Подобни триъгълници

1. Пропорционални отсечки и мащаб

🤔 Загадка: Снимка $10 \times 15\ \mathrm{cm}$ е увеличена до $20 \times 30\ \mathrm{cm}$ . Колко пъти е по-голяма новата снимка? Ако си казал „два пъти“ – погледни пак: в нея се побират точно четири стари снимки. Защо – ще разберем в раздел 5.

О

Отношение и пропорционални отсечки

Отношение на две отсечки е отношението на дължините им, измерени с една и съща мярка, например

AB : CD = 6 : 4 = 3 : 2

. Отсечките

a

,

b

и

c

,

d

са пропорционални, ако

a : b = c : d

. В пропорцията произведението на крайните членове е равно на произведението на средните:

a \cdot d = b \cdot c

.

Картите, чертежите и макетите са умалени копия: всички дължини са умножени по едно и също число – мащаба. Мащаб $1 : 25\,000$ означава, че $1\ \mathrm{cm}$ на картата е $25\,000\ \mathrm{cm} = 250\ \mathrm{m}$ в действителност.

2. Теорема на Талес за пропорционалните отсечки

Т

Теорема на Талес

Ако успоредни прави пресичат двете рамена на ъгъл, те отсичат върху тях пропорционални отсечки. В триъгълник: ако

M \in AB

,

N \in AC

и

MN \parallel BC

, то

\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}

и

\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}

. Вярно е и обратното: ако

\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}

, то

MN \parallel BC

.

Доказателство на теоремата на Талес (чрез лица)

Триъгълниците $MNB$ и $MNC$ имат обща основа $MN$ , а върховете им $B$ и $C$ лежат на права, успоредна на $MN$ . Затова височините им към $MN$ са равни и $S_{MNB} = S_{MNC}$ .
Триъгълниците $AMN$ и $MNB$ имат общ връх $N$ , а основите им $AM$ и $MB$ лежат на една права – височината от $N$ е обща. Лицата им се отнасят като основите: $\frac{S_{AMN}}{S_{MNB}} = \frac{AM}{MB}$ . По същия начин $\frac{S_{AMN}}{S_{MNC}} = \frac{AN}{NC}$ .
Десните страни имат равни знаменатели (стъпка 1), следователно $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ .
Като прибавим 1 към обратните отношения: $\frac{AB}{AM} = 1 + \frac{MB}{AM} = 1 + \frac{NC}{AN} = \frac{AC}{AN}$ , т.е. $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ .
За $MN$ : през $N$ прекарваме права, успоредна на $AB$ , която пресича $BC$ в точка $K$ . Четириъгълникът $BMNK$ е успоредник, затова $MN = BK$ . Прилагаме вече доказаното за ъгъла при $C$ : $\frac{CK}{CB} = \frac{CN}{CA}$ , откъдето $\frac{BK}{BC} = 1 - \frac{CN}{CA} = \frac{AN}{AC}$ .
Обратното твърдение: през $M$ прекарваме права, успоредна на $BC$ ; нека тя пресича $AC$ в $N_1$ . По правата теорема $\frac{AN_1}{N_1C} = \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$ . Само една точка дели $AC$ в дадено отношение, затова $N_1 = N$ и $MN \parallel BC$ .

∎

Частен случай е ( $M$ и $N$ са среди на страните): тя е успоредна на $BC$ и е равна на половината от нея. За нея вече стана дума в урока Триъгълник.

AM/AB0,4

AM =5,6MB =8,3AN =6,5NC =9,8MN =7,2BC =18

AM/AB = 0,4 AN/AC = 0,4 MN/BC = 0,4

AM/MB = 0,67 = AN/NC = 0,67

Внимание: MN/BC е равно на AM/AB, а не на AM/MB!

💡 Влачи върховете и местѝ правата MN. Докато MN ∥ BC, трите отношения AM/AB, AN/AC и MN/BC остават равни – а триъгълникът AMN е умалено копие на ABC.

Пример

В триъгълник $ABC$ правата $MN \parallel BC$ ( $M \in AB$ , $N \in AC$ ). $AM = 3,\ MB = 6,\ AN = 4$ и $BC = 12$ . Намерете $NC$ и $MN$ .

