Комплексни числа

1. Имагинерната единица

🤔 Загадка: Уравнението $x^2 = -1$ няма реален корен – квадратът на всяко е неотрицателен. Какво ще стане, ако просто измислим число с $i^2 = -1$ и смятаме с него по обичайните правила?

О

Комплексно число

Числото

i

с

i^2 = -1

се нарича имагинерна единица. Комплексно число е число от вида

z = a + bi

, където

a

и

b

са реални:

a = \operatorname{Re} z

е реалната част,

b = \operatorname{Im} z

– имагинерната. Две комплексни числа са равни, когато реалните и имагинерните им части са равни. Реалните числа са комплексните с

b = 0

.

Сега $\sqrt{-9} = 3i$ , защото $(3i)^2 = 9i^2 = -9$ . Степените на $i$ се повтарят през четири: $i^1 = i,\ i^2 = -1,\ i^3 = -i,\ i^4 = 1,\ i^5 = i, \ldots$ Затова $i^n$ зависи само от остатъка на $n$ при деление на 4.

2. Действия с комплексни числа

Т

Събиране, изваждане и умножение

Смятаме като с многочлени на

i

и заместваме

i^2 = -1

:

(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i

;

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

.

О

Спрегнато число и деление

Спрегнатото на

z = a + bi

е

\bar{z} = a - bi

. Тогава

z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2

е реално число. За да разделим, умножаваме числителя и знаменателя по спрегнатото на знаменателя:

\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}

.

Доказателство

Умножение: разкриваме скобите като при многочлени и заместваме $i^2 = -1$ : $(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2$ $= (ac - bd) + (ad + bc)i$
Спрегнато: по формулата $(p + q)(p - q) = p^2 - q^2$ имаме $(a + bi)(a - bi) = a^2 - b^2i^2 = a^2 + b^2$ – реално и при $z \ne 0$ положително число.
Деление: умножаваме числителя и знаменателя по $c - di$ . Знаменателят става реалното число $c^2 + d^2 \ne 0$ и можем просто да разделим реалната и имагинерната част на него.
Степени на $i$ : ако $n = 4k + m$ , то $i^n = (i^4)^k \cdot i^m = 1^k \cdot i^m = i^m$ – остава само остатъкът $m$ .

∎

Пример

Да пресметнем $(2 + 3i)(4 - i)$ и $\frac{5 + 5i}{1 + 2i}$ .

$(2 + 3i)(4 - i) = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 8 + 10i + 3 = 11 + 10i$
$\frac{5 + 5i}{1 + 2i} = \frac{(5 + 5i)(1 - 2i)}{1^2 + 2^2} = \frac{5 - 10i + 5i - 10i^2}{5}$
$= \frac{15 - 5i}{5} = 3 - i$ (проверка: $(3 - i)(1 + 2i) = 3 + 6i - i - 2i^2 = 5 + 5i$ ✓)

3. Комплексната равнина

В началото на XIX век Арган и Гаус предлагат да изобразим $a + bi$ като точката $(a;\ b)$ в равнината – хоризонталната ос е реалната, вертикалната – имагинерната. Изведнъж „въображаемите“ числа получават съвсем реална геометрия: събирането е събиране на вектори (виж Вектори), а модулът е разстоянието до нулата.

О

Модул

Модулът на

z = a + bi

е

|z| = \sqrt{a^2 + b^2}

– разстоянието от точката

(a;\ b)

до началото (по Питагоровата теорема). В сила е

|z|^2 = z\bar{z}

и

|zw| = |z| \cdot |w|

.

Доказателство на свойствата на модула

$|z|^2 = a^2 + b^2 = z\bar{z}$ – видяхме го в т. 2.
Спрегнатото на произведение е произведение на спрегнатите: по формулата за умножение $\overline{zw} = (ac - bd) - (ad + bc)i$ , а $\bar{z} \cdot \bar{w} = (a - bi)(c - di) = (ac - bd) - (ad + bc)i$ – същото.
Тогава $|zw|^2 = zw \cdot \overline{zw} = z\bar{z} \cdot w\bar{w} = |z|^2 \cdot |w|^2$ и тъй като модулите са неотрицателни, $|zw| = |z| \cdot |w|$ .

∎

z =2 + iw =1 + 2iz + w =3 + 3i

|z| = 2,24 – разстоянието от z до 0.

💡 Влачи точките z и w. Реалната част е по хоризонталната ос (x), имагинерната – по вертикалната (y). Сборът е като при векторите (успоредник), а при умножение модулите се умножават и ъглите се събират.

4. Тригонометричен вид и формула на Моавър

Т

Тригонометричен вид

Всяко

z \ne 0

се записва като

z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)

, където

r = |z|

, а

\varphi

е ъгълът между положителната реална полуос и вектора към

z

(аргумент). При умножение модулите се умножават, а аргументите се събират:

z_1 z_2 = r_1 r_2\left(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)\right)

.

