Окръжност и кръг

1. Диаметърът е най-дълъг: за всяка хорда $AB$ по неравенството на триъгълника $AB \le OA + OB = 2r$. Равенство има само когато $O$ лежи върху $AB$, т.е. когато хордата е диаметър.
2. Перпендикулярът разполовява: триъгълникът $OAB$ е равнобедрен ($OA = OB = r$). В равнобедрен триъгълник височината към основата е и медиана, затова петата $H$ на перпендикуляра е средата на $AB$.
3. Равни хорди: от правоъгълния триъгълник $OHA$ разстоянието до центъра е $OH = \sqrt{r^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2}$. То зависи само от дължината на хордата – равни хорди са на равни разстояния.

∎

1. Допирателната има само една обща точка $T$ с окръжността, а всичките ѝ други точки са извън кръга – на разстояние, по-голямо от $r$ от центъра. Значи $OT$ е най-късата отсечка от $O$ до допирателната.
2. Най-късата отсечка от точка до права е перпендикулярът: всяка друга е хипотенуза в правоъгълен триъгълник и е по-дълга от катета. Затова $OT \perp$ допирателната.
3. Две допирателни: точка $T$ от окръжността е допирна точка за допирателна през $P$ точно когато $\angle OTP = 90^\circ$, т.е. когато $T$ лежи на окръжността с диаметър $OP$ (ъгъл, вписан в полуокръжност). Двете окръжности се пресичат в точно две точки $T_1$ и $T_2$.
4. Равни отсечки: правоъгълните триъгълници $OT_1P$ и $OT_2P$ имат обща хипотенуза $OP$ и катети $OT_1 = OT_2 = r$. По Питагор $PT_1 = PT_2 = \sqrt{OP^2 - r^2}$.

∎

1. Дължина: всички окръжности са подобни, затова отношението дължина : диаметър е едно и също за всички – това число наричаме $\pi$. Така $C = \pi d = 2\pi r$ е по-скоро определение на $\pi$, а методът на Архимед показва как да го пресметнем.
2. Лице: разрязваме кръга на много тесни еднакви сектора и ги нареждаме един до друг, редувайки върха нагоре и надолу. Получава се фигура, която прилича на успоредник.
3. Едната страна на „успоредника“ е половината от окръжността – $\pi r$, а височината му е $r$. Колкото по-тесни са секторите, толкова по-точно фигурата е правоъгълник с лице $\pi r \cdot r = \pi r^2$.
4. Строгото доказателство изисква гранични преходи (Архимед го прави, като притиска лицето между вписани и описани многоъгълници); тук показваме само идеята.

∎

1. Ако удвоим централния ъгъл, удвояват се и дъгата, и секторът – те са пропорционални на ъгъла. Пълният ъгъл $360^\circ$ отговаря на цялата окръжност $2\pi r$ и на целия кръг $\pi r^2$.
2. Затова ъгъл $\alpha$ отговаря на частта $\frac{\alpha}{360^\circ}$: $l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$ и $S = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$.
3. Връзка между двете: $$S = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} = \left(2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}\right) \cdot \frac{r}{2} = \frac{l \cdot r}{2}$$

∎

1. Случай 1 – едното рамо минава през центъра: вписаният ъгъл $\angle ACB$, като $CA$ е диаметър. Триъгълникът $OCB$ е равнобедрен ($OC = OB$), затова $\angle OBC = \angle OCB$. Централният ъгъл $\angle AOB$ е външен за този триъгълник: $\angle AOB = \angle OCB + \angle OBC = 2\angle ACB$.
2. Случай 2 – центърът е вътре в ъгъла: прекарваме диаметъра $CD$. Той разделя вписания ъгъл на два ъгъла, а централния – на два централни. За всяка половина важи случай 1, затова събираме: $\angle AOB = \angle AOD + \angle DOB = 2\angle ACD + 2\angle DCB = 2\angle ACB$.
3. Случай 3 – центърът е извън ъгъла: отново прекарваме диаметъра $CD$, но сега вписаният ъгъл е разлика на два ъгъла от случай 1 – изваждаме вместо да събираме.
4. Следствия: вписаните ъгли над една и съща дъга са равни, защото са половини от един и същ централен ъгъл. Ако дъгата е полуокръжност, централният ъгъл е $180^\circ$ и вписаният е $90^\circ$.

∎

1. Ъглите $A$ и $C$ са вписани и се опират на двете дъги $BD$, на които точките $B$ и $D$ делят окръжността. Съответните централни ъгли заедно са пълен ъгъл: $360^\circ$.
2. Всеки вписан ъгъл е половината от своя централен, затова $\angle A + \angle C = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$.
3. Обратното (идея): описваме окръжност около $ABD$. Ако $C$ е вътре в нея, $\angle C$ е по-голям от вписания ъгъл над дъгата $BD$; ако е извън нея – по-малък (сравняваме с външен ъгъл на триъгълник). И в двата случая $\angle A + \angle C \ne 180^\circ$, затова при $\angle A + \angle C = 180^\circ$ точката $C$ е върху окръжността.

∎