Квадратни уравнения

1. Какво е квадратно уравнение?

🤔 Загадка: Квадратна стая има лице $36\ \mathrm{m}^2$ . Колко е дълга стената? Лесно – $6\ \mathrm{m}$ . А ако стаята е с $5\ \mathrm{m}$ по-дълга, отколкото е широка, и лицето ѝ е $36\ \mathrm{m}^2$ ? Тогава $x(x + 5) = 36$ , т.е. $x^2 + 5x - 36 = 0$ . Отговорът ( $4\ \mathrm{m} \times 9\ \mathrm{m}$ ) вече не се вижда толкова лесно – затова ни трябват инструментите от този урок.

О

Квадратно уравнение

Уравнение от вида

ax^2 + bx + c = 0

, където

a

,

b

,

c

са числа и

a \ne 0

. Числото

a

е главният коефициент,

b

– коефициентът пред

x

,

c

– свободният член. Графиката на

y = ax^2 + bx + c

е парабола, а корените на уравнението са точките, в които тя пресича оста

Ox

.

Непълни квадратни уравнения

Когато $b$ или $c$ е 0, уравнението се решава бързо и без формула:

$b = 0$ : $ax^2 + c = 0$

Изразяваме $x^2$ и коренуваме – не забравяй ±!

$2x^2 - 18 = 0$

$x^2 = 9$

$x_1 = -3,\ x_2 = 3$

$c = 0$ : $ax^2 + bx = 0$

Изнасяме $x$ пред скоби – единият корен винаги е 0.

$3x^2 - 12x = 0$

$3x(x - 4) = 0$

$x_1 = 0,\ x_2 = 4$

2. Допълване до точен квадрат

Преди 1200 години, без отрицателни числа и без буквени означения, ал-Хорезми е решавал квадратни уравнения с... рисунки. Натисни бутона и виж как една фигура се превръща в точен квадрат.

📐 Задачата на ал-Хорезми (IX век)

x² + 10x = 39

x² е квадрат със страна x. Членът 10x разделяме на два правоъгълника 5 × x и ги долепяме отдясно и отдолу. Получаваме фигура с лице 39.

Ако направим същото с общото уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ , ще получим $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ . Изразът $b^2 - 4ac$ е толкова важен, че си има собствено име.

Доказателство: допълване до точен квадрат в общия случай

Делим на $a$ (може, защото $a \ne 0$ ): $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
Записваме средния член като удвоено произведение: $\frac{b}{a}x = 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a}$ . За точен квадрат липсва $\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}$ – прибавяме го и веднага го изваждаме: $x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + \frac{b^2}{4a^2}$ $- \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0$
Първите три събираеми са точният квадрат $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2$ (формулата $(p + q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$ ). Останалото прехвърляме вдясно: $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$ $= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
Това е точно същото, което направи ал-Хорезми с рисунката: при $a = 1,\ b = 10,\ c = -39$ ъгълчето $\left(\frac{b}{2}\right)^2 = 25$ е жълтият квадрат.

∎

3. Дискриминанта и формула за корените

Т

Формула за корените

Дискриминантата на

ax^2 + bx + c = 0

е

D = b^2 - 4ac

. Ако

D > 0

, уравнението има два различни корена

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}

; ако

D = 0

– един двоен корен

x = -\frac{b}{2a}

; ако

D < 0

– няма реални корени. Когато

b

е четно (

b = 2k

), е удобна съкратената формула

x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}

.

Доказателство на формулата за корените

Тръгваме от равенството от т. 2: $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{D}{4a^2}$ , където $D = b^2 - 4ac$ . Знаменателят $4a^2$ е положителен (защото $a \ne 0$ ), затова дясната страна има същия знак като $D$ .

Случай $D > 0$ : числото $x + \frac{b}{2a}$ има квадрат $\frac{D}{4a^2}$ , значи е равно на $\sqrt{\frac{D}{4a^2}} = \frac{\sqrt{D}}{2|a|}$ или на противоположното му. Знакът $\pm$ „поглъща“ модула, така че $x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{D}}{2a}$ , т.е. $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ Двата корена са различни, защото $\sqrt{D} \ne 0$ .
Случай $D = 0$ : получаваме $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = 0$ . Квадрат е 0 само когато основата е 0, затова $x = -\frac{b}{2a}$ . Формулата с $\pm$ дава същото число два пъти – оттам и името „двоен корен“.
Случай $D < 0$ : дясната страна е отрицателна, а квадратът на реално число никога не е отрицателен. Следователно няма реално $x$ , което да удовлетворява уравнението.
Всички преобразувания (деление на $a \ne 0$ , прибавяне на едно и също число към двете страни) са еквивалентни – затова намерихме всички корени и само тях.
Съкратената формула: при $b = 2k$ имаме $D = 4k^2 - 4ac = 4(k^2 - ac)$ и $\sqrt{D} = 2\sqrt{k^2 - ac}$ , откъдето $x_{1,2} = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ac}}{2a}$ $= \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

∎

Друго доказателство – без дроби

Приписва се на индийския математик Шридхара. Вместо да делим на $a$ , умножаваме по $4a$ .

