Линейни функции

🔭 През 1929 г. Едуин Хъбъл нанася на графика 24 галактики: хоризонтално – разстоянието до тях, вертикално – скоростта, с която се отдалечават. Точките, макар и разпръснати, лягат около една права през началото: $v = H_0 \cdot d$ . Колкото по-далеч е галактиката, толкова по-бързо бяга. Тази проста линейна функция показа, че Вселената се разширява (виж урока „Разширяване на Вселената“ по астрономия). Ще видиш, че линейните функции са навсякъде – в таксито, в сметката за телефон, в пружината и в свещта.

1. Функция и линейна функция

🤔 Загадка: Такси взема 1,20 € при качване и 0,80 € на километър. Ако начертаеш цената спрямо изминатия път, всички точки ще легнат на една права. Защо точно права? Защото всеки следващ километър добавя една и съща сума – цената расте с постоянна скорост. Точно това е линейната функция.

Функция

Функция е правило, което на всяко допустимо число

x

съпоставя точно едно число

y

. Пишем

y = f(x)

и казваме, че

y

е функция на

x

. Множеството от допустимите стойности на

x

е дефиниционната област, а графиката на функцията е множеството от всички точки

(x; f(x))

в координатната система.

Линейна функция

Функцията

y = ax + b

, където

a

b

са дадени числа, се нарича линейна. Дефиниционната ѝ област са всички реални числа, а графиката ѝ е права. Числото

a

е ъгловият коефициент (наклон), а

b

показва къде правата пресича оста Oy.

Δx =4Δy =6a = Δy/Δx =3/2b =2

f(x) = 1,5x + 2

↗ a > 0 – функцията е растяща

💡 Влачи точките A и B. Правата през тях е графиката на функцията. Наклонът a показва с колко се променя y, когато x нарасне с 1.

2. Наклон: какво показва $a$

Ако $x$ нарасне с $\Delta x$ , стойността $y = ax + b$ нараства с $\Delta y = a \cdot \Delta x$ . Затова наклонът е отношението $a = \Delta y / \Delta x$ и може да се намери от всеки две точки на правата. Например при $a = 2$ всяка стъпка надясно с 1 вдига правата с 2, а при $a = -\tfrac{1}{2}$ всяка стъпка надясно я сваля с половин деление.

Растяща

$a > 0$

когато $x$ расте, $y$ също расте – правата „се изкачва“ отляво надясно

Намаляваща

$a < 0$

когато $x$ расте, $y$ намалява – правата „слиза“ отляво надясно

Константна

$a = 0$

$y = b$ за всяко $x$ – правата е успоредна на оста Ox

Колкото по-голямо е $|a|$ , толкова по-стръмна е правата. Ако $\alpha$ е ъгълът, който правата сключва с положителната посока на Ox, то $a = \tg \alpha$ .

Пример

Намери уравнението на правата през точките A(1; 3) и B(4; 9).

Наклон: $a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$
$y = 2x + b$ ; точката $A$ е на правата: $3 = 2 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 1$
Отговор: $y = 2x + 1$ . Проверка с $B$ : $2 \cdot 4 + 1 = 9$ ✓

3. Пресечни точки с осите и графика

с оста Oy ( $x = 0$ ): точката $(0; b)$

с оста Ox ( $y = 0$ ): $ax + b = 0 \Rightarrow$ точката $\left(-\frac{b}{a}; 0\right)$ , $a \ne 0$

Числото $x_0 = -\frac{b}{a}$ , за което $f(x_0) = 0$ , се нарича нула (корен) на функцията. Намирането на нулата е същото като решаването на $ax + b = 0$ .

Пример

Намери пресечните точки на правата $y = 2x - 4$ с координатните оси.

С Oy: $x = 0 \Rightarrow y = 2 \cdot 0 - 4 = -4$ . Точката е $(0; -4)$ .
С Ox: $y = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ . Точката е $(2; 0)$ .
Двете точки са достатъчни, за да начертаем правата.

През две точки минава точно една права, затова е достатъчно да пресметнем стойностите на функцията за две стойности на $x$ . Трета точка е добра проверка – ако не легне на правата, някъде има грешка в сметките.

x	−3	−1	0	1	2
y	−5	−1	1	3	5

💡 Попълни таблицата стъпка по стъпка – всяка двойка (x; y) е точка от графиката. Когато точките са достатъчно, ги свързваме с плавна линия.

4. Взаимно положение на две прави

Две прави $y = a_1x + b_1$ и $y = a_2x + b_2$ се сравняват по наклоните си. Еднакъв наклон означава еднаква посока, т.е. правите са успоредни или съвпадат.

