Степени и корени

♟️ Според легендата изобретателят на шаха поискал от владетеля скромна награда: едно житно зърно на първото поле, две на второто, четири на третото – всеки път двойно повече – до 64-тото поле. Владетелят се засмял… докато не пресметнали. Общо това са $2^{64} - 1 = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,615$ зърна. При около 0,05 g на зърно това са над 900 милиарда тона – повече от хиляда години днешна световна реколта от пшеница. Така изглежда степента: малки числа, които растат невъобразимо бързо.

1. Степен с естествен показател

🤔 Загадка: Кое е по-голямо: $(-2)^4$ или $-2^4$ ? Изглеждат еднакво, но първото е $(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2) = 16$ , а второто е $-(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2) = -16$ . Скобите решават всичко.

Степен

За естествено число

n

степента

a^n

е произведението на

n

множителя, равни на

a

a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a

. Числото

a

е основа, а

n

– показател. Отрицателно число на четна степен е положително, а на нечетна – отрицателно.

2. Свойства на степените

Действия със степени

\begin{aligned} a^m \cdot a^n &= a^{m+n} \\ a^m : a^n &= a^{m-n} \quad (a \ne 0) \\ (a^m)^n &= a^{mn} \\ (ab)^n &= a^n b^n \\ \left(\frac{a}{b}\right)^n &= \frac{a^n}{b^n} \end{aligned}

За да важат правилата и при

m = n

, и при

m < n

, дефинираме

a^0 = 1

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

(

a \ne 0

Доказателство на правилата (за естествени

m

n

)

$a^m \cdot a^n$ : първо идват $m$ множителя $a$ , после още $n$ – общо $m + n$ множителя, т.е. $a^{m+n}$ .
$a^m : a^n$ при $m > n$ и $a \ne 0$ : в дробта $\frac{a \cdot \ldots \cdot a}{a \cdot \ldots \cdot a}$ съкращаваме $n$ множителя отгоре и отдолу и остават $m - n$ , т.е. $a^{m-n}$ .
$(a^m)^n$ : имаме $n$ групи по $m$ множителя $a$ – общо $mn$ множителя, т.е. $a^{mn}$ .
$(ab)^n = (ab) \cdot (ab) \cdot \ldots \cdot (ab)$ . Множителите могат да се разместват, затова събираме всички $a$ отпред и всички $b$ отзад: $a^n b^n$ . Аналогично $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ – умножаваме $n$ дроби, числителите помежду си и знаменателите помежду си.
Защо $a^0 = 1$ : ако искаме правилото за деление да важи и при $m = n$ , трябва $a^0 = a^n : a^n = 1$ . Защо $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ : при $m = 0$ правилото дава $a^{-n} = a^0 : a^n = \frac{1}{a^n}$ . Това не са нови закони, а единственият начин правилата да останат в сила.

∎

🧮 Броим множителите

Степента aⁿ е n еднакви множителя a. Всяко правило за степени е просто преброяване на множителите.

222·22

a2m3n2

2³ · 2² = 2^(3 + 2) = 2⁵ = 32

Пример

Да опростим $(2^5 \cdot 2^3) : 2^6$ .

$2^5 \cdot 2^3 = 2^8$
$2^8 : 2^6 = 2^2$
$= 4$

Много големите и много малките числа записваме в стандартен вид $a \cdot 10^n$ , където $1 \le a < 10$ : скоростта на светлината е $3 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}$ , а диаметърът на атом – около $10^{-10}\ \mathrm{m}$ . Умножаването тогава е лесно: умножаваме числата и събираме показателите.

3. Квадратен корен

Квадратен корен

Квадратен корен от неотрицателното число

a

е неотрицателното число

\sqrt{a}

, чийто квадрат е

a

(\sqrt{a})^2 = a

\sqrt{a} \ge 0

. Например

\sqrt{49} = 7

(а не −7, въпреки че

(-7)^2 = 49

). От отрицателно число квадратен корен в реалните числа няма. За всяко

x

\sqrt{x^2} = |x|

⬛ Коренът като страна на квадрат

√A е страната на квадрат с лице A. Между кои два „точни“ квадрата е той – и колко точно е страната му?