По теоремата на Талес: $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \Rightarrow \frac{3}{6} = \frac{4}{NC} \Rightarrow NC = 8$
$AB = 3 + 6 = 9$ , затова $\frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$MN = \frac{12}{3} = 4$

3. Подобни триъгълници

О

Триъгълниците

ABC

и

A_1B_1C_1

са подобни (

\Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1

), ако съответните им ъгли са равни (

\angle A = \angle A_1,\ \angle B = \angle B_1,\ \angle C = \angle C_1

) и съответните им страни са пропорционални:

\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{C_1A_1}{CA} = k

. Числото

k

се нарича коефициент на подобие.

Подобните триъгълници имат еднаква форма, но могат да са с различна големина. При $k = 1$ те са еднакви. Редът на буквите в записа е важен: $\Delta ABC \sim \Delta A_1B_1C_1$ казва кой връх на кой съответства – и така кои страни да сравняваме.

4. Признаци за подобие

Не е нужно да проверяваме и трите ъгъла, и трите отношения – достатъчно е едно от следните условия:

I. ЪЪ

Два ъгъла на единия триъгълник са равни на два ъгъла на другия (третите тогава също са равни).

II. СЪС

Две страни на единия са пропорционални на две страни на другия и ъглите между тях са равни.

III. ССС

Трите страни на единия са пропорционални на трите страни на другия.

Пример

Да проверим дали триъгълниците със страни 4, 6, 8 и 6, 9, 12 са подобни.

Подреждаме страните по големина и делим съответните: $\frac{6}{4} = 1{,}5$ ; $\frac{9}{6} = 1{,}5$ ; $\frac{12}{8} = 1{,}5$
Трите отношения са равни $\Rightarrow$ подобни са по признак ССС с $k = 1{,}5$

Пример

Диагоналите на трапец $ABCD$ ( $AB \parallel CD$ ) се пресичат в точка $O$ . $AB = 12,\ CD = 4,\ AC = 10$ . Намерете $AO$ и $OC$ .

$\angle OAB = \angle OCD$ (кръстни ъгли при $AB \parallel CD$ ) и $\angle AOB = \angle COD$ (връхни ъгли)
По признак ЪЪ: $\Delta AOB \sim \Delta COD$ с $k = \frac{AB}{CD} = 3$
$AO = 3 \cdot OC$ и $AO + OC = 10 \Rightarrow 4 \cdot OC = 10 \Rightarrow OC = 2{,}5$ ; $AO = 7{,}5$

5. Периметри и лица на подобни фигури

Т

Отношение на периметрите и лицата

Ако два триъгълника са подобни с коефициент

k

, то отношението на периметрите им е

k

, отношението на съответните им височини, медиани и ъглополовящи също е

k

, а отношението на лицата им е

k^2

. Същото важи за всякакви подобни фигури: при подобие с коефициент

k

лицата се умножават по

k^2

, а обемите на подобни тела – по

k^3

.

Доказателство

Периметри: всяка страна на втория триъгълник е $k$ пъти по-голяма от съответната, затова и сборът им е $k$ пъти по-голям: $P_1 = ka + kb + kc = kP$ .
Височини: нека $AH$ и $A_1H_1$ са съответните височини. Правоъгълните триъгълници $ABH$ и $A_1B_1H_1$ имат равни остри ъгли при $B$ и $B_1$ , следователно са подобни (ЪЪ) и $\frac{A_1H_1}{AH} = \frac{A_1B_1}{AB} = k$ . Аналогично (с подходящи подобни триъгълници) се доказва и за медианите и ъглополовящите.
Лица: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot B_1C_1 \cdot A_1H_1$ $= \frac{1}{2} \cdot ka \cdot kh_a = k^2 \cdot S$
Всеки многоъгълник се разрязва на триъгълници, а при подобие всеки от тях се променя с $k^2$ – значи и сборът. За криви фигури (например кръг) това следва, като ги приближаваме с многоъгълници. Обемите (с $k^3$ ) са в урока „Стереометрия“.

