Интеграли

1. Лицето под крива

🤔 Загадка: Лицето на правоъгълник е дължина по ширина, на триъгълник – половината от основата по височината. А колко е лицето под параболата $y = x^2$ от 0 до 2? Тя е крива и никоя от познатите формули не става.

Идеята е да разделим интервала $[a;\ b]$ на $n$ тесни ивици с ширина $\Delta x = \frac{b - a}{n}$ и всяка да заменим с правоъгълник с височина стойността на функцията в някоя точка $x_i$ от ивицата. Сборът $f(x_1)\Delta x + f(x_2)\Delta x + \ldots + f(x_n)\Delta x$ (сума на Риман) е приближение на лицето – толкова по-добро, колкото по-тесни са ивиците.

n4

сбор =1,75точно =8/3 ≈ 2,667грешка0,917

Ширина на всеки правоъгълник: Δx = 0,5

💡 Увеличавай броя на правоъгълниците n. Сборът от лицата им се приближава до точното лице под кривата – това е определеният интеграл.

2. Определен интеграл

О

Определен интеграл

Границата на сумите на Риман при

n \to \infty

(ширината на ивиците клони към 0) се нарича определен интеграл на

f

от

a

до

b

:

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x

. За непрекъсната функция тази граница съществува и не зависи от това как избираме точките

x_i

.

Когато $f(x) \ge 0$ , интегралът е лицето под графиката. Записът е взет директно от сумата: $\sum$ става $\int$ , а $\Delta x$ – $dx$ , „безкрайно тясна“ ивица.

Пресмятане по определение: лицето под

y = x^2

от 0 до 2

Делим $[0;\ 2]$ на $n$ ивици с ширина $\Delta x = \frac{2}{n}$ и вземаме десните краища $x_i = \frac{2i}{n}$ . Сумата на Риман е $\sum_{i=1}^{n} \left(\frac{2i}{n}\right)^2 \cdot \frac{2}{n} = \frac{8}{n^3}\left(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2\right)$
Сборът на квадратите е $1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ (доказва се по индукция). Тогава сумата е $\frac{8}{n^3} \cdot \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ $= \frac{4}{3}\left(1 + \frac{1}{n}\right)\left(2 + \frac{1}{n}\right)$
При $n \to \infty$ дробите $\frac{1}{n}$ клонят към 0 и сумата клони към $\frac{4}{3} \cdot 1 \cdot 2 = \frac{8}{3}$ . Това е отговорът на загадката – но пресмятането е трудоемко. В т. 4 ще го получим за един ред.

∎

Т

Свойства

\int_a^b (f + g)\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_a^b g\,dx

;

\int_a^b c f\,dx = c\int_a^b f\,dx

;

\int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx = \int_a^c f\,dx

;

\int_a^a f\,dx = 0

;

\int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx

.

Доказателство на свойствата

Всяко свойство е вярно за сумите на Риман, а значи и за границите им. Сумата за $f + g$ е $\sum (f(x_i) + g(x_i))\Delta x = \sum f(x_i)\Delta x + \sum g(x_i)\Delta x$ , а константата $c$ се изнася пред сумата.
Адитивност: ако разделим $[a;\ c]$ така, че $b$ да е граница между ивици, сумата за $[a;\ c]$ е сбор от сумите за $[a;\ b]$ и $[b;\ c]$ – лицето на две долепени фигури е сборът от лицата им.
При $a = b$ ширината $\Delta x = \frac{b - a}{n}$ е 0, затова всяка сума е 0. При обърнати граници $\Delta x = \frac{a - b}{n}$ сменя знака си и интегралът също.

∎

3. Примитивна функция

О

Примитивна функция и неопределен интеграл

Функцията

F

е примитивна на

f

, ако

F'(x) = f(x)

. Например

x^2

е примитивна на

2x

– но такива са и

x^2 + 1

,

x^2 - 7

… Всички примитивни се различават с константа и ги записваме като неопределен интеграл:

\int f(x)\,dx = F(x) + C

.