A50

7² = 49 < 50 < 64 = 8² ⇒ 7 < √50 < 8

Зеленият и червеният квадрат са съседните точни квадрати; лилавият е между тях.

Изнасяне пред корена: √50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2

Свойства на корените

За

a \ge 0

b > 0

\begin{aligned} \sqrt{ab} &= \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \\ \sqrt{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \end{aligned}

Изнасяне пред корена и внасяне под корена:

\begin{gathered} \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \\ 3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18} \end{gathered}

Рационализиране на знаменателя:

\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b} \end{gathered}

Внимание:

\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}

Доказателство на свойствата на корените

$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ : числото $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ е неотрицателно и квадратът му е $(\sqrt{a})^2 \cdot (\sqrt{b})^2 = ab$ . По дефиниция $\sqrt{ab}$ е единственото неотрицателно число с квадрат $ab$ – значи двете са равни.
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ – по същия начин: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \ge 0$ и $\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2 = \frac{a}{b}$ .
$\sqrt{x^2} = |x|$ : $|x| \ge 0$ и $|x|^2 = x^2$ . (Затова $\sqrt{(-5)^2} = 5$ , а не $-5$ .)
Рационализиране – по формулата $(p - q)(p + q) = p^2 - q^2$ умножаваме числителя и знаменателя по $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ : $\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$ $= \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a - b}$
Защо $\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$ – достатъчен е един контрапример: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , а $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ . Изобщо $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ , което е по-голямо от $a + b$ при $a, b > 0$ .

∎

Пример

Да опростим $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$ .

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$
$2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = \sqrt{3}$

4. Корен n-ти и рационален показател

Корен n-ти и степен с дробен показател

Корен n-ти:

\sqrt[n]{a}

е числото, чиято

n

-та степен е

a

\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a

При четно

n

искаме

a \ge 0

\sqrt[n]{a} \ge 0

. Например:

\sqrt[3]{8} = 2, \quad \sqrt[3]{-27} = -3, \quad \sqrt[4]{81} = 3

Степен с дробен показател: за

a > 0

дефинираме

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Например:

\begin{gathered} 8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4 \\ a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} \end{gathered}

Всички правила за степени остават в сила.

Защо

a^{\frac{m}{n}}

се дефинира точно така?

Искаме правилото $(a^p)^q = a^{pq}$ да важи и за дробни показатели. Тогава $\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n = a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a^1 = a$ , т.е. $a^{\frac{1}{n}}$ е число, чиято $n$ -та степен е $a$ – това е $\sqrt[n]{a}$ . Друг избор няма.
След това $a^{\frac{m}{n}} = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$ , а също $a^{\frac{m}{n}} = \left(a^m\right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ . Двата записа дават едно и също число, защото $\left(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\right)^n = \left(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n\right)^m = a^m$ .
Стойността не зависи от това как е записана дробта: например $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и наистина $\sqrt[4]{a^2} = \sqrt{a}$ , защото $\left(\sqrt{a}\right)^4 = a^2$ . В общия случай $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ , защото $\left(\sqrt[n]{a^m}\right)^{nk} = a^{mk}$ , а положителният корен е само един.
Защо искаме $a > 0$ : при отрицателна основа правилата се разпадат. Например $(-8)^{\frac{1}{3}}$ би трябвало да е $\sqrt[3]{-8} = -2$ , но $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ , а $\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$ .

∎

a2x1,5

a⁻¹ =0,5a⁰ =1√a =1,414a^1,5 =2,828

a > 1: функцията расте – експоненциален растеж (удвояване, сложна лихва).

💡 Графиката на y = aˣ минава през (0; 1) за всяко a > 0. Точките за отрицателни и дробни показатели лежат на същата гладка крива – затова дефинициите a⁻ⁿ = 1/aⁿ и a^(1/n) = ⁿ√a са „естествените“.

5. Тренажор

Въведи показателя на резултата. Отрицателните показатели също се броят!

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

(2⁻¹)³ =2

6. Задачи от живота

0 / 6

🦠 Бактерии

Една бактерия се дели на две на всеки 20 минути. Колко бактерии ще има след 3 часа, ако в началото е била една?

☀️ Светлината от Слънцето

Разстоянието от Земята до Слънцето е около $1{,}5 \cdot 10^{11}\ \mathrm{m}$ , а скоростта на светлината – около $3 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}$ . За колко секунди светлината стига до нас?

🏠 Квадратна стая

Квадратна стая има лице $30{,}25\ \mathrm{m}^2$ . Колко е дължината на стената?

🪨 Падащ камък

Времето за свободно падане от височина $h$ е $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ . За колко секунди камък пада от $45\ \mathrm{m}$ ( $g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}$ )?

☢️ Радиоактивен йод

Периодът на полуразпад на йод-131 е около 8 дни – за толкова време количеството му намалява наполовина. Колко милиграма ще останат от 80 mg след 24 дни?

📺 Диагонал на телевизор

Екран е широк 1,6 m и висок 0,9 m. Колко е диагоналът му?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

7. ⚠️ Чести грешки

Умножени показатели при произведение

✗ $\displaystyle 2^3 \cdot 2^4 = 2^{12}$

✓ $\displaystyle 2^3 \cdot 2^4 = 2^7$

Скобите и минусът

✗ $\displaystyle -2^4 = 16$

✓ $\displaystyle -2^4 = -16$ , но $\displaystyle (-2)^4 = 16$

Корен от сбор

✗ $\displaystyle \sqrt{9 + 16} = 3 + 4 = 7$

✓ $\displaystyle \sqrt{25} = 5$

Корен от квадрат

✗ $\displaystyle \sqrt{x^2} = x$

✓ $\displaystyle \sqrt{x^2} = |x|$ ; при $\displaystyle x = -3$ е 3

Отрицателен показател

✗ $\displaystyle 2^{-3} = -8$

✓ $\displaystyle 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Различни основи

✗ $\displaystyle 2^3 \cdot 3^2 = 6^5$

✓ $\displaystyle 8 \cdot 9 = 72$ – правилата са за еднакви основи

8. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

На колко е равно $\displaystyle 2^3 \cdot 2^4$ ?

Избери отговор (или натисни 1–4)

9. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

10. Обобщение

✓ $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ ; $a^m : a^n = a^{m-n}$ ; $(a^m)^n = a^{mn}$
✓ $a^0 = 1$ ; $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ ; стандартен вид $a \cdot 10^n$ , $1 \le a < 10$
✓ $\sqrt{a} \ge 0$ и $(\sqrt{a})^2 = a$ ; $\sqrt{x^2} = |x|$
✓ $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ , но $\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}$
✓ Изнасяне пред корена: $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ ; рационализиране: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
✓ Правилата за степени следват от броенето на множители; $a^0$ , $a^{-n}$ и $a^{m/n}$ са дефинирани така, че правилата да остават верни
✓ $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$ ; $a^{1/2} = \sqrt{a}$

💡 Интересен факт

Лист хартия е дебел около 0,1 mm. Ако можехме да го сгънем на две 42 пъти, дебелината му щеше да е $0{,}1\ \mathrm{mm} \cdot 2^{42} \approx 440\,000\ \mathrm{km}$ – повече от разстоянието до Луната (около 384 000 km). На практика обикновен лист трудно се сгъва повече от 7–8 пъти, защото всяко сгъване удвоява дебелината. Рекордът е 12 сгъвания – постигнат през 2002 г. с лента хартия, дълга над километър.

Степени и корени

1. Степен с естествен показател

Степен

2. Свойства на степените

Действия със степени

🧮 Броим множителите

Пример

3. Квадратен корен

Квадратен корен

⬛ Коренът като страна на квадрат

Свойства на корените

Пример

4. Корен n-ти и рационален показател

Корен n-ти и степен с дробен показател

5. Тренажор

6. Задачи от живота

7. ⚠️ Чести грешки

8. 🎯 Бърз тест

На колко е равно 23⋅24\displaystyle 2^3 \cdot 2^423⋅24?

9. 📝 Задачи за упражнение

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

10. Обобщение

На колко е равно $\displaystyle 2^3 \cdot 2^4$ ?