Пресичат се

$a_1 \ne a_2$

имат точно една обща точка

Успоредни

$a_1 = a_2,\ b_1 \ne b_2$

нямат обща точка

Съвпадат

$a_1 = a_2,\ b_1 = b_2$

това е една и съща права

Перпендикулярни

$a_1 \cdot a_2 = -1$

пресичат се под прав ъгъл

Пресечна точка на две прави

Координатите на общата точка на две прави са решението на системата от двете уравнения. Приравняваме

a_1x + b_1 = a_2x + b_2

, намираме

x

и после

y

y = 0,5x + 1 · y = −x + 2

a₁ ≠ a₂ – правите се пресичат в точката (0,67; 1,33)

a₂−1b₂2

💡 Променяй a₂ и b₂ и наблюдавай кога правите се пресичат, кога са успоредни и кога съвпадат.

Пример

Намери пресечната точка на правите $y = x + 1$ и $y = -2x + 7$ .

$x + 1 = -2x + 7$
$3x = 6 \Rightarrow x = 2$
$y = 2 + 1 = 3$
Пресечната точка е $(2; 3)$ .

Пресечната точка често е отговорът на житейски въпрос: от колко минути нататък един план е по-изгоден от друг?

📱 Кой абонаментен план е най-изгоден?

Всеки план е линейна функция: цена = месечна такса + цена на минута · минути. Пресечните точки на правите показват кога два плана струват еднакво.

Говоря по 80 минути на месец

А „Базов“ ✓

y = 5,00 + 0,10x

13,00 € за 80 мин

такса 5,00 €минута 0,10 €

Б „Без такса“

y = 0,00 + 0,20x

16,00 € за 80 мин

такса 0,00 €минута 0,20 €

В „Неограничен“

y = 20,00 + 0,00x

20,00 € за 80 мин

такса 20,00 €минута 0,00 €

Цветната лента под оста показва кой план е най-евтин при всеки брой минути. Двата плана струват еднакво, когато таксите и минутите „се изравнят“: например 5 + 0,1x = 0,2x ⇒ x = 50 минути.

5. Права и обратна пропорционалност

Права пропорционалност

Величините

y

x

са правопропорционални, ако

y = kx

(

k \ne 0

). Графиката е права през началото на координатната система. Ако

x

се увеличи

n

пъти, и

y

се увеличава

n

пъти; отношението

\frac{y}{x} = k

е постоянно.

Цената на плодове по 3 € за килограм ( $y = 3x$ ) е такава функция, а цената на такси с начална такса – не е, защото при $x = 0$ вече плащаш. Линейната функция $y = ax + b$ е пропорционалност само при $b = 0$ .

Обратна пропорционалност

Величините

y

x

са обратно пропорционални, ако

y = \frac{k}{x}

(

k \ne 0

x \ne 0

), т.е. произведението

x \cdot y = k

е постоянно. Ако

x

се увеличи

n

пъти,

y

намалява

n

пъти. Графиката не е права, а крива – хипербола.

x3k12

y = k / x = 12 / 3 = 4

x · y =12x : 3 =1y : 4 =1

Мести x и сравни как се променя y.

💡 Лицето на правоъгълника е винаги k. Мести широчината x – височината се променя така, че x · y да остане същото. Горният десен ъгъл описва хипербола.

Пример

Път от 120 km може да се измине с различни скорости. Как зависи времето от скоростта?

$t = 120 / v$ – времето е обратно пропорционално на скоростта
$v = 40\ \mathrm{km/h} \Rightarrow t = 3\ \mathrm{h}$ ; $v = 60\ \mathrm{km/h} \Rightarrow t = 2\ \mathrm{h}$ ; $v = 120\ \mathrm{km/h} \Rightarrow t = 1\ \mathrm{h}$
Скоростта се удвои (от 60 на 120) – времето намаля наполовина

6. Линейни модели: от данни към формула

Истинските измервания никога не лежат точно на права – винаги има малки грешки. Учените търсят правата, която минава „най-близо“ до всички точки, и после я използват за прогнози. Опитай се ти!

Окачваме тежести на пружина. Законът на Хук казва, че удължението е пропорционално на силата: L = L₀ + k · m.

a0,3b4

y = 0,3x + 4

средна грешка1,3най-добрата възможна0,19

Топло… промени наклона или началото.

💡 Мести a и b, докато правата мине възможно най-близо до всички точки. Пунктирните отсечки показват грешката за всяка точка.

