Граници и непрекъснатост

1. Граница на редица

🤔 Загадка: Членовете на $0{,}9;\ 0{,}99;\ 0{,}999;\ \ldots$ никога не стават равни на 1. Защо тогава казваме, че $0{,}999\ldots = 1$ ?

Членовете на $a_n = \frac{1}{n}$ намаляват: $1;\ \frac{1}{2};\ \frac{1}{3};\ \ldots$ Никой не е нула, но се приближават до нулата колкото искаме. Същото видяхме при безкрайната намаляваща геометрична прогресия: $q^n \to 0$ при $|q| < 1$ , а сборът ѝ е крайно число. Как да кажем точно какво значи „приближават се колкото искаме“? Отговорът е с две гръцки букви – $\varepsilon$ (епсилон) за точността и номер $N$ , от който нататък тя е постигната.

О

Граница на редица

Числото

L

е граница на редицата

a_n

, ако за всяко

\varepsilon > 0

съществува номер

N

, такъв че

|a_n - L| < \varepsilon

за всяко

n \ge N

. Пишем

\lim_{n \to \infty} a_n = L

или

a_n \to L

и казваме, че редицата е сходяща. Редица, която няма граница, е разходяща.

С думи: каквато и тясна ивица $(L - \varepsilon;\ L + \varepsilon)$ да начертаем около $L$ , от някой номер нататък всички членове са в нея. Първите членове може да са далеч – важно е какво става „накрая“.

ε0,2

ε =0,2граница L =1N =6

От 6-ия член нататък всички членове са в ивицата – колкото и тясна да я направиш, такова N има.

💡 Зелените точки са в ивицата (L − ε; L + ε), червените – извън нея. Намаляй ε: N расте, но винаги съществува. Точно това означава, че редицата клони към L. Отделни членове може да са извън ивицата – важното е, че от някой номер нататък всички са вътре.

Пример

Да докажем, че $\lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{n} = 1$ , и да намерим $N$ при $\varepsilon = 0{,}05$ .

$\left|\frac{n + 1}{n} - 1\right| = \frac{1}{n}$
$\frac{1}{n} < \varepsilon \iff n > \frac{1}{\varepsilon}$ . Така за всяко $\varepsilon$ има подходящо $N$ – границата е 1.
При $\varepsilon = 0{,}05$ : $n > 20$ , т.е. $N = 21$ .

Сега загадката: $0{,}999\ldots$ не е член на редицата, а нейната граница. Разликата $1 - 0{,}99\ldots9 = 10^{-n}$ клони към 0, затова безкрайната десетична дроб $0{,}999\ldots$ е точно 1.

2. Граница на функция

При функциите питаме: към какво клонят стойностите $f(x)$ , когато $x$ се приближава до числото $a$ ? Самата стойност $f(a)$ не ни интересува – тя може да е друга или изобщо да не съществува.

О

Граница на функция

Числото

L

е граница на

f(x)

при

x \to a

, ако за всяко

\varepsilon > 0

има

\delta > 0

, такова че

|f(x) - L| < \varepsilon

за всяко

x \ne a

от дефиниционната област с

|x - a| < \delta

. Пишем

\lim_{x \to a} f(x) = L

.

Понякога отляво и отдясно картината е различна. Граница отляво $\lim_{x \to a^-} f(x)$ гледа само $x < a$ , а граница отдясно $\lim_{x \to a^+} f(x)$ – само $x > a$ . Граница при $x \to a$ има точно когато двете едностранни граници съществуват и са равни.

h1

f(2 − h) =1,5f(2 + h) =2,5f(2) =2

граница отляво2граница отдясно2

Отляво и отдясно стойностите клонят към 2 и f(2) = 2. Границата съвпада със стойността – функцията е непрекъсната в точката.

💡 Намалявай h: синята точка идва отляво (x = 2 − h), розовата – отдясно (x = 2 + h). Границата е числото, към което клонят стойностите им; стойността f(2) в самата точка не влияе на границата.

