Тригонометрия

1. Синус, косинус и тангенс на остър ъгъл

🤔 Загадка: Два правоъгълни триъгълника – единият малък, начертан в тетрадка, другият огромен, образуван от сянката на кула – имат еднакъв остър ъгъл 35°. Какво общо има между тях? Всички техни отношения на страни са равни – защото са подобни. Затова тези отношения можем да пресметнем веднъж и да ги „закачим“ за самия ъгъл.

О

Тригонометрични функции на остър ъгъл

В правоъгълен триъгълник с остър ъгъл

\alpha

, хипотенуза

c

, противолежащ катет

a

и прилежащ катет

b

:

\sin \alpha = \frac{a}{c},\ \cos \alpha = \frac{b}{c},\ \tg \alpha = \frac{a}{b},\ \cotg \alpha = \frac{b}{a}

. Те зависят само от ъгъла

\alpha

, не от размера на триъгълника.

Защо зависят само от ъгъла?

Нека два правоъгълни триъгълника имат еднакъв остър ъгъл $\alpha$ . Имат и по един прав ъгъл, следователно са подобни (признак ЪЪ) с някакъв коефициент $k$ .
Всички страни на втория са $k$ пъти по-големи: $a_1 = ka$ , $b_1 = kb$ , $c_1 = kc$ . Тогава $\frac{a_1}{c_1} = \frac{ka}{kc} = \frac{a}{c}$ – коефициентът се съкращава. Същото е за всички останали отношения.

∎

α35c12

sin α = a / c = 6,88 / 12 = 0,574

противолежащ катет / хипотенуза

💡 Промени хипотенузата c – триъгълникът става по-голям или по-малък, но отношенията не се променят: всички правоъгълни триъгълници с ъгъл α са подобни. Затова sin α, cos α и tg α зависят само от ъгъла.

2. Стойности за 30°, 45° и 60°

Тези стойности се извеждат от две фигури. Диагоналът дели квадрата на два равнобедрени правоъгълни триъгълника с ъгли 45° и 1 и 1, а $\sqrt{2}$ . Височината дели равностранния триъгълник със страна 2 на два триъгълника с ъгли 30° и 60°, катети 1 и $\sqrt{3}$ и хипотенуза 2.

$\alpha$	0°	30°	45°	60°	90°
$\sin \alpha$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle 1$
$\cos \alpha$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle 0$
$\tg \alpha$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \sqrt{3}$	—
$\cotg \alpha$	—	$\displaystyle \sqrt{3}$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$	$\displaystyle 0$

Лесно за запомняне: $\sin$ за 0°, 30°, 45°, 60°, 90° е $\frac{\sqrt{0}}{2},\ \frac{\sqrt{1}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{\sqrt{4}}{2}$ – а $\cos$ е същият ред, обърнат.

3. Основни тъждества

Т

Връзки между функциите на един ъгъл

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1

(Питагоровата теорема, разделена на

c^2

);

\tg \alpha = \sin \alpha / \cos \alpha

;

\cotg \alpha = \cos \alpha / \sin \alpha

;

\tg \alpha \cdot \cotg \alpha = 1

. За допълнителни ъгли:

\sin (90^\circ - \alpha) = \cos \alpha

и

\cos (90^\circ - \alpha) = \sin \alpha

– двата остри ъгъла в правоъгълен триъгълник си разменят катетите.

Доказателство на тъждествата

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1,$ защото по Питагоровата теорема $a^2 + b^2 = c^2$ .
$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{a}{c} : \frac{b}{c} = \frac{a}{b} = \tg \alpha$ ; аналогично $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{b}{a} = \cotg \alpha$ , а $\tg \alpha \cdot \cotg \alpha = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$ .
Другият остър ъгъл е $\beta = 90^\circ - \alpha$ . За него противолежащ катет е $b$ , а прилежащ – $a$ . Затова $\sin \beta = \frac{b}{c} = \cos \alpha$ и $\cos \beta = \frac{a}{c} = \sin \alpha$ .

∎

Пример

Ъгълът $\alpha$ е остър и $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ . Да намерим $\sin \alpha$ и $\tg \alpha$ .

