Сайтът все още се разработва и може да има грешки и неточности. Ако забележиш такава, пиши ни на ninelibera@gmail.com.

Специална теория на относителността

⚡ 16-годишният Алберт Айнщайн си представя, че препуска до със същата скорост. Би ли видял „замръзнала“ ? Уравненията на Максуел казват, че такова нещо не съществува. Десет години по-късно, през 1905 г., младият служител в патентното бюро в Берн публикува решението: скоростта на светлината е една и съща за всички. Цената е висока – времето и пространството престават да бъдат абсолютни. Днес тази теория работи всеки ден в GPS навигацията на телефона ви, в ускорителите на частици и в струите на .

1. Двата постулата

Специалната теория на относителността (СТО) описва как изглеждат пространството и времето за наблюдатели, които се движат един спрямо друг с постоянна скорост. При скорости, близки до скоростта на светлината, законите на Нютон престават да бъдат точни.

Т

Постулатите на Айнщайн (1905)

1) Принцип на относителността: законите на физиката са еднакви във всички инерциални отправни системи. 2) Скоростта на светлината във вакуум c≈299 792 km/sc \approx 299\,792\ \mathrm{km/s} е една и съща за всички наблюдатели, независимо от движението на източника и на наблюдателя.

Няма експеримент, с който да определим дали се движим равномерно или стоим неподвижно. Ако от ракета, летяща с 0,5c, светнем с фенерче напред, светлината пак ще се движи с cc, а не с 1,5c – както за космонавтите, така и за нас на Земята. Именно второто твърдение налага времето и пространството да бъдат относителни. Опитът на Майкелсън и Морли (1887 г.) не открива никаква разлика в скоростта на светлината при движението на Земята.

2. Лоренцовият фактор

Т

Лоренцов фактор

γ=1/1−v2c2\gamma = 1 / \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}. Всички релативистки ефекти се изразяват чрез γ\gamma. При малки скорости γ≈1+v22c2≈1\gamma \approx 1 + \frac{v^2}{2c^2} \approx 1 и получаваме класическата физика; при v→cv \to c, γ→∞\gamma \to \infty.

Как расте γ със скоростта

00,20,40,60,8112345678v / cγv → c, γ → ∞γ = 1,25

Плъзгачът управлява и диаграмата на ракетата в т. 4.

v = 0,1c
γ ≈ 1,005
v = 0,6c
γ ≈ 1,25
v = 0,8c
γ ≈ 1,67
v = 0,99c
γ ≈ 7,09
v = 0,9999c
γ ≈ 70,7

3. Забавяне на времето

Т

Забавяне на времето

Движещият се часовник върви по-бавно от неподвижния: Δt=γ⋅Δt0\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0, където Δt0\Delta t_0 е собственото време – измерено от часовник, който е в покой спрямо събитията (например часовникът на космонавта).

Светлинният часовник

Фотон подскача между две огледала – всяко „отиване и връщане“ е един тик. Гледан от Земята, часовникът в летящата ракета прави фотона да изминава по-дълъг, диагонален път. А скоростта на светлината е една и съща…

на Земята0 тикав ракетата, летяща с 0,6c (гледано от Земята)0 тикаγ = 1 / √(1 − v²/c²) = 1,25 · един тик в ракетата трае 1,25 тика на Земята

За половин тик фотонът в ракетата изминава хипотенузата: (c·Δt/2)² = h² + (v·Δt/2)², откъдето Δt = γ · 2h/c = γΔt₀. Всички процеси в ракетата – часовници, сърцето на космонавта, разпадът на частици – вървят точно толкова по-бавно. А за космонавта всичко е нормално: за него бавно вървят часовниците на Земята!

Пример

Мюон има собствено време на живот 2,2 µs и се движи с 0,995c. Какво разстояние изминава средно според земен наблюдател?

  1. Без относителност: d=vτ0=0,995⋅3⋅108⋅2,2⋅10−6≈657 md = v \tau_0 = 0{,}995 \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot 2{,}2 \cdot 10^{-6} \approx 657\ \mathrm{m}
  2. γ=1/1−0,9952=1/0,009975≈10,0\gamma = 1 / \sqrt{1 - 0{,}995^2} = 1 / \sqrt{0{,}009975} \approx 10{,}0
  3. Със СТО: d=v⋅γτ0≈6,6 kmd = v \cdot \gamma\tau_0 \approx 6{,}6\ \mathrm{km} – десет пъти повече. Мюоните, родени на 15 km, имат реален шанс да стигнат до земята

Мюоните от космическите лъчи

Космическите лъчи се удрят в горната атмосфера и раждат мюони – нестабилни частици, които живеят средно 2,2 µs. Колко от тях стигат до земята?

