Видове числа — урок по теория на числата

1. Естествени и цели числа

🤔 Загадка: Вярно ли е, че $0{,}999\ldots = 1$ ? Повечето хора казват „не, малко по-малко е“. До края на урока ще можеш да докажеш кой е прав.

О

Естествени числа

Числата, с които броим:

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}

. Дали 0 е естествено число, е въпрос на уговорка: в много учебници не е, а в други (и в международния стандарт ISO 80000-2)

\mathbb{N}

започва от 0. Сборът и произведението на естествени числа е естествено число, но разликата и частното – не винаги:

3 - 5

и

3 : 5

не са естествени.

О

Цели числа

Естествените числа, нулата и противоположните на естествените:

\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}

. Буквата идва от немската дума Zahlen – „числа“. В

\mathbb{Z}

вече можем да изваждаме без ограничения, но не и да делим:

7 : 2

не е цяло число.

Всяко ново множество числа се появява, за да може да се извършва действие, което в старото не винаги е възможно. Отрицателните числа използват китайски математици преди повече от 2000 години, а индиецът Брахмагупта (VII век) описва правила за „дългове“ и „имущества“. В Европа те дълго се смятат за „абсурдни“ – чак до XVII–XVIII век.

2. Рационални числа

О

Рационални числа

Число, което може да се запише като дроб

\frac{p}{q}

, където

p

е цяло, а

q \ne 0

– естествено число:

\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} : p \in \mathbb{Z},\ q \in \mathbb{N}\right\}

. Например

\frac{3}{4}

,

-2{,}5 = -\frac{5}{2}

,

7 = \frac{7}{1}

. Името идва от латинското ratio – „отношение“, а буквата – от quotient, „частно“.

В $\mathbb{Q}$ можем да събираме, изваждаме, умножаваме и делим (без деление на 0) – резултатът винаги е рационално число. Освен това рационалните числа са гъсти: между всеки две има трето, например средното им аритметично $\frac{a + b}{2}$ . Значи между всеки две рационални числа има безброй много други.

7

Число 1 от 13. Кое е най-тясното множество, в което попада?

💡 Числото отива в най-малкото множество, което го съдържа: 7 е и цяло, и рационално, но го слагаме в ℕ. Зелена рамка – позна, червена – сгреши.

3. Десетичен запис на рационалните числа

Т

Крайни и периодични дроби

Всяко рационално число се записва като крайна или като безкрайна периодична десетична дроб – и обратно, всяка такава дроб е рационално число. Несъкратимата дроб

\frac{p}{q}

е крайна точно когато

q

няма други прости делители освен 2 и 5:

\frac{7}{40} = 0{,}175

, но

\frac{1}{6} = 0{,}1(6)

и

\frac{5}{7} = 0{,}(714285)

.

Защо периодът е неизбежен? При деление на $q$ остатъците са най-много $q$ различни числа. Щом някой остатък се повтори, делението тръгва отначало и цифрите – също. Пробвай сам в лабораторията (повече за остатъците има в урока Делимост и прости числа).

Доказателство на критерия и на обратното твърдение

Ако $q = 2^{\alpha} 5^{\beta}$ , допълваме знаменателя до степен на 10: при $\alpha \ge \beta$ умножаваме числителя и знаменателя по $5^{\alpha - \beta}$ и получаваме $\frac{N}{10^{\alpha}}$ – крайна дроб. Например $\frac{7}{40} = \frac{7 \cdot 25}{1000} = 0{,}175$ .
Обратно, крайната дроб е $\frac{N}{10^k}$ . След съкращаване знаменателят дели $10^k = 2^k 5^k$ , следователно (по единствеността на разлагането) няма други прости делители освен 2 и 5.
Периодичната дроб е рационална: нека предпериодът има $s$ цифри, а периодът – $k$ . Числата $10^{s+k}x$ и $10^s x$ имат еднакви „опашки“ след запетаята, значи разликата им $(10^{s+k} - 10^s)x = N$ е цяло число и $x = \frac{N}{10^s(10^k - 1)}$ . Точно това правим в примера по-долу.

∎

\frac{5}{7} = 0{,}(714285)

Остатъците при делението и цифрата, която дава всеки (следващият остатък е от деленето на предишния × 10 на 7):

5→71→13→42→26→84→55 ↺

p5q7

Остатъкът 5 се повтори – оттук цифрите тръгват отначало. Периодът има 6 цифри. Несъкратимият знаменател 7 се дели на 7.

💡 Възможните ненулеви остатъци при деление на 7 са само 6: от 1 до 6. Затова най-късно след 6 стъпки някой остатък се повтаря – и периодът никога не е по-дълъг от 6 цифри. Опитай q = 7, 17 и 19: там периодът е максимално дълъг.

Пример

Да запишем $0{,}2(45) = 0{,}2454545\ldots$ като обикновена дроб.