Интегрирането е обратно на диференцирането, затова таблицата се получава, като прочетем наобратно таблицата на производните (виж Производни). Всеки резултат можем да проверим, като го диференцираме.

функция	неопределен интеграл
$x^n\ (n \ne -1)$	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\frac{1}{x}$	$\ln \|x\| + C$
$e^x$	$e^x + C$
$a^x$	$\frac{a^x}{\ln a} + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\frac{1}{\cos^2 x}$	$\tg x + C$

Защо всички примитивни се различават с константа?

Ако $F$ е примитивна, то $(F + C)' = F' + 0 = f$ – значи и $F + C$ е примитивна.
Обратно, ако $F$ и $G$ са примитивни на $f$ в интервал, то $(G - F)' = f - f = 0$ . Функция с нулева производна в интервал е константа (следствие от теоремата на Лагранж, виж урока „Производни“), затова $G = F + C$ .
Пример – $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x| + C$ : при $x > 0$ това е $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ , а при $x < 0$ по верижното правило $(\ln(-x))' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$ .

∎

Пример

Да намерим $\int (6x^2 - 4x + 3)\,dx$ .

Интегрираме всяко събираемо: $\int 6x^2\,dx = 2x^3$ , $\int 4x\,dx = 2x^2$ , $\int 3\,dx = 3x$
$\int (6x^2 - 4x + 3)\,dx = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C$
Проверка: $(2x^3 - 2x^2 + 3x + C)' = 6x^2 - 4x + 3$ ✓

4. Формула на Нютон–Лайбниц

Да означим с $A(x)$ лицето под $f$ от фиксирана точка до $x$ . Когато преместим $x$ с малко $h$ , лицето нараства с ивица, почти правоъгълник с височина $f(x)$ : $A(x + h) - A(x) \approx f(x) \cdot h$ . Делим на $h$ и при $h \to 0$ получаваме $A'(x) = f(x)$ – лицето е примитивна функция!

f(t) = t − 1

A(x) = x²/2 − x

x1,5

A(1,5) = −0,38 · f(1,5) = 0,5

f(x) > 0: добавяме лице над оста – A(x) расте със скорост f(x).

💡 A(x) е лицето под f от 0 до x (под оста – с минус). Жълтата отсечка е височината f(x) – с нея лицето расте при всяка малка стъпка. Затова A′(x) = f(x).

Т

Основна теорема на анализа

Ако

f

е непрекъсната в

[a;\ b]

и

F

е нейна примитивна, то

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

. Записваме кратко

\left[F(x)\right]_a^b

.

Доказателство на основната теорема

Нека $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ . По адитивността $A(x + h) - A(x) = \int_x^{x + h} f(t)\,dt$ – това е ивицата с ширина $h$ (нека $h > 0$ ).
Ако $m$ и $M$ са най-малката и най-голямата стойност на $f$ в $[x;\ x + h]$ , ивицата е между правоъгълници с височини $m$ и $M$ : $m \cdot h \le A(x + h) - A(x) \le M \cdot h$
Делим на $h$ : $m \le \frac{A(x + h) - A(x)}{h} \le M$ . Понеже $f$ е непрекъсната, при $h \to 0$ и $m$ , и $M$ клонят към $f(x)$ . По теоремата за двамата полицаи $A'(x) = f(x)$ – лицето е примитивна функция на $f$ .
Значи $A$ и $F$ са примитивни на една и съща функция и $A(x) = F(x) + C$ . При $x = a$ имаме $A(a) = 0$ , откъдето $C = -F(a)$ .
При $x = b$ : $\int_a^b f(x)\,dx = A(b) = F(b) - F(a)$ .

∎

Пример

Да пресметнем лицето под $y = x^2$ от 0 до 2 – отговора на загадката.

Примитивна: $F(x) = \frac{x^3}{3}$
$\int_0^2 x^2\,dx = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$
Точно към това число клонят сумите в първата лаборатория.

Пример

Да пресметнем $\int_0^{\pi} \sin x\,dx$ .

$\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \left[-\cos x\right]_0^{\pi}$
$= -\cos \pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$
Една „арка“ на синусоидата има лице точно 2.

5. Лица на фигури

Интегралът брои лицето под оста $Ox$ с минус. Затова, за да намерим лицето на фигура, разделяме интервала там, където функцията сменя знака, и събираме абсолютните стойности. Лицето между две криви, при $f(x) \ge g(x)$ , е $\int_a^b \left(f(x) - g(x)\right) dx$ .

Защо лицето между криви е

\int (f - g)\,dx

?

Ако и двете криви са над оста $Ox$ , фигурата между тях е лицето под $f$ минус лицето под $g$ : $\int_a^b f\,dx - \int_a^b g\,dx = \int_a^b (f - g)\,dx$ .
Ако някоя крива слиза под оста, преместваме двете нагоре с едно и също число $c$ , така че да са над оста. Фигурата между тях само се премества, а разликата $(f + c) - (g + c) = f - g$ не се променя – значи формулата е вярна винаги, щом $f \ge g$ .

∎

a−1,5b1,5

над оста2,109под оста2,109∫ₐᵇ f(x) dx =0лице =4,219

Двете части се изваждат: интегралът е по-малък от лицето на фигурата.

💡 Премести границите a и b. Зелената част се брои с плюс, червената – с минус. Интегралът може да е нула, а фигурата пак да има лице.

Пример

Да намерим лицето между $y = x$ и $y = x^2$ .

Пресечни точки: $x = x^2 \Rightarrow x = 0$ или $x = 1$ ; между тях $x \ge x^2$
$S = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

Пример

Да проверим резултата на Архимед за параболата $y = 4 - x^2$ и оста $Ox$ .

Пресечни точки: $x = \pm 2$ ; $S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \frac{32}{3}$
Вписаният триъгълник с върхове $(-2;\ 0)$ , $(2;\ 0)$ и $(0;\ 4)$ има лице $\frac{4 \cdot 4}{2} = 8$
$\frac{32}{3} : 8 = \frac{4}{3}$ – точно както е доказал Архимед ✓

6. Обеми на ротационни тела

Т

Обем на ротационно тяло

Когато графиката на

y = f(x)

,

a \le x \le b

, се завърти около оста

Ox

, всеки тесен слой е цилиндър с радиус

f(x)

и височина

dx

. Сборът от обемите им дава

V = \pi \int_a^b f(x)^2\,dx

.

Пример

Да изведем обема на кълбо с радиус $R$ – въртим полуокръжността $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ .

$V = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2)\,dx = \pi \left[R^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_{-R}^{R}$
$= \pi \left(\frac{2R^3}{3} + \frac{2R^3}{3}\right) = \frac{4}{3}\pi R^3$

Така се получават всички формули за обем от Стереометрия – Архимед е намерил обема на кълбото по сходен начин, с „нарязване“ на тънки слоеве.

7. Тренажор

Намери примитивната и пресметни интеграла. Дробните отговори въвеждай като 8/3.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

\int_{-3}^{3} (x^3 + 3)\,dx

$= ?$

8. Интегралите около нас

Щом знаем скоростта, с която нещо се променя, интегралът дава колко се е променило общо: пътят от скоростта, количеството вода от дебита, работата от силата. Със същата идея астрономите пресмятат масата на звезда или галактика, като „събират“ тънки слоеве.

0 / 6

🚗 Път от скоростта

Кола тръгва от място и скоростта ѝ нараства по закона $v(t) = 3t$ (в m/s). Какъв път изминава за първите 8 секунди?

🛢️ Изтичане от резервоар

От резервоар изтича вода със скорост $r(t) = 20 - 2t$ литра в минута, докато спре (след 10 минути). Колко литра са изтекли?

🍦 Обем на фунийка

Конусът се получава при въртене на отсечката $y = \frac{3}{4}x$ , $0 \le x \le 4$ около оста $Ox$ . Пресметнете обема му с интеграл (в cm³).

🌉 Арка на мост

Отворът под арка е ограничен от параболата $y = 4 - \frac{x^2}{4}$ и оста $Ox$ (в метри). Колко квадратни метра е лицето на отвора?

🏹 Опъване на пружина

За да разтегнем пружина на $x$ метра, е нужна сила $F = 200x$ нютона. Каква работа извършваме, като я разтегнем с 10 cm?

⏱️ Средна скорост

Скоростта на тяло е $v(t) = t^2$ m/s. Каква е средната му скорост за първите 3 секунди?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

9. ⚠️ Чести грешки

Забравена константа

✗ $\displaystyle \int 2x\,dx = x^2$

✓ $\displaystyle \int 2x\,dx = x^2 + C$

Делим на старата степен

✗ $\displaystyle \int x^3\,dx = \frac{x^4}{3} + C$

✓ $\displaystyle \int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C$

Интеграл от $\displaystyle \frac{1}{x}$

✗ $\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^0}{0} + C$

✓ $\displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x| + C$

Интеграл от произведение

✗ $\displaystyle \int fg\,dx = \int f\,dx \cdot \int g\,dx$

✓ няма такова правило – разкриваме скобите или търсим друг метод

Обърнати граници

✗ $\displaystyle \int_a^b f\,dx = F(a) - F(b)$

✓ $\displaystyle \int_a^b f\,dx = F(b) - F(a)$

Интеграл вместо лице

✗ лицето под $\displaystyle x^3$ от $\displaystyle -1$ до $\displaystyle 1$ е $\displaystyle 0$

✓ лицето е $\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ , интегралът е $\displaystyle 0$

10. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

На колко е равно $\displaystyle \int x^3\,dx$ ?

Избери отговор (или натисни 1–4)

11. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

✓ Определеният интеграл е граница на сумите на Риман: $\int_a^b f(x)\,dx = \lim \sum f(x_i)\,\Delta x$
✓ $F' = f \Rightarrow \int f(x)\,dx = F(x) + C$
✓ $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ , $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x| + C$ , $\int e^x\,dx = e^x + C$
✓ Нютон–Лайбниц се доказва, като видим, че лицето $A(x)$ е примитивна функция: $A'(x) = f(x)$
✓ Нютон–Лайбниц: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
✓ Под оста интегралът е отрицателен – за лице събираме абсолютните стойности на частите
✓ Лице между криви: $\int_a^b (f - g)\,dx$ ; обем на : $\pi \int_a^b f^2\,dx$

💡 Интересен факт

Съчинението на Архимед „Методът“, в което той обяснява как „нарязва“ фигурите на безкрайно тънки ивици, е смятано за изгубено векове наред. През 1906 г. датският филолог Йохан Хайберг го открива в Константинопол – под текста на средновековен молитвеник: през XIII век пергаментът е изстърган и използван наново. Този палимпсест е продаден на търг през 1998 г. за над 2 милиона долара.

1. Лицето под крива

2. Определен интеграл

Определен интеграл

Свойства

3. Примитивна функция

Примитивна функция и неопределен интеграл

Пример

4. Формула на Нютон–Лайбниц

Основна теорема на анализа

Пример

Пример

5. Лица на фигури

Пример

Пример

6. Обеми на ротационни тела

Обем на ротационно тяло

Пример

7. Тренажор

8. Интегралите около нас

9. ⚠️ Чести грешки

10. 🎯 Бърз тест

На колко е равно ∫x3 dx\displaystyle \int x^3\,dx∫x3dx?

11. 📝 Задачи за упражнение

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

На колко е равно $\displaystyle \int x^3\,dx$ ?