Можем да питаме и какво става при $x \to +\infty$ или $x \to -\infty$ : например $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$ . А когато стойностите растат неограничено, пишем $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ – това не е число, а кратък запис, че граница (като число) няма, но стойностите надминават всяко число.

3. Пресмятане на граници

Т

Аритметика на границите

Ако

\lim_{x \to a} f(x) = A

и

\lim_{x \to a} g(x) = B

(крайни числа), то

\lim (f \pm g) = A \pm B

,

\lim (f \cdot g) = A \cdot B

и

\lim \frac{f}{g} = \frac{A}{B}

при

B \ne 0

. Същото важи за редици и при

x \to \infty

.

Доказателство (сбор) и идея (произведение и частно)

Сбор: нека $\varepsilon > 0$ . Тъй като $f \to A$ , има $\delta_1$ , при което $|f(x) - A| < \frac{\varepsilon}{2}$ ; тъй като $g \to B$ , има $\delta_2$ , при което $|g(x) - B| < \frac{\varepsilon}{2}$ . При $|x - a| < \delta = \min(\delta_1, \delta_2)$ и двете са изпълнени.
Тогава по неравенството $|p + q| \le |p| + |q|$ : $|(f + g) - (A + B)| \le |f - A| + |g - B|$ $< \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$ Разликата се доказва по същия начин.
Произведение (идея): записваме $fg - AB = f \cdot (g - B) + B \cdot (f - A)$ Близо до $a$ стойностите на $f$ са близо до $A$ , следователно ограничени, а $g - B$ и $f - A$ стават колкото искаме малки. Значи и двете събираеми клонят към 0.
Частно (идея): достатъчно е да покажем, че $\frac{1}{g} \to \frac{1}{B}$ . Имаме $\frac{1}{g} - \frac{1}{B} = \frac{B - g}{gB}$ ; числителят клони към 0, а знаменателят е близо до $B^2 > 0$ и не става малък.

∎

Затова при многочлените и повечето познати функции границата се намира просто със заместване: $\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) = 4 + 6 = 10$ . Трудното започва, когато заместването дава израз без смисъл – една от неопределеностите $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , $0 \cdot \infty$ , $1^\infty$ . Те могат да имат всякаква стойност – трябва да преобразуваме израза.

Пример

Разлагане: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$ .

Заместването дава $\frac{0}{0}$ .
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ ; съкращаваме с $x - 2$ (при $x \ne 2$ то не е нула).
$\lim_{x \to 2} (x - 3) = -1$

Пример

Спрегнат израз: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ .

Умножаваме числителя и знаменателя по $\sqrt{x + 4} + 2$ :
$\frac{(x + 4) - 4}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}$
При $x \to 0$ получаваме $\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ .

Т

Рационална функция при x → ∞

При

x \to \infty

решават старшите членове. Ако степените на числителя и знаменателя са равни, границата е отношението на старшите коефициенти; ако степента на знаменателя е по-голяма – границата е 0; ако е по-малка – стойностите растат неограничено.

Пример

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 - x + 7}{2x^2 + 5}$

Делим на $x^2$ : $\frac{4 - \frac{1}{x} + \frac{7}{x^2}}{2 + \frac{5}{x^2}}$
Дробите с $x$ в знаменателя клонят към 0, остава $\frac{4}{2} = 2$ .

Доказателство на правилото за рационалните функции

Нека числителят е $a_p x^p + \ldots + a_0$ , а знаменателят $b_q x^q + \ldots + b_0$ , с $a_p \ne 0$ и $b_q \ne 0$ . Делим числителя и знаменателя на $x^q$ .
Знаменателят става $b_q + \frac{b_{q-1}}{x} + \ldots + \frac{b_0}{x^q}$ . Всички дроби клонят към 0 (защото $\frac{1}{x} \to 0$ , а по аритметиката на границите и $\frac{1}{x^k} \to 0$ ), затова знаменателят клони към $b_q \ne 0$ .
Ако $p = q$ , числителят клони към $a_p$ и границата е $\frac{a_p}{b_q}$ .
Ако $p < q$ , всеки член на числителя след делението има $x$ в знаменателя – числителят клони към 0 и границата е 0.
Ако $p > q$ , в числителя остава $a_p x^{p-q}$ плюс членове, които са малки в сравнение с него, затова стойностите растат неограничено по модул.

