Закони на Кеплер

🔭 Хиляди години хората вярвали, че небесните тела се движат по съвършени окръжности. Йоханес Кеплер също вярвал – докато не се опитал да опише орбитата на Марс. Шест години пресмятания на ръка и една разлика от само 8 ъглови минути (четвърт от диаметъра на Луната) спрямо наблюденията на Тихо Брахе го накарали да изостави окръжностите. „Тези 8 минути – пише той – показаха пътя към реформата на цялата астрономия.“

1. Тихо Брахе и Йоханес Кеплер

👁️ Тихо Брахе (1546–1601)

Датски астроном – най-точният наблюдател преди телескопа. В обсерваторията си на остров Хвен измервал положенията на планетите с точност около 1′ в продължение на 20 години.

🧮 Йоханес Кеплер (1571–1630)

Немски математик, помощник на Брахе в Прага. След смъртта му наследил наблюденията и от тях извел трите закона (1609 и 1619) – без телескоп, без компютър и без да знае защо планетите се движат така.

Законите на Кеплер са емпирични – те описват как се движат планетите. Едва 70 години по-късно Нютон показа, че те следват от (виж „Гравитация“) – и обясни защо.

Тихо мери само посоката към Марс, не разстоянието. Кеплер намира хитър начин да получи и разстоянието: сравнява наблюдения, направени през един период на Марс (687 дни). Тогава Марс е на същото място, а Земята – не, и двете посоки се пресичат в Марс.

Как Кеплер намери орбитата на Марс

Марс се връща на същото място на всеки 687 дни, а Земята дотогава е обиколила Слънцето 1,88 пъти и е на друго място. Двете посоки към Марс, измерени от Тихо, се пресичат точно в Марс.

Ден на първото наблюдение: 120

Разстоянието от Слънцето до Марс се мени от 1,38 до 1,67 AU – точките не лежат на окръжност около Слънцето. Окръжност с изместен център почти ги покрива – разликата е само няколко ъглови минути. Точно такава разлика от 8′ спрямо наблюденията на Тихо кара Кеплер да опита елипса със Слънцето във фокуса. С нея всички наблюдения се подреждат.

2. Първи закон: закон за елипсите

Първи закон на Кеплер

Всяка планета се движи по елипса, в единия фокус на която се намира Слънцето.

Елипса

Множеството от точки, за които сумата от разстоянията до два фиксирани фокуса

F_1

F_2

е постоянна и равна на

2a

r_1 + r_2 = 2a

. Голямата полуос е

a

, малката –

b

, разстоянието от центъра до фокус е

c = a\cdot e

, където

e

е ексцентрицитетът (

0 \le e < 1

Важни формули

: $r_p = a(1 - e)$
: $r_a = a(1 + e)$
$a = \frac{r_p + r_a}{2}$
$e = \frac{r_a - r_p}{r_a + r_p}$
$b = a\cdot \sqrt{1 - e^2}$

Ексцентрицитети

Венераe = 0,007
Земяe = 0,017
Марсe = 0,093
Меркурийe = 0,206
Плутонe = 0,249
Кометата на Халейe = 0,967

✏️ Опитайте сами: метод на градинаря

Забийте две кабарчета в картон, вържете около тях хлабав конец и опънете го с молив. Движейки молива, ще начертаете елипса – кабарчетата са фокусите, а дължината на конеца е 2a. Колкото по-далеч са кабарчетата, толкова по-издължена е елипсата.

3. Втори закон: закон за площите

Втори закон на Кеплер

Радиус-векторът от Слънцето до планетата описва равни площи за равни интервали от време. Следователно планетата се движи най-бързо в перихелия и най-бавно в афелия.

Лаборатория „Орбити“

Планетата се движи с истинското Кеплерово време. Всеки цветен сектор се описва за 1/12 от периода.

Ексцентрицитет e = 0,500

Време от перихелия: 10% от периода

Равни площи (II закон)Метод на градинаря (I закон)

Разстояние r

0,742 a

Скорост

1,30 v₀

vₚ / vₐ = (1+e)/(1−e)

3,00

Малка полуос b

0,866 a

v₀ е скоростта по кръгова орбита с радиус a. Зелената стрелка е скоростта на планетата.

Физично обяснение

Гравитацията винаги сочи към Слънцето, затова не може да завърти планетата „встрани“ – запазва се моментът на импулса $L = m\cdot r\cdot v_{\perp}$ . Площта, описана за кратко време $\Delta t$ , е $\Delta S = \tfrac{1}{2}\cdot r\cdot v_{\perp}\cdot \Delta t = \frac{L\cdot \Delta t}{2m}$ – постоянна.

$r_p \cdot v_p = r_a \cdot v_a \to v_p / v_a = r_a / r_p = \frac{1 + e}{1 - e}$

Пример

С каква скорост се движи Земята в перихелия и в афелия, ако средната ѝ скорост е $29{,}78\ \mathrm{km/s}$ , а $e = 0{,}0167$ ?