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$
$\alpha$ е остър $\Rightarrow \sin \alpha > 0 \Rightarrow \sin \alpha = \frac{12}{13}$
$\tg \alpha = \sin \alpha / \cos \alpha = \frac{12}{13} : \frac{5}{13} = \frac{12}{5}$

4. Решаване на правоъгълен триъгълник

„Да решим триъгълник“ значи да намерим всичките му страни и ъгли. В правоъгълния триъгълник са достатъчни два елемента (освен правия ъгъл), поне единият от които е страна.

Пример

Хипотенузата е $c = 10$ , а острият ъгъл $\alpha = 30^\circ$ . Да намерим катетите и другия ъгъл.

$\beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$
$a = c \cdot \sin \alpha = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$
$b = c \cdot \cos \alpha = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66$

Пример

Катетите са $a = 7$ и $b = 24$ . Да намерим хипотенузата и ъглите.

$c = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$
$\tg \alpha = \frac{7}{24} \approx 0{,}292 \Rightarrow \alpha \approx 16{,}3^\circ$ (с калкулатор: $\tan^{-1}$ )
$\beta = 90^\circ - \alpha \approx 73{,}7^\circ$

5. Ъгли до 180° и единичната окръжност

В правоъгълен триъгълник ъгълът е винаги остър. За тъпи ъгли (а и за ъгли над 180°) имаме нужда от нова дефиниция. Нанасяме ъгъла в единична окръжност и казваме: $\cos \alpha$ е абсцисата, а $\sin \alpha$ – ординатата на точката. За острите ъгли тя съвпада със старата.

Т

Формули за $180^\circ - \alpha$

\sin (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha

;

\cos (180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha

;

\tg (180^\circ - \alpha) = -\tg \alpha

. Следствие: за тъпите ъгли синусът е положителен, а косинусът и тангенсът – отрицателни. Например

\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2},\ \cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}

.

Доказателство на формулите за

180^\circ - \alpha

Ъгълът $\alpha$ определя точката $P(\cos \alpha;\ \sin \alpha)$ от единичната окръжност. Отразяваме $P$ спрямо оста $Oy$ и получаваме точката $P_1(-\cos \alpha;\ \sin \alpha)$ – тя също е на окръжността.
Отразяването запазва ъглите: $OP_1$ сключва ъгъл $\alpha$ с отрицателната част на оста $Ox$ , т.е. ъгъл $180^\circ - \alpha$ с положителната. Значи $P_1$ е точката на ъгъла $180^\circ - \alpha$ .
Сравняваме координатите: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$ и $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$ . Тангенсът е частното им: $\tg(180^\circ - \alpha) = \frac{\sin \alpha}{-\cos \alpha} = -\tg \alpha$ .

∎

α, °30

sin α =1/2 ≈ 0,5cos α =√3/2 ≈ 0,866tg α =0,577

покажи и ъгъла 180° − α

💡 Точката P е на окръжност с радиус 1 и център началото. Ъгълът α се отчита от положителната част на оста Ox обратно на часовниковата стрелка. Тогава cos α е абсцисата на P, а sin α – ординатата ѝ.

6. Синусова и косинусова теорема

Тези две теореми решават произволен триъгълник – не само правоъгълен.

Т

Синусова теорема

Във всеки триъгълник

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R

, където

R

е радиусът на описаната окръжност. Използваме я, когато знаем страна и срещулежащия ѝ ъгъл.

Т

Косинусова теорема

Във всеки триъгълник

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma

(и аналогично за другите страни). При

\gamma = 90^\circ

тя е Питагоровата теорема. Използваме я, когато знаем две страни и ъгъла между тях или трите страни.

Т

Лице чрез синус

S = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma

– половината от произведението на две страни и синуса на ъгъла между тях. Като заместим

\sin \gamma = \frac{c}{2R}

, получаваме и

S = \frac{abc}{4R}

.

