Графики на функции

📈 Около 1350 г. френският учен и епископ Никола Орем има странна идея: да нарисува как се променя скоростта на тяло с времето. Хоризонтално нанася времето, вертикално – скоростта, и получава фигура, чието лице е изминатият път. Това е една от първите графики в историята – три века преди Декарт и координатната система. Днес графиките са навсякъде: температурата за седмицата, курсът на валутата, пулсът на кардиомонитора. Който умее да ги чете, вижда с един поглед това, което таблицата крие.

1. Какво е графика на функция?

Графика на функция

Графиката на функцията

y = f(x)

е множеството от всички точки

(x; f(x))

в координатната система, където

x

е от дефиниционната област. Дефиниционната област

D

са допустимите стойности на

x

(например под корен не може да има отрицателно число, а знаменател не може да е 0), а множеството от стойности са всички

y

, които функцията приема.

Как само с един поглед да разбереш дали дадена крива е графика на функция? Прекарай мислено вертикална линия и я плъзни отляво надясно. Ако някъде тя пресече кривата в две или повече точки, на едно $x$ съответстват няколко $y$ – значи това не е функция.

x =1

При x = 1: 2 точки – y = 2,83; −2,83

✗ Това НЕ е графика на функция.

💡 Плъзгай вертикалната права. Ако поне веднъж тя пресече кривата в две или повече точки, на едно x отговарят няколко y – кривата не е графика на функция.

Пример

Намери дефиниционната област на $y = \sqrt{x - 2}$ и на $y = \frac{1}{x + 3}$ .

Под корена: $x - 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$ , т.е. $D = [2;\ +\infty)$
Знаменателят: $x + 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne -3$ , т.е. $D = (-\infty ;\ -3) \cup (-3;\ +\infty)$

2. Четене на графика

От графиката се четат основните свойства на функцията:

Нули

абсцисите на точките, в които графиката пресича оста Ox ( $f(x) = 0$ )

Знак

$f(x) > 0$ там, където графиката е над оста Ox, и $f(x) < 0$ – под нея

Растене и намаляване

растяща – графиката „се изкачва“ отляво надясно; намаляваща – „слиза“

Най-голяма и най-малка стойност

най-високата и най-ниската точка на графиката

час10

в10:00T =3 °Cв моментазатопля се ↗

Нулите са моментите, в които T = 0 °C: около 8:18 и 23:42 – там графиката пресича оста.

💡 Графиката показва температурата през едно денонощие (x – часът, y – °C). Избери свойство и виж къде се вижда на графиката.

3. Основни функции

Тези шест графики са „азбуката“ – повечето функции, които ще срещнеш, се получават от тях с преместване, отразяване или разтягане. Струва си да ги разпознаваш от пръв поглед.

Линейна

y = x

D: ℝ · права през началото

Квадратна

y = x²

D: ℝ · парабола, симетрична спрямо Oy

Кубична

y = x³

D: ℝ · симетрична спрямо началото

Модул

y = |x|

D: ℝ · „V“ с връх в началото

Корен

y = √x

D: x ≥ 0 · съществува само за x ≥ 0

Хипербола

y = 1/x

D: x ≠ 0 · два клона, не пресича осите

4. Преместване и отразяване

$y = f(x) + k$

нагоре с $k$ (надолу при $k < 0$ )

$y = f(x - h)$

надясно с $h$ (наляво при $h < 0$ )

$y = -f(x)$

отразяване спрямо оста Ox

$y = f(-x)$

отразяване спрямо оста Oy

$y = a \cdot f(x)$

разтягане по вертикала (свиване при $|a| < 1$ )

$y = f(b \cdot x)$

свиване по хоризонтала $b$ пъти (разтягане при $|b| < 1$ )

Защо „ $x - h$ “ мести надясно?

Графиката на

y = f(x - h)

стига до дадена височина точно

h

единици по-късно от графиката на

f

: за да е

x - h = 0

, трябва

x = h

. Затова минусът в скобите мести графиката надясно, а плюсът – наляво. Промяната извън функцията (

+ k

) действа направо върху

y

и мести графиката нагоре или надолу.

y = (x − 2)² − 1

преместване надясно с 2 и надолу с 1

h2k−1

💡 Сивата пунктирна графика е изходната функция, синята – преобразуваната. Забележи: „x − h“ мести графиката надясно, макар че вътре има минус.

Пример

Как се получава графиката на $y = (x - 2)^2 - 3$ от графиката на $y = x^2$ ?

Изходната функция е $f(x) = x^2$ , а търсената е $f(x - 2) - 3$ .
„ $x - 2$ “ в скобите мести параболата надясно с 2.
„ $- 3$ “ накрая я мести надолу с 3.
Върхът отива от $(0; 0)$ в $(2; -3)$ , формата не се променя.

5. Разтягане, свиване и симетрия

Освен да местим графиката, можем да я разтягаме. Множител пред функцията действа върху $y$ , а множител пред $x$ – върху $x$ , но „наобратно“.