∎

4. Две забележителни граници

Т

Теорема за „двамата полицаи“

Ако

g(x) \le f(x) \le h(x)

около

a

и

\lim g = \lim h = L

, то и

\lim f = L

. Функцията

f

е „притисната“ между двете и няма къде да избяга.

Доказателство

Нека $\varepsilon > 0$ . Тъй като $g \to L$ и $h \to L$ , има $\delta > 0$ (по-малкото от двете), такова че при $0 < |x - a| < \delta$ : $L - \varepsilon < g(x)$ $h(x) < L + \varepsilon$
Ако $\delta$ е избрано и достатъчно малко, за да важи $g \le f \le h$ , получаваме веригата $L - \varepsilon < g(x) \le f(x) \le h(x) < L + \varepsilon,$ т.е. $|f(x) - L| < \varepsilon$ . Това е точно дефиницията на $\lim f = L$ .

∎

Т

Първа забележителна граница

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

, когато

x

е в радиани. Затова при малки ъгли

\sin x \approx x

.

Доказателство

Нека $0 < x < \frac{\pi}{2}$ . В единичната окръжност с център $O$ взимаме точките $A(1;\ 0)$ и $P(\cos x;\ \sin x)$ , а $T$ е пресечната точка на лъча $OP$ с допирателната в $A$ ; тогава $AT = \operatorname{tg} x$ .
Триъгълникът $OAP$ се съдържа в сектора $OAP$ , а секторът – в триъгълника $OAT$ . Сравняваме лицата им (лицето на сектор с ъгъл $x$ радиана в единичен кръг е $\frac{x}{2}$ ): $\frac{\sin x}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\operatorname{tg} x}{2}$
Делим $\sin x < x < \operatorname{tg} x$ на $\sin x > 0$ и обръщаме дробите: $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$
Функциите $\cos x$ и $\frac{\sin x}{x}$ са четни, затова същото неравенство важи и за $-\frac{\pi}{2} < x < 0$ .
При $x \to 0$ имаме $\cos x \to 1$ , и по теоремата за двамата полицаи $\frac{\sin x}{x} \to 1$ .

∎

Ако ъгълът е в градуси, границата е $\frac{\pi}{180}$ – една от причините математиците да предпочитат радианите.

Т

Втора забележителна граница

Редицата

\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

е растяща и ограничена (всичките ѝ членове са по-малки от 3), затова има граница. Тази граница е числото

e \approx 2{,}71828

:

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e

.

Защо редицата е растяща и ограничена?

По бинома на Нютон $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k}$ Събираемото с номер $k$ е $\frac{1}{k!} \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n - 1}{n} \cdots \frac{n - k + 1}{n}$ $= \frac{1}{k!} \cdot 1 \cdot \left(1 - \frac{1}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{k - 1}{n}\right)$
Растяща: когато $n$ се увеличи, всеки множител $1 - \frac{j}{n}$ нараства, значи всяко събираемо нараства, а освен това се появява и ново положително събираемо.
Ограничена: всеки множител $1 - \frac{j}{n}$ е по-малък от 1, затова сборът е най-много $1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \ldots + \frac{1}{n!}$ . А $k! \ge 2^{k-1}$ , така че $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \le 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots$ $< 1 + 2 = 3$
Последната стъпка не е пресмятане, а свойство на реалните числа (пълнота): всяка растяща и ограничена отгоре редица има граница. Тази граница наричаме $e$ .

∎

$n$	$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$
$1$	$2$
$2$	$2{,}25$
$10$	$2{,}5937…$
$100$	$2{,}7048…$
$1000$	$2{,}7169…$
$10^6$	$2{,}718280…$

Тук се крие неопределеността $1^\infty$ : основата клони към 1, но степента расте. Резултатът не е 1, а $e$ . През 1683 г. Якоб Бернули стига до тази граница, като пита колко пари носи лихва, начислявана все по-често (виж задачата за по-долу). По-общо $\left(1 + \frac{k}{n}\right)^n \to e^k$ . Числото $e$ е основата на натуралния логаритъм.