Доказателство на синусовата теорема

Нека $R$ е радиусът на описаната окръжност. Ще докажем, че $a = 2R\sin \alpha$ ; за другите страни е същото.
Прекарваме диаметъра $BD$ (през $B$ и центъра). Ъгълът $BCD$ е прав – вписан ъгъл, опрян на диаметър. В правоъгълния триъгълник $BCD$ имаме $BC = BD \cdot \sin \angle BDC$ , т.е. $a = 2R \cdot \sin \angle BDC$ .
Ако $\alpha$ е остър, $D$ и $A$ са от една страна на $BC$ и $\angle BDC = \alpha$ (вписани ъгли върху една дъга). Ако $\alpha$ е тъп, те са от различни страни, $ABDC$ е вписан четириъгълник и $\angle BDC = 180^\circ - \alpha$ – синусът е същият. Ако $\alpha = 90^\circ$ , $a$ е самият диаметър: $a = 2R = 2R\sin 90^\circ$ .
Във всички случаи $a = 2R\sin \alpha$ , т.е. $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$ .

∎

Доказателство на косинусовата теорема

Поставяме триъгълника в координатна система: $C$ е в началото, $B(a;\ 0)$ е на оста $Ox$ , а $A$ е на разстояние $b$ от $C$ под ъгъл $\gamma$ . По дефиницията с единичната окръжност $A(b\cos \gamma;\ b\sin \gamma)$ – и при тъп ъгъл $\gamma$ .
По Питагоровата теорема (разстояние между две точки): $c^2 = AB^2 = (b\cos \gamma - a)^2 + (b\sin \gamma)^2$
Разкриваме скобите: $c^2 = b^2\cos^2 \gamma - 2ab\cos \gamma + a^2 + b^2\sin^2 \gamma$ $= a^2 + b^2(\cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma) - 2ab\cos \gamma$ $= a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma$

∎

Доказателство на формулите за лице

В същата координатна система височината от $A$ към $BC$ е ординатата на $A$ : $h_a = b\sin \gamma$ (тя е положителна, защото $0^\circ < \gamma < 180^\circ$ ).
Тогава $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$ .
От синусовата теорема $\sin \gamma = \frac{c}{2R}$ , следователно $S = \frac{1}{2} \cdot ab \cdot \frac{c}{2R} = \frac{abc}{4R}$ .

∎

a/sin α = 11,4/0,868 = 13,13

b/sin β = 8,06/0,614 = 13,13

c/sin γ = 13/0,99 = 13,13

2R = 2 · 6,57 = 13,13

💡 Влачи върховете. Отношението на всяка страна към синуса на срещулежащия ъгъл е едно и също число – диаметърът на описаната окръжност.

Пример

Страните на триъгълник са $a = 7,\ b = 8$ и $c = 13$ . Да намерим най-големия ъгъл.

Най-големият ъгъл е срещу най-голямата страна – $\gamma$ срещу $c = 13$
$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{49 + 64 - 169}{112} = -\frac{56}{112} = -\frac{1}{2}$
$\gamma = 120^\circ$ (тъп ъгъл – косинусът е отрицателен)

Пример

В триъгълник $a = 6,\ \alpha = 30^\circ$ и $\beta = 45^\circ$ . Да намерим $b$ и $R$ .

Синусова теорема: $b = a \cdot \sin \beta / \sin \alpha = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} : \frac{1}{2} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49$
$2R = a / \sin \alpha = 6 : \frac{1}{2} = 12 \Rightarrow R = 6$

7. Тренажор: таблични стойности

Олимпиадните задачи очакват точните стойности наизуст. Колко поредни верни отговора можеш да постигнеш?

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

tg 30° = ?

8. Задачи от живота

За ъгли, които не са в таблицата, използвай калкулатор – но първо провери, че е в режим DEG (градуси)!

0 / 6

🪜 Стълба

Стълба с дължина 5 m е опряна на стена и сключва със земята ъгъл 70°. На каква височина достига горният ѝ край?

⛰️ Пътен знак

Знакът „Стръмен наклон 10%“ означава, че пътят се изкачва с 10 m на всеки 100 m по хоризонтала. Какъв ъгъл сключва пътят с хоризонталата?

🏢 Сграда

Стоиш на 30 m от сграда и виждаш върха ѝ под ъгъл 40° спрямо хоризонталата. Очите ти са на 1,6 m над земята. Колко е висока сградата?

🪁 Хвърчило

Конецът на хвърчило е опънат и дълъг 50 m, а ъгълът му с хоризонталата е 35°. На каква височина над ръката е хвърчилото?

