредени от най-бедната единица
Средно претеглено за няколко регионаурок
xˉ=∑Pixi∑Pi\displaystyle \bar{x} = \dfrac{\sum P_i x_i}{\sum P_i}
PiP_i – населението на региона, xix_i – показателят на човек (БВП, доход)
Заетост на леглатаурок
z=NL⋅d⋅100%\displaystyle z = \dfrac{N}{L \cdot d} \cdot 100\%
NN – нощувки, LL – легла, dd – дни

Константи

Физични константи

Скорост на светлинататочно 299 792 458 m/s
c
2,998 · 10⁸ m/s
Гравитационна константа
G
6,674 · 10⁻¹¹ N·m²/kg²
Константа на Планк
h
6,626 · 10⁻³⁴ J·s
Константа на Болцман
k
1,381 · 10⁻²³ J/K
Константа на Стефан–Болцман
σ
5,670 · 10⁻⁸ W/(m²·K⁴)
Константа на Вин
b
2,898 · 10⁻³ m·K
Константа на Ридберг
R
1,097 · 10⁷ m⁻¹
Маса на протона
mₚ
1,673 · 10⁻²⁷ kg
Маса на електрона
mₑ
9,109 · 10⁻³¹ kg
Елементарен заряд1 eV = 1,602 · 10⁻¹⁹ J
e
1,602 · 10⁻¹⁹ C

Разстояния и ъгли

Астрономическа единица149,6 млн. km
AU
1,496 · 10¹¹ m
Парсек= 206 265 AU = 3,26 ly
pc
3,086 · 10¹⁶ m
Светлинна година≈ 63 240 AU
ly
9,461 · 10¹⁵ m
Радиан
rad
57,30° = 206 265″

Слънцето

Маса
M☉
1,989 · 10³⁰ kg
Радиус696 000 km
R☉
6,96 · 10⁸ m
Светимост
L☉
3,83 · 10²⁶ W
Ефективна температура
T☉
5772 K
Абсолютна звездна величина
M_V
4,83
Видима звездна величина
m_V
−26,74
Слънчева константа
S
1361 W/m²

Земята и Луната

Маса на Земята
M⊕
5,972 · 10²⁴ kg
Екваториален радиус на Земятасреден 6371 km
R⊕
6378 km
Ускорение на свободното падане
g
9,81 m/s²
Наклон на земната ос
ε
23,44°
Звездно денонощие
T★
23h 56m 04s
Тропическа година
365,2422 дни
Звездна (сидерична) година
365,2564 дни
Орбитална скорост на Земята
v⊕
29,78 km/s
Маса на Луната≈ M⊕ / 81,3
M☾
7,342 · 10²² kg
Радиус на Луната
R☾
1737 km
Средно разстояние до Луната
a☾
384 400 km
Сидеричен месец
27,32 дни
Синодичен месец
29,53 дни

Планети и Вселената

Маса на Юпитер= 318 M⊕ ≈ M☉ / 1047
M_Юп
1,898 · 10²⁷ kg
Екваториален радиус на Юпитер
R_Юп
71 492 km
Голяма полуос на Юпитер
a_J
5,20 AU
Константа на Хъбъл
H₀
≈ 70 km/s/Mpc
Температура на реликтовото излъчване
T₀
2,725 K
Възраст на Вселената
≈ 13,8 млрд. години