15 km0✷ удар на космически лъч → мюониСпециална теория на относителносттаv = 0,995c · γ = 10време на живот (за Земята): 22 µsсредно изминат път: 6,56 kmдо земята стигат: 10,2%Сравнение на пътищата (мащаб 15 km):атмосферабез СТО: 655 mсъс СТО: 6,6 kmЗа мюона: атмосферата е свита до 1,5 km(свиване на дължините) – същият резултат: 10,2%.

Дори със скоростта на светлината мюон би изминал средно само 660 m за 2,2 µs – без относителността до земята щяха да стигат практически нула. А в действителност през всеки квадратен метър всяка секунда минават около 170 мюона от космическите лъчи – през дланта ви по един в секунда, точно сега! Това е проверено през 1941 г. (Роси и Хол) и прецизно през 1963 г. (Фриш и Смит).

4. Свиване на дължините

Т

Свиване на дължините

Движещото се тяло е по-късо по посока на движението си: L=L0/γL = L_0 / \gamma, където L0L_0 е собствената дължина (измерена в покой спрямо тялото). Размерите, перпендикулярни на движението, не се променят.

Ракета в покой и в движение (v = 0,6c)

v = 0L₀v = 0,6cL = 0,8 L₀

Свиването е само по посока на движението – височината на ракетата не се променя. От гледна точка на мюона не времето му се забавя, а разстоянието до Земята се свива от 15 km до около 1,5 km. Двете описания дават един и същ резултат.

5. Пътуване до звездите и парадоксът на близнаците

Забавянето на времето прави възможно (поне на теория) да стигнем далечни звезди за един човешки живот – за пътешественика. На Земята обаче ще минат десетилетия или векове.

Пример

Близнак лети до Проксима Кентавър (4,24 св. г.) и обратно с 0,8c. С колко остарява всеки от близнаците?

  1. На Земята: T=2⋅4,24/0,8=10,6T = 2 \cdot 4{,}24 / 0{,}8 = 10{,}6 години
  2. γ=1/1−0,64=1/0,6≈1,67\gamma = 1 / \sqrt{1 - 0{,}64} = 1 / 0{,}6 \approx 1{,}67
  3. Пътешественикът: τ=T/γ=10,6⋅0,6≈6,4\tau = T / \gamma = 10{,}6 \cdot 0{,}6 \approx 6{,}4 години – той се връща с 4,2 години по-млад от брат си

Парадоксът на близнаците

Единият близнак лети до звезда и се връща. Диаграмата на Минковски: хоризонтално е разстоянието, вертикално – времето на Земята. Светлината се движи по линии под 45°.

разстояние, св. г.t, г.звезда, 4,2 св. г.10,6 г.v = 0,8c · γ = 1,67Близнакът на Земята остарява с 10,6 г.Пътешественикът остарява с 6,4 г.разлика: 4,2 г.За пътешественика разстоянието е свито до 2,54 св. г.на отиване получава 1 годишни сигнала от Земятана връщане – останалите 9(на отиване – по-рядко, на връщане – по-често: Доплер)Точките са годините по часовника на всеки близнак.Пътешественикът сменя отправната си система приобръщането – затова ситуацията не е симетрична.

Всеки близнак вижда часовника на другия да върви бавно, докато се движат равномерно. Но само пътешественикът спира и обръща – затова той наистина е по-млад при срещата. Ефектът е измерен с атомни часовници в самолети (Хафеле и Кийтинг, 1971 г.).

6. Събиране на скоростите

Т

Релативистко събиране на скоростите

Ако тяло се движи със скорост u′u' спрямо система, която се движи със скорост vv (в същата посока), то спрямо нас скоростта му е u=u′+v1+u′vc2u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u'v}{c^2}}. Резултатът никога не надминава cc.

Пример

Кораб се движи с 0,5c и изстрелва сонда напред с 0,5c спрямо себе си. Колко е скоростта на сондата спрямо Земята? А ако вместо сонда изпрати светлинен лъч?

  1. Сонда: u=0,5+0,51+0,25c=0,8cu = \frac{0{,}5 + 0{,}5}{1 + 0{,}25} c = 0{,}8c, а не 1c
  2. Светлина: u=c+v1+vc=cu = \frac{c + v}{1 + \frac{v}{c}} = c – точно според втория постулат

7. Маса и енергия: E=mc2E = mc^2

Т

Еквивалентност на маса и енергия

Тяло с маса mm в покой има енергия E0=mc2E_0 = mc^2. Пълната енергия на движещо се тяло е E=γmc2E = \gamma mc^2, а кинетичната – (γ−1)mc2(\gamma - 1)mc^2. Тъй като γ→∞\gamma \to \infty при v→cv \to c, нито едно тяло с маса не може да достигне скоростта на светлината.

