Дроби и проценти

🛍️ Табела в магазин: „−50%, а на касата – още −20%!“. Значи общо −70%? Не: якето за 100 € ще струва $100 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}8 = 40$ €, т.е. отстъпката е 60%. Друг магазин вдига цените с 20%, а после ги „намалява“ с 20% – и клиентите плащат с 4% повече, отколкото в началото. Процентите са навсякъде – в цените, лихвите, заплатите, новините – и е полезно да не ни подвеждат. А зад всеки процент стои обикновена дроб.

1. Обикновени дроби

🤔 Загадка: Кое е повече – $\frac{3}{8}$ от една пица или $\frac{2}{5}$ от същата пица? Трудно е да се каже „на око“. Ако нарежем пицата на 40 парчета, $\frac{3}{8}$ са 15 парчета, а $\frac{2}{5}$ са 16. Общият знаменател превръща сравнението в броене.

Обикновена дроб и основно свойство

Дробта

\frac{a}{b}

(

b \ne 0

) означава

a

части от цяло, разделено на

b

равни части; тя е и резултатът от делението

a : b

. Основно свойство: ако умножим или разделим числителя и знаменателя на едно и също число, различно от 0, получаваме равна дроб. Разширяване:

\frac{3}{4} = \frac{6}{8}

; съкращаване:

\frac{6}{8} = \frac{3}{4}

. Дроб е несъкратима, ако

\text{НОД}(a, b) = 1

🍫 Дробта като части от цяло

Знаменателят казва на колко равни части делим цялото, числителят – колко от тях взимаме. Разширяването прави частите по-дребни, но оцветената площ остава същата.

3/4

3·2 / 4·2 = 6/8

числ.3знам.4по k2

3/4 = 6/8 = 0,75 = 75%

Дробта е несъкратима – числителят и знаменателят нямат общ делител, по-голям от 1.

2. Действия с дроби

Правила

Събиране и изваждане: привеждаме към общ знаменател (най-удобно – НОК на знаменателите) и събираме числителите:

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

. Умножение: числител по числител, знаменател по знаменател:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

. Деление: умножаваме по обратната дроб:

\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

➕ Общ знаменател

Половинки и третинки не могат да се съберат директно – те са различни „мерки“. Нарязваме и двете на шестинки и вече можем да броим.

1/2

a1b2

1/3

c1d3

1/2 = 3/6

1/3 = 2/6

сбор: 5/6

1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6

Общият знаменател е НОК(2, 3) = 6. Допълнителните множители са 3 и 2.

Пример

Да пресметнем $\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{5}{6}$ .

НОК(3, 4, 6) = 12
$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ ; $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ ; $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$
$\frac{8 + 9 - 10}{12} = \frac{7}{12}$

Пример

Да пресметнем $\left(1\frac{1}{2} - \frac{2}{3}\right) \cdot \frac{6}{5}$ .

$1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$\frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9}{6} - \frac{4}{6} = \frac{5}{6}$
$\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5} = \frac{30}{30} = 1$ (съкращаваме преди да умножим: 5 и 5, 6 и 6)

3. Десетични дроби

Дроб със знаменател 10, 100, 1000… се записва като десетична: $\frac{3}{4} = \frac{75}{100} = 0{,}75$ . Всяка обикновена дроб се превръща в десетична чрез деление. Резултатът е краен, ако знаменателят на несъкратимата дроб има само прости 2 и 5 ( $\frac{1}{8} = 0{,}125$ ), и безкраен периодичен в противен случай ( $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)$ ; $\frac{1}{6} = 0{,}1(6)$ ).

Пример

Да запишем $0{,}(36) = 0{,}363636\ldots$ като обикновена дроб.

Нека $x = 0{,}3636\ldots$ ; периодът има 2 цифри, затова умножаваме по 100
$100x = 36{,}3636\ldots$
Изваждаме: $100x - x = 36 \Rightarrow 99x = 36$
$x = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}$

4. Проценти

Процент

Един процент (1%) е една стотна:

1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01

. Затова

p\%

от числото

A

\frac{p}{100} \cdot A

. Например

20\% = \frac{1}{5}

25\% = \frac{1}{4}

50\% = \frac{1}{2}

75\% = \frac{3}{4}

Част от число

$15\%\ \text{от}\ 80 = 0{,}15 \cdot 80 = 12$

умножаваме

Число по дадена част

$30$ е $25\%$ от $x \Rightarrow x = 30 : 0{,}25 = 120$

делим

Колко процента

$12$ от $80 \Rightarrow 12 : 80 = 0{,}15 = 15\%$

делим и $\cdot 100\%$

5. Промяна с проценти

Множител на промяната

Увеличение с

p\%

означава умножение по

\left(1 + \frac{p}{100}\right)

, намаление с

p\%

– умножение по

\left(1 - \frac{p}{100}\right)

. При няколко последователни промени множителите се умножават: +20% и после −20% дават

1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96

, т.е. −4%. Сложна лихва: при

r\%

годишно сумата след

n

години е

S = S_0 \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n

📈 Проценти от проценти

Увеличението с p% умножава по (1 + p/100). Всяка следваща промяна се смята от новата стойност, не от началната.