Четни и нечетни функции

Функцията

f

е четна, ако

f(-x) = f(x)

за всяко

x

от дефиниционната област – графиката ѝ е симетрична спрямо оста Oy (

x^2

|x|

\cos x

). Функцията е нечетна, ако

f(-x) = -f(x)

– графиката е симетрична спрямо началото (

x

x^3

\frac{1}{x}

\sin x

). Дефиниционната област трябва да е симетрична спрямо 0.

a2b1

y = 2 · sin(x)

разтягане 2 пъти по вертикала

y = sin x е нечетна – f(−x) = −f(x), графиката е симетрична спрямо началото

💡 Множителят пред функцията (a) действа по вертикала, а множителят пред x (b) – по хоризонтала, но „наобратно“: при b = 2 графиката се свива два пъти.

6. Графично решаване на уравнения

Решенията на уравнението $f(x) = g(x)$ са абсцисите на пресечните точки на двете графики. Понякога така се вижда отговорът, който алгебрично е трудно да намерим – а винаги се вижда колко са решенията.

Пример

Колко решения има уравнението $|x| = 2 - x^2$ ?

Чертаем $y = |x|$ („V“) и $y = 2 - x^2$ (парабола „шапка“ с връх $(0; 2)$ ).
Графиките се пресичат в две точки, симетрични спрямо Oy.
При $x \ge 0$ : $x = 2 - x^2 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$ . Симетрично: $x = -1$ .
Отговор: две решения, $x = \pm 1$ .

Начертай няколко функции едновременно и сравни графиките им. Опитай например с $x^2$ и $x + 2$ – пресечните точки са решенията на $x^2 = x + 2$ .

y =

Може: + − * / ^ ( ), sin, cos, tan, sqrt, abs, log, exp, pi

💡 Пиши формули в полетата или избери готова функция. Окото скрива графиката, без да я изтрива.

7. Тренажор

Премествания, разтягания, четни и нечетни функции и пресечни точки на графики. Дробните отговори въвеждай като 3/2.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

f(3) = 8

Функцията $f$ е нечетна. $f(-3) = ?$

8. ⚠️ Чести грешки

Посоката при $\displaystyle f(x - h)$

✗ $\displaystyle y = (x + 3)^2$ е преместена надясно с 3

✓ наляво с 3: $\displaystyle x + 3 = x - (-3)$

Множителят пред $\displaystyle x$

✗ $\displaystyle y = \sin (2x)$ е разтегната 2 пъти

✓ свита 2 пъти – периодът става два пъти по-къс

Забравена дефиниционна област

✗ $\displaystyle y = \sqrt{x - 1}$ е дефинирана за всяко $\displaystyle x$

✓ само за $\displaystyle x \ge 1$

„Всяка крива е функция“

✗ окръжността е графика на функция

✓ вертикалата я пресича в две точки – не е

9. 🎯 Бърз тест

1 / 7

✓ 0

Как се получава графиката на $\displaystyle y = x^2 + 3$ от графиката на $\displaystyle y = x^2$ ?

Избери отговор (или натисни 1–4)

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

✓ Графиката е множеството от точки (x; f(x)); вертикалата я пресича най-много в една точка
✓ : под корен $\ge 0$ , $\ne 0$
✓ От графиката четем нули, знак, растене/намаляване, най-голяма и най-малка стойност
✓ $f(x - h) + k$ – преместване; $-f(x),\ f(-x)$ – отразяване; $a\cdot f(x),\ f(bx)$ – разтягане и свиване
✓ Четна: $f(-x) = f(x)$ , симетрия спрямо Oy; нечетна: $f(-x) = -f(x)$ , симетрия спрямо началото
✓ Решенията на $f(x) = g(x)$ са абсцисите на пресечните точки на графиките

💡 Интересен факт

Една от най-известните графики в историята е картата на Шарл Жозеф Минар (1869 г.) за похода на Наполеон към Москва през 1812 г. Дебелината на лентата показва броя на войниците – от 422 000 при тръгването до около 10 000 при завръщането, а под нея е графиката на температурата при отстъплението, падаща до −30 градуса по скалата на Реомюр (около −37 °C). Само с една рисунка Минар разказва цялата трагедия – затова тя и днес се показва като пример за това колко силна може да бъде една графика.

Графики на функции

1. Какво е графика на функция?

Графика на функция

Пример

2. Четене на графика

3. Основни функции

4. Преместване и отразяване

Защо „x−hx - hx−h“ мести надясно?

Пример

5. Разтягане, свиване и симетрия

Четни и нечетни функции

6. Графично решаване на уравнения

Пример

7. Тренажор

8. ⚠️ Чести грешки

9. 🎯 Бърз тест

Как се получава графиката на y=x2+3\displaystyle y = x^2 + 3y=x2+3 от графиката на y=x2\displaystyle y = x^2y=x2?

10. 📝 Задачи за упражнение

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

Защо „ $x - h$ “ мести надясно?

Как се получава графиката на $\displaystyle y = x^2 + 3$ от графиката на $\displaystyle y = x^2$ ?