Пример

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$

$\frac{\sin 3x}{x} = 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}$
При $x \to 0$ и $3x \to 0$ , затова границата е $3 \cdot 1 = 3$ .

5. Асимптоти

С границите описваме и как изглежда графиката „далеч“ и около точките, където функцията не е дефинирана. вече срещнахме в графиките на функции; сега можем да ги намираме точно.

О

Видове асимптоти

Правата

x = a

е вертикална асимптота, ако

f(x) \to \pm\infty

при

x \to a^-

или

x \to a^+

. Правата

y = b

е хоризонтална асимптота, ако

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b

. Правата

y = kx + n

е наклонена асимптота, ако

f(x) - (kx + n) \to 0

при

x \to \pm\infty

.

Пример

Да намерим асимптотите на $y = \frac{2x + 1}{x - 3}$ .

Знаменателят е 0 при $x = 3$ , а числителят там е $7 \ne 0$ – вертикална асимптота $x = 3$ .
При $x \to \pm\infty$ : $\frac{2x + 1}{x - 3} \to \frac{2}{1} = 2$ – хоризонтална асимптота $y = 2$ .

Пример

Наклонена асимптота на $y = \frac{x^2 + 1}{x}$ .

$\frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac{1}{x}$
При $x \to \pm\infty$ $\frac{1}{x} \to 0$ , т.е. графиката се доближава до правата $y = x$ .
Когато степента на числителя е с единица по-голяма, делим многочлените – цялата част е наклонената асимптота.

Как се намират

k

и

n

в общия случай?

Нека $y = kx + n$ е наклонена асимптота при $x \to +\infty$ , т.е. $f(x) - kx - n \to 0$ .
Делим на $x$ : $\frac{f(x)}{x} - k - \frac{n}{x} \to 0$ , а $\frac{n}{x} \to 0$ . Следователно $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$
След като знаем $k$ , от самото условие $n = \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - kx\right)$ Обратно: ако двете граници съществуват (крайни), правата $y = kx + n$ е асимптота. Пример: за $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ получаваме $k = 1$ и $n = \lim \frac{1}{x} = 0$ .

∎

6. Непрекъснатост

Интуитивно функцията е непрекъсната, ако графиката ѝ може да се начертае, без да вдигаме молива. Точно го казваме с граница.

О

Непрекъсната функция

Функцията

f

е непрекъсната в точката

a

, ако

f(a)

е дефинирана и

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

. Тя е непрекъсната в интервал, ако е непрекъсната във всяка негова точка.

Многочлените, $\sin x$ , $\cos x$ , $e^x$ , $\ln x$ , $\sqrt{x}$ и частните на непрекъснати функции (където не е нула) са непрекъснати в дефиниционните си области. Точка, в която условието не е изпълнено, е точка на прекъсване. В лабораторията видя трите основни вида:

отстранимо прекъсване – границата съществува, но $f(a)$ е друго число или не е дефинирано (например $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ при $x = 2$ );
скок – двете едностранни граници са крайни, но различни;
безкрайно прекъсване – поне едната едностранна граница е $\pm\infty$ (вертикална асимптота).

Пример

При кое $a$ функцията $f(x) = \begin{cases} x^2 + a, & x < 1 \\ 3x - 1, & x \ge 1 \end{cases}$ е непрекъсната?

Всяка от двете формули е непрекъсната; остава точката $x = 1$ .
Отляво: $\lim_{x \to 1^-} (x^2 + a) = 1 + a$ ; отдясно и $f(1) = 3 - 1 = 2$ .
$1 + a = 2 \Rightarrow a = 1$

7. Теорема за междинните стойности

Т

Теорема на Болцано

Ако

f

е непрекъсната в затворения интервал

[a;\ b]

и

f(a)

и

f(b)

имат различни знаци, то има поне едно

c \in (a;\ b)

, за което

f(c) = 0

. По-общо: непрекъснатата функция приема всяка стойност между

f(a)

и

f(b)

.