цена100p, %20q, %−20

100 · 1,2 · 0,8 = 96 €

Общо: −4% – а не 0%! +20% и −20% не се „унищожават“: втората промяна е от друга основа.

Внимавай и с процентните пунктове: ако лихвата се вдигне от 4% на 5%, тя е нараснала с 1 процентен пункт, но с 25% (защото 1 е 25% от 4). Новините често бъркат двете.

6. Тренажор

Трите основни задачи с проценти и „обратните“ задачи за цена преди промяната.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

След намаление с 15% якето струва 51 €. Колко е струвало преди това?

€

7. Задачи от живота

0 / 6

🏷️ Разпродажба

Обувки струват 80 €. В разпродажба са намалени с 25%. Колко струват сега?

🧾 ДДС

Цената на книга с включен ДДС 20% е 36 €. Колко е цената без ДДС?

🏦 Спестявания

Внасяш 1000 € в банка при 3% годишна лихва, която всяка година се прибавя към сумата (сложна лихва). Колко ще имаш след 5 години?

🍪 Рецепта

За 12 бисквити са нужни $\frac{3}{4}$ чаша захар. Колко чаши захар трябват за 20 бисквити?

🗳️ Избирателна активност

В малък град има 6000 души с право на глас, от които са гласували 2400. Каква е избирателната активност?

💼 Заплата

Заплата от 1500 € е увеличена с 10%, а на следващата година – намалена с 10%. Каква е заплатата накрая?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

Събиране на числители и знаменатели

✗ $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$

✓ $\displaystyle \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

Съкращаване на събираеми

✗ $\displaystyle \frac{2 + 3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{5}$

✓ $\displaystyle \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ – съкращаваме само множители

Деление без обръщане

✗ $\displaystyle \frac{2}{3} : \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$

✓ $\displaystyle \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

+20% и −20% се унищожават

✗ 100 → 120 → 100

✓ 100 → 120 → 96

Процент от грешната основа

✗ с ДДС 120 € ⇒ ДДС $\displaystyle = 20\%\ \text{от}\ 120 = 24$ €

✓ $\displaystyle 120 : 1{,}2 = 100 \Rightarrow$ ДДС $\displaystyle = 20$ €

Проценти и процентни пунктове

✗ 4% → 5% е ръст с 1%

✓ ръст с 1 пункт, т.е. с 25%

9. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Колко е $\displaystyle \frac{3}{4} + \frac{1}{6}$ ?

Избери отговор (или натисни 1–4)

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

✓ $\frac{a}{b}$ – $a$ части от $b$ равни; разширяване и съкращаване не променят стойността
✓ Събиране – общ знаменател; умножение – „право“; деление – по обратната дроб
✓ Периодична дроб → обикновена: умножаваме по 10, 100… и изваждаме
✓ $p\%\ \text{от}\ A = \frac{p}{100} \cdot A$ ; „ $A$ е колко % от $B$ “ $= A : B \cdot 100\%$
✓ Промяна с $p\%$ = умножение по $\left(1 \pm \frac{p}{100}\right)$ ; последователните промени се умножават
✓ Сложна лихва: $S_0 \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n$ ; процентни пунктове ≠ проценти

💡 Интересен факт

Папирусът на Ринд (Египет, около 1550 г. пр.н.е.) съдържа таблица, в която дроби като $\frac{2}{5}$ са записани като сбор от различни дроби с числител 1: $\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}$ . Египтяните почти не използвали други дроби (с изключение на $\frac{2}{3}$ ). А знакът % се смята, че произлиза от италианското per cento – „на сто“, което търговците съкращавали при писане, докато накрая се превърнало в кръгче, черта и още едно кръгче.

Дроби и проценти

1. Обикновени дроби

Обикновена дроб и основно свойство

🍫 Дробта като части от цяло

2. Действия с дроби

Правила

➕ Общ знаменател

Пример

Пример

3. Десетични дроби

Пример

4. Проценти

Процент

5. Промяна с проценти

Множител на промяната

📈 Проценти от проценти

6. Тренажор

7. Задачи от живота

8. ⚠️ Чести грешки

9. 🎯 Бърз тест

Колко е 34+16\displaystyle \frac{3}{4} + \frac{1}{6}43​+61​?

10. 📝 Задачи за упражнение

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

Колко е $\displaystyle \frac{3}{4} + \frac{1}{6}$ ?