$v_p / v_a = \frac{1 + e}{1 - e} = 1{,}0167 / 0{,}9833 \approx 1{,}034$ .
За почти кръгова орбита $v_p \approx v_0\cdot (1 + e)$ и $v_a \approx v_0\cdot (1 - e)$ .
$v_p \approx 29{,}78 \cdot 1{,}0167 \approx 30{,}3\ \mathrm{km/s}$ (началото на януари), $v_a \approx 29{,}78 \cdot 0{,}9833 \approx 29{,}3\ \mathrm{km/s}$ (началото на юли).
Затова лятното полугодие в северното полукълбо е с ~7 дни по-дълго (виж „Движение на Земята“).

4. Трети закон: хармоничен закон

Трети закон на Кеплер

Квадратите на периодите на планетите се отнасят както кубовете на големите полуоси на орбитите им:

T_1^2 / T_2^2 = a_1^3 / a_2^3

. Ако

T

е в години, а

a

– в астрономически единици, за планетите от Слънчевата система

T^2 = a^3

Трети закон: създайте своя планета

Изберете голямата полуос – законът определя периода. Вижте как по-далечните планети „изостават“.

Голяма полуос на вашата планета: a = 2,50 AU

T = a^3/2 = 3,95 години

Планета	a, AU	T, години	T² / a³
Меркурий	0,387	0,241	1,000
Венера	0,723	0,615	1,001
Земя	1	1	1,000
Марс	1,524	1,881	1,000
Юпитер	5,203	11,86	0,999
Сатурн	9,537	29,46	1,001
Уран	19,19	84,01	0,999
Нептун	30,07	164,8	0,999

В логаритмичен мащаб T = k·a^3/2 е права с наклон 3/2. Спътниците на Юпитер (квадратчета) лежат на успоредна права, но ~32 пъти по-високо: k = 1/√M, а масата на Юпитер е ~1/1048 от слънчевата. Наклонът е един и същ – законът е универсален.

Третият закон във формата на Нютон

T^2 = \frac{4\pi^2\cdot a^3}{G\cdot (M + m)}

. Константата зависи само от масата на централното тяло (

m

обикновено се пренебрегва). Затова по орбитата на спътник може да се определи масата на планетата, звездата или черната дупка, около която обикаля.

Пример

На какво разстояние от центъра на Земята е геостационарната орбита ( $T = 1$ звезден ден $= 0{,}9973$ дни)? Сравнете с Луната ( $a = 384\,400\ \mathrm{km},\ T = 27{,}32$ дни).

Двата спътника обикалят едно и също тяло, затова $(a_{\text{г}} / a_{\text{☾}})^3 = (T_{\text{г}} / T_{\text{☾}})^2$ .
$T_{\text{г}} / T_{\text{☾}} = 0{,}9973 / 27{,}32 = 0{,}0365$ .
$a_{\text{г}} = 384\,400\ \mathrm{km} \cdot 0{,}0365^{2/3} \approx 384\,400 \cdot 0{,}110 \approx 42\,300\ \mathrm{km}$ .
Това е ~35 900 km над повърхността – там „висят“ телевизионните спътници.

5. Значение на законите

Законите важат за всяко тяло, обикалящо друго: планети, комети, спътници, , звезди около в центъра на Галактиката.
Чрез тях се изчисляват масите на небесните тела (виж „Гравитация“).
През 1846 г. малки отклонения на Уран от Кеплеровата му орбита позволили на Льо Верие да предскаже къде е непознатата планета, която го смущава. Нептун е открит на по-малко от 1° от предсказаното място.
Всички космически мисии летят по Кеплерови орбити – например прелитането от Земята до Марс е половин елипса с перихелий при Земята и афелий при Марс (виж „Орбити и скорости“).
По периода и „клатенето“ на звездите се откриват и измерват (виж „Екзопланети“).

6. 🎯 Бърз тест

1 / 5

✓ 0

Къде се намира Слънцето спрямо орбитата на планетата?

Избери отговор (или натисни 1–4)

7. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

8. Обобщение

✓ I закон: орбитите са елипси със Слънцето в единия фокус; $r_p = a(1 - e),\ r_a = a(1 + e)$
✓ II закон: равни площи за равни времена; $v_p / v_a = \frac{1 + e}{1 - e}$
✓ III закон: $T^2 = a^3$ (в години и AU)
✓ Във вида на Нютон: $T^2 = \frac{4\pi^2a^3}{G(M + m)}$
✓ II законът следва от запазването на
✓ По орбитата на спътник се намира масата на централното тяло

💡Интересен факт

Кеплер е бил и автор на един от първите научнофантастични разкази – „Сънят“ (1634), в който описва пътуване до Луната и как изглежда Земята оттам. А майка му била съдена като вещица и самият Кеплер я защитавал години наред, докато успял да я освободи. Днес на името му е кръстен космическият телескоп „Кеплер“, открил хиляди екзопланети.