Четириъгълници

✏️ Нарисувай произволен четириъгълник – колкото искаш крив, дори вдлъбнат. Отбележи средите на четирите му страни и ги свържи. Получава се успоредник. Винаги! Тази изненадващо проста теорема е публикувана чак през 1731 г. от френския математик Пиер Вариньон – две хилядолетия след Евклид, който е могъл да я докаже само с няколко реда. Геометрията на четириъгълниците е пълна с такива скрити закономерности – ще откриеш някои от тях сам.

1. Четириъгълник и многоъгълник

🤔 Загадка: Квадратът правоъгълник ли е? А ромб ли е? Отговорът и на двата въпроса е „да“. Всеки квадрат отговаря на определението и за правоъгълник, и за ромб, затова има свойствата и на двете фигури.

Четириъгълник

Четириъгълник е фигура с четири върха и четири страни, като никои три от върховете не лежат на една права. Отсечките, които свързват несъседни върхове, се наричат диагонали – всеки четириъгълник има два диагонала.

Сбор на ъглите в многоъгълник

Сборът на вътрешните ъгли на всеки четириъгълник е 360°: диагоналът го разделя на два триъгълника. Изобщо, изпъкнал

n

-ъгълник се разделя от диагоналите от един връх на

n - 2

триъгълника, затова сборът на ъглите му е

(n - 2) \cdot 180^\circ

. Сборът на външните ъгли (по един при всеки връх) на всеки изпъкнал многоъгълник е 360°.

Доказателство за външните ъгли

При всеки връх вътрешният и външният ъгъл са съседни: сборът им е $180^\circ$ . За $n$ върха това прави $n \cdot 180^\circ$ .
От тях сборът на вътрешните ъгли е $(n - 2) \cdot 180^\circ$ , следователно за външните остават $n \cdot 180^\circ - (n - 2) \cdot 180^\circ$ $= 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$
Резултатът не зависи от $n$ . Нагледно: ако обиколим многоъгълника, при всеки връх завиваме на външния ъгъл, а накрая сме направили точно едно пълно завъртане.

∎

Пример

Колко е всеки ъгъл на правилен осмоъгълник (знакът STOP)?

Сбор на ъглите: $(8 - 2) \cdot 180^\circ = 1080^\circ$
Всички ъгли са равни: $1080^\circ : 8 = 135^\circ$
Проверка с външните ъгли: $360^\circ : 8 = 45^\circ$ и $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ ✓

2. Родословно дърво на четириъгълниците

Специалните четириъгълници са „роднини“. Всяка фигура долу е частен случай на тази над нея и наследява всичките ѝ свойства, като добавя и нови.

Провери дали разпознаваш фигурите – детективът ще ти каже какво си направил:

🔎 Това е: четириъгълник

успоредни двойки страни: 0 · прави ъгли: 0 · различни дължини на страните: 4

Задача: успоредник, който не е правоъгълник.

💡 Влачи върховете по мрежата. Детективът разпознава фигурата по страните, ъглите и успоредните страни. Изпълни предизвикателствата!

3. Видове четириъгълници

Плъзгай върховете на всяка фигура и наблюдавай кои свойства се запазват.

Успоредник

Успоредник е четириъгълник, на който двете двойки срещуположни страни са успоредни.

Свойства

срещуположните страни са равни
срещуположните ъгли са равни
сборът на всеки два съседни ъгъла е 180°
диагоналите се разполовяват взаимно

Формули

P = 2(a + b)
S = a · hₐ

a =11b =7,6h =7

S = a · h = 11 · 7 = 77

P = 2(a + b) = 2(11 + 7,6) = 37,2

💡 Влачи върховете. Срещуположните страни остават успоредни, а диагоналите винаги се разполовяват.

Правоъгълник

Правоъгълник е успоредник с прав ъгъл. Тогава и четирите му ъгъла са прави.

Свойства

има всички свойства на успоредника
диагоналите са равни

Формули

P = 2(a + b)
S = a · b
d = √(a² + b²)

a =12b =7AC = BD =13,89

S = a · b = 12 · 7 = 84

P = 2(a + b) = 2(12 + 7) = 38

💡 Влачи който и да е връх – ъглите остават прави, а диагоналите винаги са равни.

Ромб

Ромб е успоредник, на който всички страни са равни.

Свойства

има всички свойства на успоредника
диагоналите са взаимно перпендикулярни
диагоналите са ъглополовящи на ъглите му

Формули

P = 4a
S = a · h
S = d₁ · d₂ / 2

d₁ = AC =10d₂ = BD =12a ≈7,81

S = d₁ · d₂ / 2 = 10 · 12 / 2 = 60

a = √((d₁/2)² + (d₂/2)²) ≈ 7,81

💡 Влачи върховете, за да промениш диагоналите. Те винаги са перпендикулярни и се разполовяват.

Квадрат

Квадрат е правоъгълник, на който всички страни са равни. Той е едновременно правоъгълник и ромб.