Затова умножението по $i = \cos 90^{\circ} + i\sin 90^{\circ}$ е завъртане на 90°. Като повтаряме умножението, получаваме формулата на Моавър: $z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$ . Свързахме алгебрата с тригонометрията.

Доказателство: умножение в тригонометричен вид и формула на Моавър

Съществуване: точката $(a;\ b)$ е на разстояние $r = |z|$ от началото. По дефиницията на косинус и синус чрез окръжност $a = r\cos \varphi$ и $b = r\sin \varphi$ , следователно $z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ .
Умножение: разкриваме скобите в $(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1)(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2)$ : $(\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 - \sin \varphi_1 \sin \varphi_2)$ $+ i(\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 + \cos \varphi_1 \sin \varphi_2)$
Използваме формулите за косинус и синус от сбор (адиционните формули от тригонометрията): $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ Реалната част отгоре е $\cos(\varphi_1 + \varphi_2)$ , а имагинерната – $\sin(\varphi_1 + \varphi_2)$ , т.е. произведението е $\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)$ . Като добавим и множителите $r_1 r_2$ , получаваме $z_1 z_2 = r_1 r_2\left(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)\right)$ .
Моавър – по индукция: при $n = 1$ е вярно. Ако $z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$ , то $z^{n+1} = z^n \cdot z$ , модулите се умножават до $r^{n+1}$ , а аргументите се събират до $(n + 1)\varphi$ .

∎

r = |z|1,1φ, °30n6

z =0,95 + 0,55i|z⁶| = rⁿ =1,772ъгъл nφ =180°

zⁿ = 1,77(cos 180° + i sin 180°) ≈ −1,77

💡 Всяко умножение по z завърта с ъгъл φ и разтяга r пъти. При r = 1 степените обикалят по единичната окръжност, при r > 1 се отдалечават по спирала, при r < 1 – се навиват към нулата.

Пример

Да пресметнем $(1 + i)^8$ .

$|1 + i| = \sqrt{2}$ , аргументът е $45^{\circ}$ : $1 + i = \sqrt{2}(\cos 45^{\circ} + i\sin 45^{\circ})$
$(1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8(\cos 360^{\circ} + i\sin 360^{\circ}) = 16 \cdot 1 = 16$
Без формулата: $(1 + i)^2 = 2i$ , $(2i)^4 = 16i^4 = 16$ ✓

5. Уравнения и корени от единицата

с отрицателна вече имат корени (виж Квадратни уравнения): $x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-D}}{2a}$ . Двата корена са спрегнати. Нещо повече – Гаус доказва (1799), че всяко алгебрично уравнение от степен $n$ има точно $n$ комплексни корена (броени с кратностите). Това е основната теорема на алгебрата: с комплексните числа никое уравнение не остава без решение.

Пример

Да решим $x^2 + 2x + 5 = 0$ .

$D = 4 - 20 = -16$ , $\sqrt{D} = 4i$
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$
Проверка: $(-1 + 2i)^2 + 2(-1 + 2i) + 5 = (1 - 4i - 4) - 2 + 4i + 5 = 0$ ✓

Т

Корени от единицата

Уравнението

z^n = 1

има

n

корена

\varepsilon_k = \cos \frac{360^{\circ} k}{n} + i\sin \frac{360^{\circ} k}{n}

,

k = 0, 1, \ldots, n - 1

. Те са върховете на правилен

n

-ъгълник, вписан в единичната окръжност, и сборът им е 0.

Доказателство

Числата $\varepsilon_k$ са корени: по Моавър $\varepsilon_k^n = \cos(360^{\circ} k) + i\sin(360^{\circ} k) = 1$ . Ъглите $\frac{360^{\circ} k}{n}$ при $k = 0, \ldots, n - 1$ са различни и между $0^{\circ}$ и $360^{\circ}$ , затова числата са $n$ различни.
Други корени няма: ако $z^n = 1$ , то $|z|^n = 1$ , значи $|z| = 1$ и $z = \cos \varphi + i\sin \varphi$ . Тогава $\cos n\varphi + i\sin n\varphi = 1$ , т.е. $n\varphi$ е кратно на $360^{\circ}$ – точно ъглите по-горе.
Всички са на разстояние 1 от началото, а ъгълът между съседни е $\frac{360^{\circ}}{n}$ – върхове на правилен $n$ -ъгълник.
Сбор: при $n \ge 2$ и $\varepsilon = \varepsilon_1 \ne 1$ по Моавър $\varepsilon_k = \varepsilon^k$ . По формулата за сбор на геометрична прогресия (тя се извежда по същия начин и за комплексни числа) $1 + \varepsilon + \ldots + \varepsilon^{n-1} = \frac{\varepsilon^n - 1}{\varepsilon - 1} = \frac{1 - 1}{\varepsilon - 1} = 0$

∎

n6

ъгъл между корените60°ε₁ ≈0,5 + 0,87iсбор на корените0

Реални корени са само 1 и −1, останалите 4 са по двойки спрегнати.