7. Тренажор

Пресметни стойност, наклон, нула или пресечна точка на прави. Дробните отговори въвеждай като 3/2.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

f(x) = -5x + 5

Нулата на функцията: $x = ?$

8. ⚠️ Чести грешки

Наклон „наобратно“

✗ $\displaystyle a = \Delta x / \Delta y$

✓ $\displaystyle a = \Delta y / \Delta x$ – промяната на $\displaystyle y$ върху промяната на $\displaystyle x$

Объркани пресечни точки

✗ $\displaystyle y = 3x - 6$ пресича Ox в $\displaystyle (0; -6)$

✓ $\displaystyle (0; -6)$ е на оста Oy; с Ox: $\displaystyle 3x - 6 = 0 \Rightarrow (2; 0)$

Знакът на $\displaystyle b$

✗ $\displaystyle y = 2x - 3$ пресича Oy в $\displaystyle (0; 3)$

✓ пресича Oy в $\displaystyle (0; -3)$

Вертикалната права

✗ $\displaystyle x = 2$ е линейна функция

✓ $\displaystyle x = 2$ не е функция – на $\displaystyle x = 2$ съответстват безброй стойности на $\displaystyle y$

Всяка линейна функция е пропорционалност

✗ $\displaystyle y = 2x + 3$ е права пропорционалност

✓ само при $\displaystyle b = 0$ ; тук $\displaystyle \frac{y}{x}$ не е постоянно

„Колкото повече, толкова по-малко“ значи обратна пропорционалност

✗ $\displaystyle y = 10 - x$ е обратна пропорционалност

✓ обратна е само ако $\displaystyle x \cdot y$ е постоянно

9. Задачи от живота

0 / 5

🚕 Такси

Таксито взема 1,20 € при качване и по 0,80 € за всеки километър. Колко ще платиш за 15 km?

🌡️ Градуси по Фаренхайт

Връзката между градуси по Целзий и по Фаренхайт е $F = 1{,}8C + 32$ . Колко °F е стайната температура 20 °C? А при колко °C водата замръзва, ако е 32 °F?

🕯️ Свещта

Свещ е висока 24 cm и изгаря с 3 cm на час. Запиши височината ѝ $h$ като функция на времето $t$ . След колко часа ще изгори?

💧 Басейнът

В басейн вече има 200 литра вода, а помпата добавя по 30 литра в минута. След колко минути водата ще е 1100 литра?

👷 Работниците

6 работници боядисват ограда за 10 дни. За колко дни ще я боядисат 4 работници, ако работят със същото темпо?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

10. 🎯 Бърз тест

1 / 8

✓ 0

Ако $\displaystyle f(x) = 2x + 1$ , колко е $\displaystyle f(3)$ ?

Избери отговор (или натисни 1–4)

11. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

✓ Функция: на всяко $x$ – точно едно $y$ ; линейна: $y = ax + b$ , графиката е права
✓ Наклон $a = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ : $a > 0$ – растяща, $a < 0$ – намаляваща, $a = 0$ – константна
✓ Пресечни точки: $(0; b)$ с Oy и $\left(-\frac{b}{a}; 0\right)$ с Ox
✓ Успоредни: $a_1 = a_2$ ; перпендикулярни: $a_1 \cdot a_2 = -1$ ; пресечна точка – от системата
✓ Права пропорционалност: $y = kx$ ; обратна: $y = \frac{k}{x}$ , $x \cdot y = \mathrm{const}$ ()
✓ Линейните модели описват данни и позволяват прогнози

💡 Интересен факт

Идеята да описваме точките с двойка числа и да рисуваме уравненията като линии е на Рене Декарт (1637 г.). Според легендата му хрумнала, докато лежал болен и гледал как муха пълзи по тавана: положението ѝ можело да се опише с разстоянията до двете стени. Затова и днес казваме „декартова координатна система“.

Линейни функции

1. Функция и линейна функция

Функция

Линейна функция

2. Наклон: какво показва aaa

Пример

3. Пресечни точки с осите и графика

Пример

4. Взаимно положение на две прави

Пресечна точка на две прави

Пример

📱 Кой абонаментен план е най-изгоден?

5. Права и обратна пропорционалност

Права пропорционалност

Обратна пропорционалност

Пример

6. Линейни модели: от данни към формула

7. Тренажор

8. ⚠️ Чести грешки

9. Задачи от живота

10. 🎯 Бърз тест

Ако f(x)=2x+1\displaystyle f(x) = 2x + 1f(x)=2x+1, колко е f(3)\displaystyle f(3)f(3)?

11. 📝 Задачи за упражнение

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

2. Наклон: какво показва $a$

Ако $\displaystyle f(x) = 2x + 1$ , колко е $\displaystyle f(3)$ ?