Свойства

има всички свойства на правоъгълника и на ромба
диагоналите са равни, перпендикулярни и се разполовяват

Формули

P = 4a
S = a²
d = a√2

a =8d = a√2 ≈11,31

S = a² = 8² = 64

P = 4a = 4 · 8 = 32

💡 Влачи връх, за да промениш размера. Диагоналите са равни, перпендикулярни и се разполовяват.

Трапец

Трапец е четириъгълник, на който точно две страни са успоредни. Те се наричат основи, а другите две – бедра.

Свойства

средната основа е успоредна на основите и е равна на полусбора им
сборът на ъглите при всяко бедро е 180°
при равнобедрен трапец ъглите при основата и диагоналите са равни

Формули

P = a + b + c + d
m = (a + c) / 2
S = (a + c) / 2 · h = m · h

a =16c =7h =8m =11,5

m = (a + c) / 2 = (16 + 7) / 2 = 11,5

S = m · h = 11,5 · 8 = 92

💡 Влачи върховете. Основите AB и CD остават успоредни. Средната основа m свързва средите на бедрата.

Доказателство на свойствата на успоредника, правоъгълника и ромба

Съседни ъгли: $AB \parallel CD$ и $AD$ е секуща, затова $\angle A + \angle D = 180^\circ$ (прилежащи ъгли). Оттук и срещуположните ъгли са равни: $\angle A = 180^\circ - \angle D = \angle C$ .
Срещуположни страни: диагоналът $AC$ дели успоредника на триъгълници $ABC$ и $CDA$ . Те имат обща страна $AC$ , а $\angle BAC = \angle DCA$ и $\angle BCA = \angle DAC$ като кръстни ъгли при успоредни прави. По ЪСЪ са еднакви, затова $AB = CD$ и $BC = DA$ .
Диагоналите: нека $O$ е пресечната им точка. Триъгълниците $ABO$ и $CDO$ са еднакви по ЪСЪ ( $AB = CD$ и кръстните ъгли при $A$ , $C$ и при $B$ , $D$ ). Значи $AO = CO$ и $BO = DO$ .
Правоъгълник: триъгълниците $ABD$ и $BAC$ имат обща страна $AB$ , $AD = BC$ и прави ъгли при $A$ и $B$ . По СЪС са еднакви, затова $BD = AC$ .
Ромб: в триъгълника $ABD$ имаме $AB = AD$ , а $AO$ е медиана (диагоналите се разполовяват). В равнобедрен триъгълник медианата към основата е и височина, и ъглополовяща – затова $AC \perp BD$ и $AC$ разполовява ъгъла $A$ .

∎

4. Сравнение на свойствата

Свойство	Успоредник	Правоъгълник	Ромб	Квадрат	Трапец
Срещуположните страни са успоредни	✓	✓	✓	✓	–
Всички страни са равни	–	–	✓	✓	–
Всички ъгли са прави	–	✓	–	✓	–
Диагоналите се разполовяват	✓	✓	✓	✓	–
Диагоналите са равни	–	✓	–	✓	–
Диагоналите са перпендикулярни	–	–	✓	✓	–

При равнобедрения трапец диагоналите също са равни.

5. Откъде идват формулите за лице?

Всички формули за лице на четириъгълници произлизат от една-единствена: лицето на правоъгълника е $a \cdot b$ . Останалото е въпрос на умело рязане и преместване.

ход0

S = a · h = 10 · 6 = 60

Отрязваме триъгълника отляво и го местим надясно – получава се правоъгълник със същата основа и височина. Лицето не се променя!

💡 Плъзни, за да разрежеш и преместиш частите. Лицето на фигура не се променя, когато я разрежем и сглобим по друг начин.

Пример

Диагоналите на ромб са 6 cm и 8 cm. Намери лицето, страната и периметъра му.

Лице: $S = d_1 \cdot d_2 / 2 = 6 \cdot 8 / 2 = 24\ \mathrm{cm}^2$
Диагоналите се разполовяват под прав ъгъл и образуват 4 правоъгълни триъгълника с катети 3 cm и 4 cm.
Страна (по Питагоровата теорема): $a = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{cm}$
Периметър: $P = 4a = 20\ \mathrm{cm}$

Пример

Трапец има основи 10 cm и 6 cm и височина 4 cm. Намери средната основа и лицето.

Средна основа: $m = \frac{10 + 6}{2} = 8\ \mathrm{cm}$
Лице: $S = m \cdot h = 8 \cdot 4 = 32\ \mathrm{cm}^2$

6. Теоремата на Вариньон

Теорема на Вариньон

Средите на страните на всеки четириъгълник са върхове на успоредник. Страните му са успоредни на диагоналите на четириъгълника и са равни на половината от тях, а лицето му е половината от лицето на четириъгълника.

Защо? В триъгълника $ABC$ отсечката, която свързва средите на $AB$ и $BC$ , е средна отсечка – успоредна на $AC$ и равна на $\frac{AC}{2}$ . Същото важи за средите на $CD$ и $DA$ в триъгълника $ACD$ . Значи две срещуположни страни на $MNPQ$ са успоредни и равни – това е успоредник.

S(ABCD) =124S(MNPQ) =62S(MNPQ) : S(ABCD) =0,5AC =17,9BD =14,2

MNPQ е успоредник. Страните му са успоредни на диагоналите и са половината от тях.