💡 Уравнението zⁿ = 1 има точно n комплексни корена. Те имат модул 1 и ъгли 0°, 360°/n, 2·360°/n, … – затова лежат на единичната окръжност на равни разстояния.

6. Тренажор

Пресметни исканата част. Дробните отговори въвеждай като 3/5, отрицателните – с минус.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

\frac{-4 - 2i}{1 + i}

Имагинерната част е:

7. Комплексните числа около нас

Където има въртене или трептене, има комплексни числа: в , в звука и музиката (разлагането на сигнал на ), в радиото и Wi-Fi, в компютърната графика. в квантовата механика е записано директно с $i$ .

0 / 6

⚡ Импеданс

В електротехниката съпротивлението на верига с бобина се записва като комплексно число $Z = R + iX$ . При $R = 3\ \Omega$ и $X = 4\ \Omega$ колко е големината $|Z|$ и какъв ток тече при напрежение 10 V ( $I = \frac{U}{|Z|}$ )?

🔌 Последователно свързване

Два елемента с импеданси $Z_1 = 2 + 3i$ и $Z_2 = 4 - 11i$ (в омове) са свързани последователно – импедансите се събират. Колко е $|Z_1 + Z_2|$ ?

🤖 Робот завива

Робот е в точката $(3;\ 4)$ спрямо началото. Завъртането на 90° около началото обратно на часовниковата стрелка е умножение по $i$ . Къде ще е роботът след завъртането?

📐 Завъртане на 60°

Точката $(2;\ 0)$ се завърта на 60° около началото. Намерете новите ѝ координати, като умножите по $\cos 60^{\circ} + i\sin 60^{\circ}$ .

🔊 Сбор на трептения

Две трептения с еднаква честота и амплитуди 3 и 4, изместени на четвърт период (90°), се събират. Физиците ги представят като комплексни числа $3$ и $4i$ . Каква е амплитудата на сбора?

🌀 Фрактал на Манделброт

Фракталът на Манделброт се строи с правилото $z_{n+1} = z_n^2 + c$ , $z_0 = 0$ . Пресметнете $z_3$ при $c = i$ (въведете реалната и имагинерната част).

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

Квадратът на $\displaystyle i$

✗ $\displaystyle i^2 = 1$

✓ $\displaystyle i^2 = -1$

Корен от произведение

✗ $\displaystyle \sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} = \sqrt{36} = 6$

✓ $\displaystyle 2i \cdot 3i = 6i^2 = -6$

Модул

✗ $\displaystyle |3 + 4i| = 3 + 4 = 7$

✓ $\displaystyle |3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = 5$

Спрегнато число

✗ $\displaystyle \overline{3 + 4i} = -3 - 4i$

✓ $\displaystyle \overline{3 + 4i} = 3 - 4i$

Квадрат на сбор

✗ $\displaystyle (a + bi)^2 = a^2 + b^2$

✓ $\displaystyle (a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi$

Деление поотделно

✗ $\displaystyle \frac{a + bi}{c + di} = \frac{a}{c} + \frac{b}{d}i$

✓ умножаваме по спрегнатото $\displaystyle c - di$

9. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

На колко е равно $\displaystyle i^2$ ?

Избери отговор (или натисни 1–4)

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

✓ $i^2 = -1$ ; $z = a + bi$ , $\operatorname{Re} z = a$ , $\operatorname{Im} z = b$ ; степените на $i$ се повтарят през 4
✓ $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$ ; делим, като умножим по спрегнатото $\bar{z} = a - bi$
✓ $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ – разстоянието до 0 в комплексната равнина
✓ $z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$ ; при умножение модулите се умножават, ъглите се събират
✓ Моавър: $z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$ ; корените на $z^n = 1$ са върхове на правилен $n$ -ъгълник
✓ Правилото „модулите се умножават, ъглите се събират“ следва от формулите за косинус и синус от сбор
✓ Всяко уравнение от степен $n$ има $n$ комплексни корена (основна теорема на алгебрата)

💡 Интересен факт

Ойлер открива, че $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi$ . При $\varphi = \pi$ се получава $e^{i\pi} + 1 = 0$ – равенство, което свързва петте най-важни числа в математиката: $0$ , $1$ , $\pi$ , $e$ и $i$ . В анкети сред математици то често е избирано за „най-красивата формула“. Символа $i$ за имагинерната единица също въвежда Ойлер.

1. Имагинерната единица

Комплексно число

2. Действия с комплексни числа

Събиране, изваждане и умножение

Спрегнато число и деление

Пример

3. Комплексната равнина

Модул

4. Тригонометричен вид и формула на Моавър

Тригонометричен вид

Пример

5. Уравнения и корени от единицата

Пример

Корени от единицата

6. Тренажор

7. Комплексните числа около нас

8. ⚠️ Чести грешки

9. 🎯 Бърз тест

На колко е равно i2\displaystyle i^2i2?

10. 📝 Задачи за упражнение

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

На колко е равно $\displaystyle i^2$ ?