Линейни уравнения

🏛️ Върху гроба на Диофант Александрийски, „бащата на алгебрата“ (III век), според легендата е издълбана загадка: „Шестата част от живота му беше детство, една дванадесета – юношество, а след още една седма той се ожени. Пет години по-късно му се роди син, който живя наполовина колкото баща си. Четири години след сина си Диофант почина.“ На колко години е починал? Днес всеки седмокласник може да реши тази загадка за две минути – с едно линейно уравнение. Ще го направиш в задача 6.

1. Какво е линейно уравнение?

🤔 Загадка: Намислих число. Умножих го по 3, добавих 7 и получих 31. Кое е числото? Ако си отговорил „8“, ти току-що реши линейно уравнение: $3x + 7 = 31$ .

Линейно уравнение

Уравнение с едно неизвестно, което след опростяване може да се запише във вида

ax + b = 0

(

a

b

са числа). Ако

a \ne 0

, то има единствено решение

x = -\frac{b}{a}

. Наричаме го „линейно“, защото неизвестното е само на първа степен – няма

x^2

\sqrt{x}

или

\frac{1}{x}

Да решим уравнението означава да намерим онова число, което превръща равенството във вярно твърдение. Две уравнения са равносилни, ако имат едни и същи решения – а решаването е верига от равносилни уравнения, всяко по-просто от предишното.

2. Златното правило

Уравнението е като везна в равновесие. Можем да добавяме, изваждаме, умножаваме или делим, стига да правим едно и също с двете страни – тогава равновесието се запазва. Натисни бутона и виж как се решава уравнението стъпка по стъпка.

Равносилни преобразувания

Уравнението не променя решенията си, ако: 1) към двете му страни прибавим (или извадим) едно и също число или израз; 2) умножим (или разделим) двете страни на едно и също число, различно от 0. Следствие: член може да се прехвърли от едната страна в другата с обратен знак.

⚖️ Уравнението е като везна

2x + 3 = 11

Синята кутийка е неизвестното x, а жълтите монети тежат по 1. Везната е в равновесие – двете страни са равни.

3. Алгоритъм за решаване

Разкриваме скобите

$3(x - 2) \to 3x - 6$

Освобождаваме се от знаменателите

умножаваме двете страни по общия знаменател

Прехвърляме

членовете с $x$ – отляво, числата – отдясно (със сменен знак!)

Привеждаме подобните

$5x - 2x = 3x$ ; $8 + 4 = 12$

Делим на коефициента пред $x$

$3x = 12 \to x = 4$

Проверка

заместваме $x$ в началното уравнение

Пример

Да решим уравнението $2(x + 3) - 5 = 4x - 7$

Разкриваме скобите: $2x + 6 - 5 = 4x - 7$
Привеждаме подобните: $2x + 1 = 4x - 7$
Прехвърляме: $2x - 4x = -7 - 1$
Привеждаме: $-2x = -8$
Делим на −2: $x = 4$
Проверка: $2(4 + 3) - 5 = 9$ и $4\cdot 4 - 7 = 9$ ✓

Пример

Да решим уравнението с дроби $\frac{x - 1}{2} + \frac{x}{3} = 3$

Общият знаменател е 6. Умножаваме двете страни по 6: $3(x - 1) + 2x = 18$
Разкриваме скобите: $3x - 3 + 2x = 18$
Привеждаме: $5x - 3 = 18$
Прехвърляме: $5x = 21$
Делим на 5: $x = \frac{21}{5} = 4{,}2$

4. Колко решения може да има?

Понякога $x$ „изчезва“ при опростяването и остава уравнение от вида $0 \cdot x = b$ :

$a \ne 0 \to$ едно решение

$2x + 1 = 7 \to x = 3$

$0 \cdot x = b,\ b \ne 0 \to$ няма решение

$2x + 1 = 2x + 5 \to 0 \cdot x = 4$ ✗

$0 \cdot x = 0 \to$ безброй решения

$2(x + 1) = 2x + 2 \to 0 \cdot x = 0$ ✓

Изразът $ax + b$ описва права линия $y = ax + b$ . Решението на $ax + b = 0$ е точката, в която правата пресича оста Ox. Промени $a$ и $b$ и наблюдавай как се мести решението.