🌊 Ширина на езеро

Не можем да измерим директно разстоянието между точките $A$ и $B$ на двата бряга на езеро. От точка $C$ на сушата измерваме $CA = 300\ \mathrm{m},\ CB = 400\ \mathrm{m}$ и $\angle ACB = 60^\circ$ . Колко е $AB$ ?

🌾 Нива

Триъгълна нива има две страни 40 m и 50 m, които сключват ъгъл 30°. Колко квадратни метра е тя?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

9. ⚠️ Чести грешки

Калкулатор в радиани

✗ $\displaystyle \sin 30 = -0{,}988$

✓ режим DEG: $\displaystyle \sin 30^\circ = 0{,}5$

Объркани отношения

✗ $\displaystyle \sin \alpha =$ противолежащ / прилежащ

✓ това е $\displaystyle \tg \alpha$ ; $\displaystyle \sin \alpha =$ противолежащ / хипотенуза

„Изваждане“ на числото пред ъгъла

✗ $\displaystyle \sin 60^\circ = 2 \cdot \sin 30^\circ = 1$

✓ $\displaystyle \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$

Знак при тъп ъгъл

✗ $\displaystyle \cos 120^\circ = \frac{1}{2}$

✓ $\displaystyle \cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$

Ъгъл по синус – изгубено решение

✗ $\displaystyle \sin \beta = \frac{1}{2} \Rightarrow \beta = 30^\circ$

✓ $\displaystyle \beta = 30^\circ$ или $\displaystyle \beta = 150^\circ$ (ако е възможно)

Косинусова теорема с грешен ъгъл

✗ $\displaystyle c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \alpha$

✓ ъгълът е срещу $\displaystyle c$ , т.е. между $\displaystyle a$ и $\displaystyle b$ : $\displaystyle \gamma$

10. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

В правоъгълен триъгълник $\displaystyle \sin \alpha$ е отношението на:

Избери отговор (или натисни 1–4)

11. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

✓ $\sin \alpha = \frac{a}{c},\ \cos \alpha = \frac{b}{c},\ \tg \alpha = \frac{a}{b}$ – зависят само от ъгъла ()
✓ 30°, 45°, 60°: $\sin = \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\cos$ – в обратен ред
✓ $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ ; $\tg \alpha = \sin \alpha / \cos \alpha$ ; $\sin (90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$
✓ Единична окръжност: $\cos \alpha = x,\ \sin \alpha = y$ ; $\sin (180^\circ - \alpha) = \sin \alpha,\ \cos (180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$
✓ Синусова теорема: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$
✓ Косинусова теорема: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma$
✓ Лице: $S = \tfrac{1}{2}ab \cdot \sin \gamma = \frac{abc}{4R}$
✓ Тъждествата следват от Питагор; синусовата теорема – от описаната окръжност; косинусовата – от координатите на върха $A(b\cos \gamma;\ b\sin \gamma)$

💡 Интересен факт

Думата „синус“ има странна история. Индийските астрономи наричали половин „джива“ – тетива на лък. Арабските учени заимствали думата като „джиба“, която се пише с едни и същи съгласни като „джайб“ – „пазва, гънка“. При превода на латински през XII век тя е предадена като sinus – „гънка, извивка“. Така, според най-разпространеното обяснение, тетивата на лъка се превърнала в „гънка“ заради една двусмислена дума.

1. Синус, косинус и тангенс на остър ъгъл

Тригонометрични функции на остър ъгъл

2. Стойности за 30°, 45° и 60°

3. Основни тъждества

Връзки между функциите на един ъгъл

Пример

4. Решаване на правоъгълен триъгълник

Пример

Пример

5. Ъгли до 180° и единичната окръжност

Формули за 180∘−α180^\circ - \alpha180∘−α

6. Синусова и косинусова теорема

Синусова теорема

Косинусова теорема

Лице чрез синус

Пример

Пример

7. Тренажор: таблични стойности

8. Задачи от живота

9. ⚠️ Чести грешки

10. 🎯 Бърз тест

В правоъгълен триъгълник sin⁡α\displaystyle \sin \alphasinα е отношението на:

11. 📝 Задачи за упражнение

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

Формули за $180^\circ - \alpha$

В правоъгълен триъгълник $\displaystyle \sin \alpha$ е отношението на: