Квадратни функции

1. Изнасяме $a$ пред скоби и допълваме до точен квадрат (както в урока „Квадратни уравнения“): $$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$$ $$= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c$$
2. Последните две събираеми са $-\frac{b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a} = -\frac{b^2 - 4ac}{4a} = -\frac{D}{4a}$. Получаваме връхната форма $$y = a(x - x_0)^2 + y_0,$$ където $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = -\frac{D}{4a}$.
3. Ос на симетрия: за всяко $t$ имаме $f(x_0 + t) = at^2 + y_0 = a(-t)^2 + y_0 = f(x_0 - t)$. Точките на равни разстояния вляво и вдясно от $x_0$ са на една и съща височина, т.е. графиката е симетрична спрямо правата $x = x_0$.
4. Защо точно това е върхът: $(x - x_0)^2 \ge 0$, като е 0 само при $x = x_0$. При $a > 0$ значи $f(x) \ge y_0$ за всяко $x$, т.е. $V(x_0;\ y_0)$ е най-ниската точка. При $a < 0$ неравенството се обръща и $V$ е най-високата точка.
5. Следователно графиката на $y = ax^2 + bx + c$ е графиката на $y = ax^2$, преместена с $x_0$ хоризонтално и с $y_0$ вертикално.

∎

1. По формулата за корените $x_{1,2} = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{D}}{2a} = x_0 \pm \frac{\sqrt{D}}{2a}$ – нулите са на едно и също разстояние $\frac{\sqrt{D}}{2|a|}$ от $x_0$, затова $x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}$.
2. Същото по Виет: $\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{b}{a}\right) = -\frac{b}{2a} = x_0$.
3. Разлагането $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ следва от формулите на Виет – доказателството е в урока „Квадратни уравнения“.

∎

1. Нека $a > 0$ и $x_0 \le u < v$. От връхната форма $$f(v) - f(u) = a\left[(v - x_0)^2 - (u - x_0)^2\right]$$ $$= a(v - u)(u + v - 2x_0) > 0,$$ защото и трите множителя са положителни. Значи вдясно от върха функцията расте.
2. По същия начин (или по симетрия) при $u < v \le x_0$ имаме $u + v - 2x_0 < 0$ и $f(v) < f(u)$ – вляво от върха функцията намалява. При $a < 0$ е обратно.
3. В интервала $[m;\ n]$ функцията е монотонна от всяка страна на върха. Затова най-голямата и най-малката ѝ стойност може да са само в краищата $m$ и $n$ или във върха $x_0$ (ако $m \le x_0 \le n$).

∎

1. $D > 0$: от разлагането $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. При $x < x_1$ двете скоби са отрицателни, при $x > x_2$ – положителни; и в двата случая произведението им е положително и тричленът има знака на $a$. При $x_1 < x < x_2$ скобите са с различни знаци, произведението им е отрицателно и знакът е обратен на $a$.
2. $D = 0$: $ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2$, а $(x - x_0)^2 > 0$ за всяко $x \ne x_0$.
3. $D < 0$: от връхната форма $ax^2 + bx + c = a\left[(x - x_0)^2 + \frac{-D}{4a^2}\right]$. В квадратните скоби има сбор на неотрицателно и положително число – той е положителен, така че знакът е знакът на $a$ за всяко $x$.

∎

1. Правата $y = -p$ се нарича директриса. Всяка точка $P(x_1;\ y_1)$ от параболата е на равни разстояния от фокуса и от директрисата: тъй като $x_1^2 = 4py_1$, $$PF^2 = x_1^2 + (y_1 - p)^2$$ $$= 4py_1 + y_1^2 - 2py_1 + p^2 = (y_1 + p)^2,$$ т.е. $PF = y_1 + p$ (при $p > 0$ и $y_1 \ge 0$).
2. Допирателната в $P$ е правата $t:\ y = \frac{x_1}{2p}x - y_1$. Наистина, общите ѝ точки с параболата са решенията на $\frac{x^2}{4p} = \frac{x_1}{2p}x - y_1$, т.е. на $(x - x_1)^2 = 0$ – двоен корен, единствена обща точка.
3. Правата $t$ пресича оста $Oy$ в точката $T(0;\ -y_1)$, затова $FT = p + y_1 = PF$. Триъгълникът $FPT$ е равнобедрен и $\angle FPT = \angle FTP$.
4. Лъч, успореден на оста, слиза вертикално към $P$. Продължението му над $P$ е успоредно на $Oy$, т.е. на правата $TF$, затова сключва с $t$ ъгъл, равен на $\angle FTP$ (съответни ъгли). Значи падащият лъч и отсечката $PF$ сключват равни ъгли с допирателната – по закона за отражението лъчът отива точно във фокуса.

∎