Бернард Болцано доказва теоремата през 1817 г. Тя изглежда очевидна – за да стигнеш от под водата над водата, трябва да минеш през повърхността. Но без непрекъснатост не е вярна: $\frac{1}{x}$ е $-1$ при $x = -1$ и $1$ при $x = 1$ , а нула не става никъде. Теоремата дава и прост начин за намиране на корени – метода на разполовяването.

стъпка0интервал[1; 2]среда c =1,5f(c) =0,875

Дължината на интервала е 1 – коренът е в него. Всяка стъпка я намалява два пъти.

💡 В краищата на жълтия интервал функцията има различни знаци (синьо – отрицателна, червено – положителна). Щом е непрекъсната, тя минава през нула някъде между тях. Пресмятаме f в средата c и запазваме тази половина, в чиито краища знаците пак са различни. След 10 стъпки интервалът е над 1000 пъти по-къс.

Идея на доказателството (разполовяване)

Нека $f(a) < 0 < f(b)$ . Взимаме средата $m$ на интервала. Ако $f(m) = 0$ – готово. Иначе избираме тази половина, в чиито краища $f$ отново има различни знаци: отляво отрицателна стойност, отдясно – положителна.
Повтаряме. Получаваме вложени интервали $[a_n;\ b_n]$ с дължина $\frac{b - a}{2^n}$ , при които винаги $f(a_n) < 0 < f(b_n)$ .
Левите краища $a_n$ растат и са ограничени от $b$ , затова (по пълнотата на реалните числа) клонят към някакво $c$ . Десните краища $b_n$ се различават от тях с $\frac{b - a}{2^n} \to 0$ , затова също клонят към $c$ .
От непрекъснатостта $f(a_n) \to f(c)$ и $f(b_n) \to f(c)$ . Но $f(a_n) < 0$ , значи $f(c) \le 0$ ; $f(b_n) > 0$ , значи $f(c) \ge 0$ . Следователно $f(c) = 0$ .

∎

Пример

Да докажем, че $x^3 - 3x + 1 = 0$ има три реални корена.

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ е непрекъсната; $f(-2) = -1$ , $f(0) = 1$ , $f(1) = -1$ , $f(2) = 3$ .
Знакът се сменя в $(-2;\ 0)$ , $(0;\ 1)$ и $(1;\ 2)$ – във всеки от тях има корен.
Уравнение от трета степен има най-много 3 корена, значи са точно три (приближено $-1{,}88$ ; $0{,}347$ ; $1{,}53$ ).

Следващата стъпка е производната – тя също е граница: на наклона на , когато двете точки се слеят.

8. Тренажор

Намери границата, асимптотата или параметъра. Дробните отговори въвеждай като 3/2.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

y = \frac{2x - 3}{x - 2}

Вертикална асимптота: $x = ?$

9. Границите около нас

Границата отговаря на въпроса „какво става в дългосрочен план“ – към каква температура изстива чаят, каква цена се установява при масово производство, колко най-много може да донесе лихвата. А методът на разполовяването работи в калкулаторите и компютрите, когато уравнението не може да се реши с формула.

0 / 6

🏭 Средна цена на брой

Работилница плаща 2000 € за машина и по 5 € материали за всеки брой. Колко струва средно един брой при 100 броя? Към какво клони средната цена при много голямо производство?

💶 Сложна лихва

Банка дава 6% годишна лихва. Колко ще имаш след една година от 1000 €, ако лихвата се начислява веднъж годишно, всеки месец и „непрекъснато“ (на все по-малки части)?

💊 Концентрация на лекарство

При продължително вливане концентрацията на лекарство в кръвта е $C(t) = \frac{8t}{t + 2}$ mg/l, където $t$ е в часове. Каква концентрация се установява след дълго време? След колко часа тя е 6 mg/l?

☕ Изстиващ чай

Температурата на чай в стая е $T(t) = 20 + 70 \cdot 0{,}9^t$ градуса, където $t$ е в минути. Колко е била в началото и към каква температура клони?

🔎 Колко стъпки на разполовяване?

Корен на уравнение е в интервала $[1;\ 2]$ . Колко стъпки на метода на разполовяването са нужни, за да намерим интервал с дължина не повече от 0,001?

🎯 Колко близо?

Редицата $a_n = \frac{2n + 1}{n}$ клони към 2. От кой номер нататък членовете ѝ се различават от 2 с по-малко от 0,01?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

10. ⚠️ Чести грешки

$\displaystyle \frac{0}{0}$ е 0 или 1

✗ $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 1$

✓ неопределеност: разложи – границата е $\displaystyle 4$

$\displaystyle \infty - \infty = 0$

✗ $\displaystyle \sqrt{n^2 + n} - n \to 0$

✓ спрегнат израз: $\displaystyle \to \frac{1}{2}$

$\displaystyle 1^\infty = 1$

✗ $\displaystyle \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to 1$

✓ $\displaystyle \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e$

Границата е стойността

✗ $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ винаги

✓ само ако $\displaystyle f$ е непрекъсната в $\displaystyle a$

Ъгли в градуси

✗ $\displaystyle \frac{\sin x}{x} \to 1$ за $\displaystyle x$ в градуси

✓ само за радиани

Старшите членове

✗ $\displaystyle \frac{3x^2 + 1}{x^3} \to 3$

✓ знаменателят е от по-висока степен: $\displaystyle \to 0$

11. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

На колко е равно $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$ ?

Избери отговор (или натисни 1–4)

12. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

13. Обобщение

✓ $a_n \to L$ : за всяко $\varepsilon > 0$ от някой номер $N$ нататък $|a_n - L| < \varepsilon$
✓ $\lim_{x \to a} f(x)$ не зависи от $f(a)$ ; съществува, когато лявата и дясната граница са равни
✓ Неопределености $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , $1^\infty$ : разлагане, спрегнат израз, деление на старшата степен
✓ $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ (), $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$
✓ Доказателствата: аритметиката на границите – с $\varepsilon$ ; $\frac{\sin x}{x} \to 1$ – със сравняване на лица и „полицаите“; $e$ – растяща и ограничена редица; Болцано – с разполовяване
✓ Асимптоти: вертикална (знаменателят е 0), хоризонтална (граница при $x \to \pm\infty$ ), наклонена (деление на многочлени)
✓ Непрекъснатост: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ ; прекъсвания – отстранимо, скок, безкрайно
✓ Болцано: непрекъсната функция с различни знаци в краищата има корен – намираме го с разполовяване

💡 Интересен факт

Дълго време математиците смятали, че всяка непрекъсната функция има поне в повечето точки – графиката ѝ трябва да е „гладка“ почти навсякъде. През 1872 г. Карл Вайерщрас представя функция, която е непрекъсната навсякъде, но няма производна в нито една точка: графиката ѝ е „назъбена“ при всяко увеличение, като брегова линия. Мнозина я смятали за чудовище, а днес подобни криви описват фракталите, движението на прашинки във вода и колебанията на борсата.

1. Граница на редица

Граница на редица

Пример

2. Граница на функция

Граница на функция

3. Пресмятане на граници

Аритметика на границите

Пример

Пример

Рационална функция при x → ∞

Пример

4. Две забележителни граници

Теорема за „двамата полицаи“

Първа забележителна граница

Втора забележителна граница

Пример

5. Асимптоти

Видове асимптоти

Пример

Пример

6. Непрекъснатост

Непрекъсната функция

Пример

7. Теорема за междинните стойности

Теорема на Болцано

Пример

8. Тренажор

9. Границите около нас

10. ⚠️ Чести грешки

11. 🎯 Бърз тест

На колко е равно lim⁡n→∞1n\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}n→∞lim​n1​?

12. 📝 Задачи за упражнение

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

13. Обобщение

На колко е равно $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$ ?