∎

Това е отговорът на загадката от началото: снимката е увеличена с $k = 2$ , затова лицето ѝ е $2^2 = 4$ пъти по-голямо. Един начин да получим подобен триъгълник е хомотетията – „увеличаване“ от точка $O$ . Пробвай:

k2

a, b, c =3,2; 3,6; 4,1a′, b′, c′ =6,3; 7,2; 8,2

P′ : P = 21,8 : 10,9 = 2 = |k|

S′ : S = 22 : 5,5 = 4 = k²

💡 Всяка точка P се изпраща в P′ върху правата OP, като OP′ = |k| · OP. Влачи центъра O и върховете; промени k (при k < 0 копието е от другата страна на O, „обърнато“).

6. Подобие в правоъгълния триъгълник

Нека $CH$ е височината към $AB$ на правоъгълния триъгълник $ABC$ , а $p = AH$ и $q = HB$ са проекциите на $b = AC$ и $a = BC$ върху хипотенузата. Височината разделя триъгълника на два малки, които са подобни на целия (имат общ остър ъгъл и прав ъгъл).

Т

Метрични зависимости (теореми на Евклид)

В правоъгълен триъгълник с хипотенуза

c

, катети

a

и

b

, височина

h

към хипотенузата и проекции

p

и

q

на катетите

b

и

a

върху нея:

h^2 = p \cdot q

;

a^2 = c \cdot q

;

b^2 = c \cdot p

. Освен това

a \cdot b = c \cdot h

(двата начина за удвоеното лице).

Доказателство на метричните зависимости

Триъгълниците $ACH$ и $ABC$ имат общ ъгъл при $A$ и по един прав ъгъл ( $\angle AHC = \angle ACB = 90^\circ$ ), значи са подобни (ЪЪ). Срещу равните ъгли стоят съответни страни: $\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC} \Rightarrow b^2 = c \cdot p$
По същия начин $\Delta BCH \sim \Delta BAC$ (общ ъгъл при $B$ ): $\frac{BC}{BA} = \frac{BH}{BC}$ , т.е. $a^2 = c \cdot q$ .
Двата малки триъгълника също са подобни: $\angle ACH = 90^\circ - \angle A = \angle B$ , затова $\Delta ACH \sim \Delta CBH$ и $\frac{AH}{CH} = \frac{CH}{HB}$ , т.е. $h^2 = p \cdot q$ .
$a \cdot b = c \cdot h$ : двата израза са удвоеното лице – веднъж с катетите, веднъж с хипотенузата и височината към нея.
Следствие – Питагоровата теорема: като съберем $a^2 = cq$ и $b^2 = cp$ , получаваме $a^2 + b^2 = c(p + q) = c \cdot c = c^2$ .

∎

h² = p · q: 7,79² = 60,75 и 13,5 · 4,5 = 60,75

ΔAHC ~ ΔCHB (ЪЪ) ⇒ AH/CH = CH/HB

Сбор: a² + b² = c · q + c · p = c(p + q) = c² – това е доказателство на Питагоровата теорема!

💡 Точката C се движи по полуокръжност с диаметър AB – затова ъгълът при C винаги е прав (Талес). Височината CH разделя триъгълника на два, подобни на него и помежду си.

Пример

Катетите на правоъгълен триъгълник са 6 cm и 8 cm. Намерете височината към хипотенузата и отсечките, на които тя я дели.

$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\ \mathrm{cm}$
$h = a \cdot b / c = \frac{48}{10} = 4{,}8\ \mathrm{cm}$
Проекция на катета $6$ : $6^2 = 10 \cdot x \Rightarrow x = 3{,}6\ \mathrm{cm}$
Проекция на катета $8$ : $8^2 = 10 \cdot y \Rightarrow y = 6{,}4\ \mathrm{cm}$
Проверка: $3{,}6 \cdot 6{,}4 = 23{,}04 = 4{,}8^2$ ✓

7. Задачи от живота

Когато нещо е твърде високо, далечно или голямо за директно измерване, търсим два подобни триъгълника: един малък, който можем да измерим, и един голям, в който е неизвестното.

0 / 6

🌳 Сянката на дървото

Човек с ръст 1,80 m хвърля сянка 1,20 m. В същия момент сянката на дърво е 8 m. Колко е високо дървото?

🗺️ Карта

Мащабът на туристическа карта е $1 : 25\,000$ . Разстоянието между две хижи на картата е 6 cm. Колко километра е то в действителност?