2x − 4 = 0

a = 2b = −4

Правата пресича оста Ox в точката x = −b/a = 2. Това е решението!

5. Уравнения с параметър

Често в уравнението освен $x$ има и друга буква – параметър. „Да решим уравнението“ тогава означава да кажем какво е решението за всяка стойност на параметъра. Ключът е коефициентът пред $x$ : щом той може да стане 0, трябва да разгледаме този случай отделно.

Пример

Да решим уравнението $(a - 2)x = a^2 - 4$ за всяка стойност на $a$ .

Коефициентът пред $x$ е $a - 2$ . Той е 0 при $a = 2$ .
Ако $a \ne 2$ : делим на $a - 2$ и получаваме $x = \frac{(a - 2)(a + 2)}{a - 2} = a + 2$ .
Ако $a = 2$ : уравнението става $0 \cdot x = 0$ – всяко $x$ е решение.
Отговор: при $a \ne 2$ – едно решение $x = a + 2$ ; при $a = 2$ – безброй решения.

🎛️ Уравнение с параметър

Параметърът a е „число, което още не сме избрали“. За всяко a уравнението е различно. Местѝ a и следи кога решението изчезва или решенията стават безброй.

a = 4: 2 · x = 12

Параметър a = 4

🟢 едно решение🔴 няма решение🔵 безброй решения

Едно решение: x = 12 / 2 = 6. Двете линии се пресичат в една точка.

Пълно изследване:

• a ≠ 2: делим на a − 2 ⇒ x = (a − 2)(a + 2)/(a − 2) = a + 2
• a = 2: 0 · x = 0 ⇒ всяко x е решение

6. Уравнения с модул

Уравнението $|x - a| = b$

Модулът

|x - a|

е разстоянието между числата

x

a

на числовата ос. Затова: при

b > 0

има две решения,

x = a - b

x = a + b

; при

b = 0

– едно решение,

x = a

; при

b < 0

– няма решение. Алгебрично:

|E| = b\ (b \ge 0) \iff E = b

или

E = -b

📏 Модулът е разстояние

|x − a| е разстоянието от x до a на числовата ос. Уравнението |x − a| = b пита: кои точки са на разстояние b от a?

|x − 2| = 5

a = 2b = 5

Две точки са на разстояние 5 от 2: x = 2 − 5 = −3 и x = 2 + 5 = 7. Алгебрично: x − a = b или x − a = −b.

Пример

Да решим уравнението $|2x - 3| = 7$

Изразът в модула е 7 или −7:
$2x - 3 = 7 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5$
$2x - 3 = -7 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2$
Отговор: $x = 5$ или $x = -2$

7. От текст към уравнение

Най-трудната част е да превърнем текста в уравнение. Избери кое е неизвестното, означи го с $x$ и запиши условието като равенство. В задачите за движение използваме път = скорост · време.

🚴 Задачи за движение

Двама велосипедисти тръгват едновременно. Кога ще се срещнат? Пусни движението и виж как уравнението „предсказва“ срещата.

AB = 60 kmv₁ = 20 km/hv₂ = 10 km/h

Двамата заедно изминават цялото разстояние:

20t + 10t = 60

30t = 60 ⇒ t = 60/30 = 2 ч

0 / 5

🚕 Такси

Таксито взима 3 € за качване и 1,50 € на километър. Платили сме 18 €. Колко километра сме пътували?

👩‍👧 Възрасти

Майка е на 38 години, а дъщеря ѝ – на 10. След колко години майката ще бъде точно два пъти по-голяма от дъщеря си?