Защо свети Слънцето?

В ядрото на Слънцето 4 се сливат в едно хелиево ядро (виж „Слънцето“). Хелиевото ядро е с около 0,7% по-леко от четирите протона – тази „изчезнала“ маса се превръща в енергия по формулата E=mc2E = mc^2. Така Слънцето губи около 4 милиона тона маса всяка секунда и въпреки това ще свети още около 5 милиарда години.

8. СТО в астрономията

Т

Релативистки ефект на Доплер

За източник, който се отдалечава със скорост v=βcv = \beta c по зрителния лъч: λ=λ0⋅1+β1−β\lambda = \lambda_0 \cdot \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}. При малки скорости това дава познатото Δλλ≈vc\frac{\Delta\lambda}{\lambda} \approx \frac{v}{c}. (Червеното отместване на далечните галактики е друго – от разширението на пространството, виж „Разширяване на Вселената“.)

„По-бързо от светлината“: струите на квазарите

Плазма излита от ядрото на галактика почти със скоростта на светлината, под малък ъгъл към нас. Петното почти „догонва“ собствената си светлина – затова на небето изглежда, че се движи по-бързо от c.

към Земятаядроθ = 15°петната са изпуснати през равни интервали Δt;светлината им пристига през Δt·(1 − β cos θ) = 0,053 Δtскоростта на светлината0°30°60°90°видима скорост / cвидима скорост: 4,75c – „свръхсветлинна“!струя / обратна струя: ~4,8 · 10⁴ пъти по-яркамаксимум βγ = 4,9c при θ = 11,5° · δ = 3,7

Видимата скорост е β_вид = β sin θ / (1 − β cos θ). Нищо не се движи по-бързо от светлината – просто по-късните петна са по-близо до нас и светлината им идва „на по-кратък път“. Хъбъл е видял петна в струята на M87, които се движат с ~6c. Освен това излъчването на приближаващата се струя е силно усилено (релативистки Доплер), а на отдалечаващата се – отслабено: затова често виждаме само едната струя.

☄️ Космически лъчи

Протони с γ\gamma над 101110^{11} – най-енергичните частици, наблюдавани във Вселената. За такъв протон (100 000 св. г.) е свит до ~3 милиона km и го прелита за ~10 секунди по собствения си часовник!

🛰️ GPS

Часовниците на спътниците изостават с ~7 µs на ден заради скоростта си (СТО) и избързват с ~45 µs заради по-слабата гравитация (обща теория). Без корекцията от +38 µs/ден грешката в позицията би расла с ~10 km на ден.

Специална или обща теория?

Специалната теория (1905) разглежда без гравитация. Общата теория на относителността (1915) обяснява гравитацията като изкривяване на пространство-времето и е нужна за черните дупки, (виж „Тъмна материя“) и (виж „Методи за наблюдение“).

9. 🎯 Бърз тест

1 / 7
✓ 0

Какво твърди вторият постулат на Айнщайн?

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Ниво В· Национален кръг

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Ниво С· Международна олимпиада

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

11. Обобщение

  • ✓ Постулати: физиката е една и съща за всички наблюдатели; cc е еднаква за всички
  • ✓ Лоренцов фактор: γ=1/1−v2c2\gamma = 1 / \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}
  • ✓ Забавяне на времето: Δt=γΔt0\Delta t = \gamma\Delta t_0 – мюоните, GPS, близнаците
  • ✓ Свиване на дължините: L=L0/γL = L_0 / \gamma
  • ✓ Събиране на скоростите: u=u′+v1+u′vc2u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u'v}{c^2}} – никога над cc
  • ✓ Маса и енергия: E=mc2E = mc^2 – източникът на енергия на звездите
  • ✓ В астрономията: релативистки Доплер, „свръхсветлинни“ струи, космически лъчи

💡Интересен факт

Астронавтите на Международната космическа станция се движат с около 7,7 km/s7{,}7\ \mathrm{km/s}. Само заради скоростта си след 6 месеца в орбита те са остарели с около 0,005 секунди по-малко от хората на Земята. Рекордьорът по време в космоса Олег Кононенко (над 1100 дни) е „пътувал във времето“ с около 0,03 секунди напред!