Нека $x = 0{,}2(45)$ . Местим запетаята пред периода и след първия период: $10x = 2{,}(45)$ и $1000x = 245{,}(45)$ .
Изваждаме – безкрайните „опашки“ се унищожават: $990x = 245 - 2 = 243$ .
$x = \frac{243}{990} = \frac{27}{110}$

Пример

Отговорът на загадката: на колко е равно $0{,}(9)$ ?

Нека $x = 0{,}(9)$ . Тогава $10x = 9{,}(9)$ .
Изваждаме: $9x = 9$ , т.е. $x = 1$ .
Друг начин: $\frac{1}{3} = 0{,}(3)$ ; умножаваме по 3 и получаваме $1 = 0{,}(9)$ . Едно число може да има два десетични записа!

4. Ирационални числа

О

Ирационални числа

Реално число, което не е рационално, т.е. не може да се запише като дроб

\frac{p}{q}

с цели

p

и

q

. Десетичният му запис е безкраен и непериодичен. Примери:

\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots

,

\pi = 3{,}14159\ldots

,

e = 2{,}71828\ldots

,

0{,}1010010001\ldots

Т

Числото √2 е ирационално

Не съществуват цели числа

p

и

q \ne 0

, за които

\left(\frac{p}{q}\right)^2 = 2

.

Доказателство (от противното)

Да допуснем, че $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ и дробта е несъкратима.
Тогава $p^2 = 2q^2$ – значи $p^2$ е четно, а оттам и $p$ е четно (квадратът на нечетно число е нечетен): $p = 2k$ .
Заместваме: $4k^2 = 2q^2$ , т.е. $q^2 = 2k^2$ – и $q$ е четно.
И числителят, и знаменателят се делят на 2 – противоречие с несъкратимостта. Значи $\sqrt{2}$ не е рационално.

∎

Т

Кога коренът е ирационален

Ако естественото число

n

не е точен квадрат, то

\sqrt{n}

е ирационално. Така

\sqrt{3}

,

\sqrt{5}

,

\sqrt{8}

са ирационални, а

\sqrt{9} = 3

и

\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5}

– не.

Доказателство

Да допуснем, че $\sqrt{n} = \frac{p}{q}$ с несъкратима дроб. Тогава $nq^2 = p^2$ .
Ако $q > 1$ , нека $r$ е прост делител на $q$ . Тогава $r \mid nq^2 = p^2$ и по лемата на Евклид $r \mid p$ – противоречие с несъкратимостта.
Значи $q = 1$ и $n = p^2$ е точен квадрат. С други думи, коренът от естествено число е или цяло число, или ирационално – „среден случай“ няма. Същото разсъждение работи и за $\sqrt[k]{n}$ .

∎

Сборът, разликата, произведението и частното на рационално число $r \ne 0$ и ирационално число са винаги ирационални: ако $r + \alpha = s$ беше рационално, и $\alpha = s - r$ щеше да е рационално. Но две ирационални числа могат да дадат рационален резултат: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ , $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = 4$ . Ирационалността на π доказва Йохан Ламберт през 1761 г. – доказателството е много по-трудно.

Пример

Ирационално ли е числото $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ ?

Да допуснем, че $\sqrt{2} + \sqrt{3} = r$ е рационално. Повдигаме на квадрат: $5 + 2\sqrt{6} = r^2$ .
Тогава $\sqrt{6} = \frac{r^2 - 5}{2}$ е рационално.
Но 6 не е точен квадрат, така че $\sqrt{6}$ е ирационално – противоречие. Значи $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ е ирационално.

5. Реални числа и числовата ос

О

Реални числа

Рационалните и ирационалните числа заедно образуват реалните числа

\mathbb{R}

. Всяко реално число е точка от числовата ос и всяка точка от оста е реално число. Множествата са вложени едно в друго:

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

.

Макар рационалните числа да са гъсти, те оставят „дупки“ по оста: в точката √2 няма рационално число. Ирационалните числа запълват тези дупки. С пергел √2 може да се нанесе точно: това е диагоналът на квадрат със страна 1, завъртян до оста. В лабораторията „увеличаваме“ оста с лупа – при всяко увеличение ×10 се показва още една цифра.

Увеличение ×1: √2 е в жълтата отсечка, значи √2 = 1,4… Натисни „Увеличи“ за следващата цифра.

💡 Всеки кадър е жълтата отсечка от предишния, увеличена 10 пъти. Крайна дроб (3/8) рано или късно попада точно на деление, а 1/7, √2 и π – никога. Разликата между 1/7 и √2 е, че цифрите на 1/7 се повтарят.

Реалните числа не са краят: уравнението $x^2 = -1$ няма реален корен. Затова математиците въвеждат комплексните числа $\mathbb{C}$ , и тогава $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ .

6. Тренажор

Периодични дроби, крайни дроби и цели числа между корени. Дробите въвеждай с наклонена черта, например 3/11.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

0{,}(53)

Запишете като несъкратима обикновена дроб.

7. Рационални и ирационални числа около нас

Всяко измерване дава рационално число – линийката и калкулаторът знаят само краен брой цифри. Но зад формата на листа хартия, тоновете на пианото и кръга се крият ирационални числа.

0 / 6

📄 Тайната на листа A4

Листовете от серия A имат отношение на страните $\sqrt{2} : 1$ – така, разрязан наполовина, листът запазва формата си. Листът A0 има лице $1\ \mathrm{m}^2$ , а A4 се получава, като A0 се разреже наполовина 4 пъти. Намерете страните на A4 в милиметри.

🎹 Пианото и дванадесетият корен от 2

В съвременния строй всеки полутон умножава честотата по $\sqrt[12]{2}$ – ирационално число. Тонът ла има честота $440\ \mathrm{Hz}$ , а ми е 7 полутона по-високо. Каква е честотата на ми на пианото и каква би била в „чистия“ строй на Питагор, където отношението е точно $\frac{3}{2}$ ?

🥧 Дроби за π

Архимед е използвал приближението $\pi \approx \frac{22}{7}$ , а китайският математик Дзу Чунджъ през V век – $\frac{355}{113}$ . С колко верни цифри след десетичната запетая $\frac{355}{113}$ дава π (π = 3,14159265…)?

🛒 Изгубеният цент

Магазин продава пакет от 3 бутилки за 10 €. Касата пресмята цената на една бутилка и я закръгля до цент. Ресторант купува 300 бутилки поотделно по закръглената цена. С колко евро плаща по-малко, отколкото за 100 пакета?

🧱 Диагоналът на плочката

Квадратна плочка е със страна $30\ \mathrm{cm}$ . Колко е диагоналът ѝ, закръглен до милиметър? Може ли да се измери точно с линийка?

🌻 Златното сечение

Числото $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (златното сечение) е ирационално. Отношенията на поредни числа на Фибоначи (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …) се доближават до него. Пресметнете φ и $\frac{34}{21}$ с три знака след запетаята.

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

Корен = ирационално

✗ $\displaystyle \sqrt{9}$ е ирационално, защото има корен

✓ $\displaystyle \sqrt{9} = 3$ ; ирационален е коренът само от число, което не е точен квадрат

Безкрайна дроб

✗ $\displaystyle 0{,}(3)$ е ирационално, защото цифрите не свършват

✓ $\displaystyle 0{,}(3) = \frac{1}{3}$ ; ирационални са само непериодичните безкрайни дроби

Сбор на ирационални

✗ $\displaystyle \alpha$ и $\displaystyle \beta$ ирационални $\displaystyle \Rightarrow \alpha + \beta$ е ирационално

✓ $\displaystyle \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ е рационално

Числото π

✗ $\displaystyle \pi = \frac{22}{7}$ или $\displaystyle \pi = 3{,}14$

✓ това са приближения; π е ирационално

Дроб с корени

✗ $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ е рационално, защото е дроб

✓ в $\displaystyle \frac{p}{q}$ числата $\displaystyle p$ и $\displaystyle q$ трябва да са цели

Числото $\displaystyle 0{,}(9)$

✗ $\displaystyle 0{,}(9) < 1$

✓ $\displaystyle 0{,}(9) = 1$ – две записвания на едно и също число

9. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Кое от числата е ирационално?

Избери отговор (или натисни 1–4)

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

✓ $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ : естествени, цели, рационални, реални
✓ $\sqrt{n}$ е цяло или ирационално – доказва се от противното, с несъкратима дроб
✓ Рационално число: $\frac{p}{q}$ , $p \in \mathbb{Z}$ , $q \in \mathbb{N}$ ; записва се като крайна или периодична десетична дроб
✓ Несъкратимата $\frac{p}{q}$ е крайна дроб точно когато $q$ има само прости 2 и 5
✓ Периодична → обикновена: умножаваме по 10, 100, … и изваждаме, за да изчезне периодът
✓ Ирационалните числа имат безкраен непериодичен запис: $\sqrt{2}$ , $\pi$ , $e$
✓ $\sqrt{n}$ е ирационално, ако $n$ не е точен квадрат; рационално ± ирационално = ирационално

💡 Интересен факт

През 1874 г. Георг Кантор доказва нещо смайващо: рационалните числа могат да се подредят в и „преброят“, а реалните – не. Значи ирационалните числа са несравнимо повече от рационалните, макар че почти всички числа, които срещаме в училище, са рационални. А някои съвсем прости въпроси още нямат отговор: никой не знае дали $\pi + e$ е рационално или ирационално число.