Логаритми

1. Какво е логаритъм?

🤔 Загадка: На каква степен трябва да повдигнем 2, за да получим 8? Лесно – на 3. А за да получим 10? Между 3 и 4 – но точно колко? Отговорът има име: $\log _2 10 \approx 3{,}32$ . Логаритъмът е неизвестният показател.

О

Логаритъм

Логаритъм от числото

b

при основа

a

(

a > 0,\ a \ne 1,\ b > 0

) е показателят, на който трябва да повдигнем

a

, за да получим

b

:

\log _a b = c \iff a^c = b

. Например

\log _2 8 = 3

, защото

2^3 = 8

;

\log _3 \left(\frac{1}{9}\right) = -2

, защото

3^{-2} = \frac{1}{9}

. Основно тъждество:

a^{\log _a b} = b

.

📏 Логаритъмът е показател

На тази линийка всяко умножение по a е една и съща стъпка надясно. log_a b казва колко стъпки има от 1 до b.

t3

b = 2^3 ≈ 8 ⇔ log₂ 8 = 3

b = 2³ е точна степен на 2 – логаритъмът е цяло число.

Логаритмуването е обратното действие на степенуването – както изваждането е обратно на събирането. Ако степените ти трябва да се припомнят, виж урока Степени и корени.

2. Свойства на логаритмите

Т

Основни свойства

За

a > 0,\ a \ne 1

и

x,\ y > 0

:

\begin{aligned} \log _a (xy) &= \log _a x + \log _a y \\ \log _a \left(\frac{x}{y}\right) &= \log _a x - \log _a y \\ \log _a (x^n) &= n \cdot \log _a x \end{aligned}

Особени стойности:

\log _a 1 = 0, \quad \log _a a = 1

Смяна на основата: за всяко

c > 0,\ c \ne 1

\log _a b = \frac{\log _c b}{\log _c a}

Всички тези свойства следват директно от правилата за степени, например от

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

.

Доказателство на свойствата

Означаваме $u = \log _a x$ и $v = \log _a y$ . По дефиниция $x = a^u$ и $y = a^v$ . Всяко свойство на логаритмите е свойство на степените, „прочетено отзад напред“.
Произведение: $xy = a^u \cdot a^v = a^{u+v}$ , следователно $\log _a (xy) = u + v = \log _a x + \log _a y$ .
Частно: $\frac{x}{y} = \frac{a^u}{a^v} = a^{u-v}$ , следователно $\log _a \frac{x}{y} = u - v$ .
Степен: $x^n = (a^u)^n = a^{nu}$ , следователно $\log _a (x^n) = nu = n \log _a x$ .
Особени стойности: $a^0 = 1$ и $a^1 = a$ , затова $\log _a 1 = 0$ и $\log _a a = 1$ . Основното тъждество $a^{\log _a b} = b$ е самата дефиниция: $\log _a b$ е показателят, който дава $b$ .
Смяна на основата: логаритмуваме основното тъждество $b = a^{\log _a b}$ при основа $c$ и прилагаме свойството за степен: $\log _c b = \log _a b \cdot \log _c a$ Тъй като $a \ne 1$ , имаме $\log _c a \ne 0$ и можем да разделим: $\log _a b = \frac{\log _c b}{\log _c a}$ .

∎

Първото свойство превръща умножението в събиране – а събирането е много по-лесно. На него се крепи логаритмичната линийка. На обикновената линийка числото $n$ стои на разстояние $n$ от началото и като долепим две отсечки, дължините им се събират: $2 + 3 = 5$ . На логаритмичната линийка числото $n$ е написано на разстояние $\lg n$ от началото (цялата скала е от 1 до 10, защото $\lg 1 = 0$ и $\lg 10 = 1$ ). Затова деленията не са равномерни: 2 е на 30% от дължината, 3 – на 48%, а 6 – на 78%.

Сега долепяме отсечка с дължина $\lg 2 \approx 0{,}301$ до отсечка с дължина $\lg 3 \approx 0{,}477$ . Общата дължина е $0{,}301 + 0{,}477 = 0{,}778 = \lg 6$ , така че краят ѝ попада точно на числото 6. Събрахме дължините – а прочетохме произведението $2 \cdot 3 = 6$ . На практика линийката има две еднакви скали: долната е неподвижна, а горната се плъзга по нея. Опитай в лабораторията.

📐 Логаритмична линийка

Числото n е написано на разстояние lg n от началото на скалата. Като долепим две дължини, логаритмите се събират – а числата се умножават. Така инженерите са смятали до 70-те години на XX век.

x2y3

Плъзгаме горната скала, докато началото ѝ 1 застане над x = 2 на долната. Така отмерваме отсечка с дължина lg 2 (в синьо).
Намираме y = 3 на горната скала. Към първата отсечка се долепя втора с дължина lg 3 (в розово).
Точно под y на долната скала четем 6 (зелената пунктирна линия).

lg 2 + lg 3 = 0,301 + 0,477 = 0,778 = lg 6

Отчитаме 6 на долната скала: 2 · 3 = 6

Пример

Да пресметнем $\lg 4 + \lg 25$ и $\log _2 12 - \log _2 3$ .

$\lg 4 + \lg 25 = \lg (4 \cdot 25) = \lg 100 = 2$
$\log _2 12 - \log _2 3 = \log _2 (12 : 3) = \log _2 4 = 2$

Пример

Да пресметнем $\log _4 8$ .

Смяна на основата: $\log _4 8 = \frac{\log _2 8}{\log _2 4} = \frac{3}{2}$
Проверка: $4^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{4}\right)^3 = 2^3 = 8$ ✓

3. Десетичен и натурален логаритъм

Два логаритъма имат специални означения. Десетичният $\lg x = \log _{10} x$ е удобен, защото системата ни е десетична: $\lg 1000 = 3$ , а броят на цифрите на число $N$ е цялата част на $\lg N$ плюс 1. Натуралният $\ln x = \log _e x$ има за основа числото $e \approx 2{,}71828$ – то се появява навсякъде, където нещо расте „непрекъснато“: в , в разпада на вещества, в растежа на . На калкулатора са бутоните log и ln; всеки друг логаритъм се пресмята със смяна на основата: $\log _2 10 = \lg 10 / \lg 2 \approx 3{,}32$ .

Защо броят на цифрите е

[\lg N] + 1

?

Естественото число $N$ има $k$ цифри точно когато $10^{k-1} \le N < 10^k$ . Например четирицифрените числа са от $1000 = 10^3$ до $9999 < 10^4$ .
Функцията $\lg$ е растяща, затова неравенствата се запазват: $k - 1 \le \lg N < k$ .
Значи цялата част на $\lg N$ е $k - 1$ и $k = [\lg N] + 1$ . Например $\lg 2026 \approx 3{,}31$ , $[\lg 2026] = 3$ – числото има 4 цифри.

∎

4. Логаритмичната функция

Т

Свойства на $y = \log _a x$

Дефинирана е за

x > 0

, приема всички реални стойности и графиката ѝ минава през

(1; 0)

. При

a > 1

е растяща, при

0 < a < 1

– намаляваща. Тя е обратна на показателната функция

y = a^x

, затова графиките им са симетрични спрямо правата

y = x

.

a2t1,5

2^1,5 = 2,828 ⇔ log₂ 2,828 = 1,5

a > 1: и двете функции растат; логаритъмът расте много бавно. Логаритмичната графика винаги минава през (1; 0) и е дефинирана само за x > 0.

💡 Точката P(t; aᵗ) е на показателната функция, а огледалната ѝ Q(aᵗ; t) – на логаритмичната. Двете функции са обратни една на друга: всяка „отменя“ другата.

Доказателство на свойствата на логаритмичната функция

Дефинирана е за $x > 0$ , защото $a^c > 0$ за всяко $c$ – отрицателно число или 0 не е степен на $a$ . Приема всяка стойност $c$ : тя се получава при $x = a^c$ . Минава през $(1;\ 0)$ , защото $\log _a 1 = 0$ .
Растяща при $a > 1$ : нека $0 < x < y$ . Ако допуснем, че $\log _a x \ge \log _a y$ , то (показателната функция при $a > 1$ е растяща) $a^{\log _a x} \ge a^{\log _a y}$ , т.е. $x \ge y$ – противоречие. При $0 < a < 1$ показателната функция намалява и същото разсъждение показва, че и логаритмичната намалява.
Симетрия: точката $(p;\ q)$ е от графиката на $y = a^x \iff q = a^p \iff p = \log _a q \iff$ точката $(q;\ p)$ е от графиката на $y = \log _a x$ .
Точките $(p;\ q)$ и $(q;\ p)$ са симетрични спрямо правата $y = x$ : средата им $\left(\frac{p+q}{2};\ \frac{p+q}{2}\right)$ лежи на нея, а отсечката между тях е перпендикулярна на нея (наклонът ѝ е $-1$ ). Затова двете графики са огледални една на друга.

∎

5. Показателни и логаритмични уравнения

Пример

Да решим уравнението $3^x = 20$ .

Логаритмуваме двете страни: $x \cdot \lg 3 = \lg 20$
$x = \lg 20 / \lg 3 \approx 1{,}3010 / 0{,}4771$
$x \approx 2{,}727$ (проверка: $3^{2{,}727} \approx 20$ ✓)

Пример

Да решим уравнението $\log _2 (x - 1) + \log _2 (x + 1) = 3$ .

Допустими стойности: $x - 1 > 0$ и $x + 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
$\log _2 ((x - 1)(x + 1)) = 3 \Rightarrow x^2 - 1 = 2^3 = 8$
$x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ или $x = -3$
$x = -3$ не е допустимо ⇒ отговор $x = 3$

6. Тренажор

Пресметни логаритъма без калкулатор. Дробните отговори въвеждай като 3/2.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

log₃ 18 − log₃ 2 = ?

7. Логаритмите около нас

Логаритмичните скали „свиват“ огромни диапазони в удобни числа: киселинността (), силата на звука (), земетресенията (скалата на Рихтер) и яркостта на звездите ( – виж урока за звездите). Всяка стъпка по такава скала означава умножение, не събиране.

0 / 6

🧪 pH

Киселинността се мери с $\mathrm{pH} = -\lg [\mathrm{H}^+]$ , където $[\mathrm{H}^+]$ е концентрацията на водородни йони (в mol/l). Каква е pH на разтвор с $[\mathrm{H}^+] = 0{,}001\ \mathrm{mol/l}$ ?

🔊 Децибели

Силата на звука в децибели е $L = 10 \cdot \lg \left(\frac{I}{I_0}\right)$ . С колко децибела се увеличава тя, ако интензитетът на звука нарасне 1000 пъти?

⭐ Звездни величини

В астрономията разлика от 5 звездни величини отговаря на 100 пъти разлика в яркостта. Колко пъти звезда от 1-ва величина е по-ярка от звезда от 6-та?

🏦 Удвояване на вложение

След колко години вложение при 7% годишна сложна лихва ще се удвои? (Решете $1{,}07^t = 2$ .)

🌋 Земетресения

По скалата на Рихтер всяка единица отговаря на 10 пъти по-голяма амплитуда на трептенията. Колко пъти е по-голяма амплитудата при земетресение 7 спрямо земетресение 5?

🔢 Колко цифри?

Колко цифри има числото $2^{100}$ ? ( $\lg 2 \approx 0{,}30103$ )

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

Логаритъм от сбор

✗ $\displaystyle \lg (2 + 5) = \lg 2 + \lg 5$

✓ $\displaystyle \lg 2 + \lg 5 = \lg (2 \cdot 5) = 1$

Логаритъм от произведение

✗ $\displaystyle \log (xy) = \log x \cdot \log y$

✓ $\displaystyle \log (xy) = \log x + \log y$

Квадрат на логаритъм

✗ $\displaystyle (\lg x)^2 = 2 \lg x$

✓ $\displaystyle \lg (x^2) = 2 \lg x$ , а $\displaystyle (\lg x)^2$ е друго

Частно на логаритми

✗ $\displaystyle \lg 8 / \lg 2 = \lg 4$

✓ $\displaystyle \lg 8 / \lg 2 = \log _2 8 = 3$

Логаритъм от неположително число

✗ $\displaystyle \lg (-10) = -1$

✓ не е дефиниран – трябва $\displaystyle b > 0$

Без проверка на допустимите стойности

✗ $\displaystyle \log _2(x - 1) + \log _2(x + 1) = 3 \Rightarrow x = \pm 3$

✓ $\displaystyle x = -3$ отпада ⇒ само $\displaystyle x = 3$

9. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

На колко е равно $\displaystyle \log _2 8$ ?

Избери отговор (или натисни 1–4)

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

✓ $\log _a b = c \iff a^c = b$ ( $a > 0,\ a \ne 1,\ b > 0$ )
✓ $\log (xy) = \log x + \log y$ ; $\log \left(\frac{x}{y}\right) = \log x - \log y$ ; $\log x^n = n \log x$
✓ Смяна на основата: $\log _a b = \lg b / \lg a$
✓ Свойствата на логаритмите са свойствата на степените, „прочетени отзад напред“
✓ lg – основа 10, ln – основа $e \approx 2{,}718$
✓ $y = \log _a x$ е обратна на $y = a^x$ ; графиките са симетрични спрямо $y = x$
✓ В уравненията проверяваме допустимите стойности
✓ Логаритмичните скали: pH, децибели, Рихтер, звездни величини

💡 Интересен факт

Логаритмичната линийка, изобретена малко след таблиците на Непер (около 1620–1630 г.), е била основният инструмент на инженерите повече от три века. С нея са проектирани мостове, самолети и ракети – включително по програмата „Аполо“. Изместват я джобните калкулатори едва през 70-те години на XX век.

1. Какво е логаритъм?

Логаритъм

📏 Логаритъмът е показател

2. Свойства на логаритмите

Основни свойства

📐 Логаритмична линийка

Пример

Пример

3. Десетичен и натурален логаритъм

4. Логаритмичната функция

Свойства на y=log⁡axy = \log _a xy=loga​x

5. Показателни и логаритмични уравнения

Пример

Пример

6. Тренажор

7. Логаритмите около нас

8. ⚠️ Чести грешки

9. 🎯 Бърз тест

На колко е равно log⁡28\displaystyle \log _2 8log2​8?

10. 📝 Задачи за упражнение

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

Свойства на $y = \log _a x$

На колко е равно $\displaystyle \log _2 8$ ?