🌡️ Температура

Градусите по Фаренхайт се пресмятат с $F = 1{,}8C + 32$ . При каква температура двата термометъра показват едно и също число?

🏷️ Намаление

След намаление с 20% якето струва 36 €. Колко е струвало преди намалението?

🍎 Пазар

2 kg ябълки и 3 kg круши струват 13,50 €. Килограм круши е с 0,50 € по-скъп от килограм ябълки. Колко струва килограм ябълки?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

Забравен знак при прехвърляне

✗ $\displaystyle 3x + 5 = 2 \to 3x = 2 + 5$

✓ $\displaystyle 3x = 2 - 5 = -3$

Делене само на част от страната

✗ $\displaystyle 2x + 6 = 10 \to x + 6 = 5$

✓ $\displaystyle x + 3 = 5$ (делим всеки член)

Скоба с минус пред нея

✗ $\displaystyle 5 - (x - 2) = 1 \to 5 - x - 2 = 1$

✓ $\displaystyle 5 - x + 2 = 1$

Делене на коефициента обърнато

✗ $\displaystyle 4x = 2 \to x = \frac{4}{2} = 2$

✓ $\displaystyle x = \frac{2}{4} = 0{,}5$

Делене на израз, който може да е 0

✗ $\displaystyle (a - 1)x = a - 1 \to x = 1$ за всяко $\displaystyle a$

✓ при $\displaystyle a = 1$ всяко $\displaystyle x$ е решение

Модул равен на отрицателно число

✗ $\displaystyle |x + 1| = -3 \to x = -4$ или $\displaystyle x = 2$

✓ няма решение – модулът е $\displaystyle \ge 0$

9. Тренажор

Безкраен брой уравнения! Колко поредни верни отговора можеш да постигнеш?

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

−4(x − 6) = −4

x =

10. 🎯 Бърз тест

1 / 8

✓ 0

Реши уравнението: $\displaystyle 3x + 5 = 14$

Избери отговор (или натисни 1–4)

11. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

✓ Линейно уравнение: $ax + b = 0$ ; при $a \ne 0$ решението е $x = -\frac{b}{a}$
✓ Равносилни преобразувания: едно и също действие с двете страни (делим само на число $\ne 0$ )
✓ Алгоритъм: скоби → → прехвърляне → привеждане → делене → проверка
✓ $0 \cdot x = b$ : няма решение при $b \ne 0$ , безброй решения при $b = 0$
✓ Параметър: разглеждаме отделно стойностите, при които коефициентът пред $x$ е 0
✓ $|x - a| = b$ – точките на разстояние $b$ от $a$ : $x = a \pm b$ при $b > 0$
✓ Текстови задачи: неизвестно → уравнение → решение → проверка на смисъла

💡 Интересен факт

Думата „алгебра“ идва от книгата на персийския математик ал-Хорезми (IX век) „Китаб ал-джабр ва-л-мукабала“. „Ал-джабр“ означава „възстановяване“ – точно прехвърлянето на член от едната страна на другата, което правим при решаване на уравнения. А от името на самия ал-Хорезми идва думата „алгоритъм“!

Линейни уравнения

1. Какво е линейно уравнение?

Линейно уравнение

2. Златното правило

Равносилни преобразувания

⚖️ Уравнението е като везна

3. Алгоритъм за решаване

Пример

Пример

4. Колко решения може да има?

5. Уравнения с параметър

Пример

🎛️ Уравнение с параметър

6. Уравнения с модул

Уравнението ∣x−a∣=b|x - a| = b∣x−a∣=b

📏 Модулът е разстояние

Пример

7. От текст към уравнение

🚴 Задачи за движение

8. ⚠️ Чести грешки

9. Тренажор

10. 🎯 Бърз тест

Реши уравнението: 3x+5=14\displaystyle 3x + 5 = 143x+5=14

11. 📝 Задачи за упражнение

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

Уравнението $|x - a| = b$

Реши уравнението: $\displaystyle 3x + 5 = 14$