💡 Влачи върховете – дори да направиш вдлъбнат четириъгълник. Средите на страните винаги образуват успоредник.

Защо лицето е половината?

Нека $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ са средите на $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ . Успоредникът $MNPQ$ се получава, като от $ABCD$ отрежем четири ъглови триъгълника.
Триъгълникът $AMQ$ е подобен на $ABD$ с коефициент $\frac{1}{2}$ ( $MQ$ е средна отсечка), затова лицето му е $\frac{1}{4}S_{ABD}$ . Аналогично $S_{CNP} = \frac{1}{4}S_{CBD}$ .
Двата триъгълника заедно отрязват $\frac{1}{4}(S_{ABD} + S_{CBD}) = \frac{1}{4}S$ , защото диагоналът $BD$ дели четириъгълника на $ABD$ и $CBD$ . По същия начин $BMN$ и $DPQ$ отрязват още $\frac{1}{4}S$ – чрез диагонала $AC$ .
Остава $S - \frac{1}{4}S - \frac{1}{4}S = \frac{1}{2}S$ . (Разсъждението е за изпъкнал четириъгълник.)

∎

7. Тренажор

Ъгли, страни и лица на четириъгълници – пресметни и провери. Дробните отговори въвеждай като 3/2 или 7,5.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

\angle A = 45^\circ

Успоредник $ABCD$ : $\angle B = ?$ (в градуси)

8. ⚠️ Чести грешки

Лице на успоредник със страните

✗ $\displaystyle S = a \cdot b$

✓ $\displaystyle S = a \cdot h_a$ – трябва височината, а не другата страна

Забравено делене на 2 при ромба

✗ $\displaystyle S = d_1 \cdot d_2$

✓ $\displaystyle S = d_1 \cdot d_2 / 2$

„Квадратът не е правоъгълник“

✗ квадратът е отделна фигура

✓ квадратът е и правоъгълник, и ромб

Смесване на мерните единици

✗ $\displaystyle P = 12\ \mathrm{cm}^2$

✓ периметърът е в $\displaystyle \mathrm{cm}$ , лицето – в $\displaystyle \mathrm{cm}^2$

Равни диагонали ⇒ правоъгълник

✗ диагоналите са равни, значи е правоъгълник

✓ и равнобедреният трапец има равни диагонали

Сбор на ъглите на $\displaystyle n$ -ъгълник

✗ шестоъгълник: $\displaystyle 6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ$

✓ $\displaystyle (6 - 2) \cdot 180^\circ = 720^\circ$

9. Задачи от живота

0 / 5

🎨 Боядисване

Стена е $5\ \mathrm{m} \times 3\ \mathrm{m}$ и има прозорец $1\ \mathrm{m} \times 1{,}5\ \mathrm{m}$ . Една кутия боя стига за $10\ \mathrm{m}^2$ . Колко кутии са нужни?

🧱 Плочки

Под на баня е $3\ \mathrm{m} \times 4\ \mathrm{m}$ . Колко квадратни плочки със страна $50\ \mathrm{cm}$ са нужни, за да се покрие?

🌷 Лехата

Леха има форма на трапец с основи 8 m и 5 m и височина 4 m. Колко е лицето ѝ?

🪁 Хвърчилото

Хвърчило има форма на делтоид с диагонали 60 cm и 40 cm. Колко квадратни сантиметра плат е нужен за него?

🌾 Нивата

Нива има форма на успоредник с основа $50\ \mathrm{m}$ и височина към нея $30\ \mathrm{m}$ . За $100\ \mathrm{m}^2$ са нужни $1\ \mathrm{kg}$ семена. Колко килограма семена трябват?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

10. 🎯 Бърз тест

1 / 8

✓ 0

Колко е сборът на вътрешните ъгли на всеки четириъгълник?

Избери отговор (или натисни 1–4)

11. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

✓ Сбор на ъглите: четириъгълник 360°, $n$ -ъгълник $(n - 2) \cdot 180^\circ$ ; – 360°
✓ Успоредник ⊃ правоъгълник, ромб ⊃ квадрат; трапец – точно една двойка успоредни страни
✓ Успоредник: $S = a \cdot h_a$ ; ромб/делтоид: $S = \frac{d_1d_2}{2}$ ; трапец: $S = \frac{a + c}{2} \cdot h$
✓ Формулите идват от правоъгълника чрез разрязване и преместване
✓ Вариньон: средите на страните на всеки четириъгълник образуват успоредник с половин лице
✓ Свойствата на успоредника се доказват с диагонал, който го дели на два еднакви триъгълника (ЪСЪ)

💡 Интересен факт

Листът A4 е правоъгълник с отношение на страните $1 : \sqrt{2}$ . Това отношение е избрано нарочно: когато разрежеш листа на две, получаваш два по-малки правоъгълника със същата форма. Най-големият формат A0 има лице точно $1\ \mathrm{m}^2$ . От него чрез разполовяване се получават A1, A2, A3 и A4 ( $210 \times 297\ \mathrm{mm}$ ).