🪞 Огледало

Огледало лежи на земята на 6 m от сграда. Човек застава на 1,5 m от огледалото и вижда в него върха на сградата. Очите му са на височина 1,6 m. Колко е висока сградата?

🍕 Пица

Голяма пица има диаметър 30 cm, а малка – 20 cm. Колко пъти голямата пица е по-голяма от малката (по лице)?

📽️ Проектор

Проектор на 3 m от стената дава картина, широка 1,2 m. На какво разстояние трябва да се постави, за да е картината широка 2 m?

🏠 Макет

Макет на къща е в мащаб $1 : 50$ . Покривът на макета има площ $0{,}08\ \mathrm{m}^2$ . Колко квадратни метра керемиди са нужни за истинския покрив?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. Тренажор

Талес, подобни триъгълници, периметри и лица, правоъгълен триъгълник – въведи отговора като число (напр. 7,5 или 15/2).

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1,\ AB = 12,\ BC = 6,\ A_1B_1 = 8

$B_1C_1 = ?$

9. ⚠️ Чести грешки

Сбъркано съответствие на върховете

✗ $\displaystyle \Delta ABC \sim \Delta MNP \Rightarrow \frac{AB}{NP} = \frac{BC}{MN}$

✓ $\displaystyle \frac{AB}{MN} = \frac{BC}{NP} = \frac{CA}{PM}$

Лицата като периметрите

✗ $\displaystyle k = 3 \Rightarrow S_1 = 3S$

✓ $\displaystyle S_1 = k^2 \cdot S = 9S$

Отсечката $\displaystyle MN$ при Талес

✗ $\displaystyle MN \parallel BC \Rightarrow \frac{MN}{BC} = \frac{AM}{MB}$

✓ $\displaystyle \frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB}$

„Признак“ ССЪ

✗ две пропорционални страни и ъгъл срещу едната ⇒ подобни

✓ не е признак (както и при еднаквост)

Мащаб на площ

✗ $\displaystyle 1 : 25\,000 \Rightarrow 1\ \mathrm{cm}^2 \leftrightarrow 25\,000\ \mathrm{cm}^2$

✓ $\displaystyle 1\ \mathrm{cm}^2 \leftrightarrow 250\ \mathrm{m} \cdot 250\ \mathrm{m} = 62\,500\ \mathrm{m}^2$

Подобни ⇔ еднакви

✗ подобните триъгълници имат равни страни

✓ само при $\displaystyle k = 1$

10. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Триъгълник $\displaystyle A_1B_1C_1$ е подобен на $\displaystyle ABC$ с коефициент $\displaystyle k = 3$ ( $\displaystyle A_1B_1 = 3 \cdot AB$ ). Ако $\displaystyle AB = 4\ \mathrm{cm}$ , колко е $\displaystyle A_1B_1$ ?

Избери отговор (или натисни 1–4)

11. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

✓ Талес: успоредни прави отсичат пропорционални отсечки; $MN \parallel BC \Rightarrow \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$
✓ Подобни триъгълници: равни ъгли и пропорционални страни с коефициент $k$
✓ Признаци: ЪЪ, СЪС, ССС (ССЪ не е признак)
✓ Периметри, височини, – отношение $k$ ; лица – $k^2$ ; обеми – $k^3$
✓ Правоъгълен триъгълник: $h^2 = pq,\ a^2 = cq,\ b^2 = cp,\ ab = ch$
✓ Талес се доказва с лица на триъгълници; метричните зависимости и Питагор – с подобни триъгълници; лицата растат с $k^2$ , защото и основата, и височината растат с $k$
✓ Измерване на недостъпни разстояния: търсим два подобни триъгълника

💡 Интересен факт

Листът А4 е $297 \times 210\ \mathrm{mm}$ , а $297 : 210 \approx 1{,}414 \approx \sqrt{2}$ . Това не е случайно: ако го разрежеш наполовина, получаваш лист А5, който е подобен на А4. Лицето е намаляло 2 пъти, значи коефициентът на подобие е $\frac{1}{\sqrt{2}}$ – точно колкото трябва, за да остане отношението на страните $\sqrt{2}$ . Затова копирната машина намалява А4 до А5 с бутона „71%“ ( $\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707$ ).