$ax^2 + bx + c = 0 \iff 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0$ (умножихме по $4a \ne 0$ )
Прибавяме $b^2 - 4ac$ към двете страни: $4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac$
Отляво стои точен квадрат: $(2ax)^2 + 2 \cdot 2ax \cdot b + b^2 = (2ax + b)^2$ . Значи $(2ax + b)^2 = D$
При $D \ge 0$ : $2ax + b = \pm\sqrt{D}$ , откъдето $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ . При $D < 0$ квадрат не може да е равен на отрицателно число – корени няма.

∎

Промени коефициентите и наблюдавай как знакът на $D$ решава съдбата на параболата:

x² − 2x − 3 = 0

D = (−2)² − 4·(1)·(−3) = 16

a = 1b = −2c = −3

D > 0

Два различни реални корена – параболата пресича оста Ox в две точки

D = 0

Един двоен корен – параболата само докосва оста Ox с върха си

D < 0

Няма реални корени – параболата изобщо не достига оста Ox

Опитай: какво става с , когато a е отрицателно? А когато увеличаваш c?

Числото $-\frac{b}{2a}$ (без ±) е абсцисата на – корените са симетрично разположени около него. Формулата показва защо: $x_{1,2} = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{D}}{2a}$ – едно и също разстояние наляво и надясно от $-\frac{b}{2a}$ .

Пример

Да решим уравнението $x^2 - 5x + 6 = 0$

Коефициентите: $a = 1,\ b = -5,\ c = 6$
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$ – два корена
$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3,\ x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$
Проверка: $3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 0$ ✓ и $2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 0$ ✓

4. Формули на Виет и разлагане

Т

Теорема на Виет

Ако

x_1

и

x_2

са корените на

ax^2 + bx + c = 0

, то

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

и

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

. Обратно: числата

x_1

и

x_2

са корени на

x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0

. Следствие (разлагане на квадратния тричлен):

ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)

.

Доказателство на теоремата на Виет

Нека $D \ge 0$ и $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ . При $D = 0$ двойният корен се брои два пъти: $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$ .

Сбор – корените $\pm\sqrt{D}$ се унищожават: $x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ $= \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$
Произведение – по формулата $(p + q)(p - q) = p^2 - q^2$ : $x_1x_2 = \frac{(-b + \sqrt{D})(-b - \sqrt{D})}{4a^2} = \frac{b^2 - D}{4a^2}$ $= \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$
Разлагане – разкриваме скобите и заместваме сбора и произведението: $a(x - x_1)(x - x_2)$ $= a\left(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2\right)$ $= a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right)$ $= ax^2 + bx + c$
Обратното твърдение: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = (x - x_1)(x - x_2)$ , а произведение е 0 точно когато някой от множителите е 0, т.е. при $x = x_1$ или $x = x_2$ .
При $D < 0$ реални корени няма. Формулите на Виет остават верни и тогава – за двата комплексни корена (виж урока „Комплексни числа“).

∎

💡 Трик за устно решаване:

При $a = 1$ търсим две числа със сума $-b$ и произведение $c$ . За $x^2 - 7x + 12 = 0$ питаме: кои две числа дават сума 7 и произведение 12? Това са 3 и 4 – готово, без дискриминанта!

🔁 Уравнение по дадени корени

Избери корените – уравнението се „сглобява“ само. Виж как сборът и произведението им се появяват в коефициентите.

разложен вид

(x + 1)(x − 3) = 0

нормален вид

x² − 2x − 3 = 0

x₁ = −1x₂ = 3a = 1

Сбор на корените

x₁ + x₂ = 2 = −b/a = −(−2)/1 ✓

Произведение на корените

x₁ · x₂ = −3 = c/a = −3/1 ✓

При a = 1 уравнението с корени x₁ и x₂ е x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0 – обратната теорема на Виет. Корените са с различни знаци – тогава c/a < 0.

Пример

Без да решаваш уравнението $x^2 - 5x + 3 = 0$ , намери $x_1^2 + x_2^2$ .

По Виет: $x_1 + x_2 = 5,\ x_1x_2 = 3$
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
$= 25 - 6 = 19$
Корените са ирационални ( $\frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$ ), но сборът от квадратите им е цяло число!

5. Уравнения, които се свеждат до квадратни

Уравнение от вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$ се нарича биквадратно. Със смяната $t = x^2$ то става квадратно: $at^2 + bt + c = 0$ . Същата идея работи винаги, когато един израз се повтаря – например $(x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 12 = 0$ със смяна $t = x^2 + x$ .

🔀 Биквадратно уравнение: смяна t = x²

Уравнението от четвърта степен става квадратно спрямо t = x². Всеки положителен корен t дава два корена x = ±√t, а отрицателният – нито един.

x⁴ − 5x² + 4 = 0 → t² − 5t + 4 = 0

b = −5c = 4

4 реални корена: x = −2; −1; 1; 2

Пробвай b = −13, c = 36 (четири корена) или b = 3, c = 2 (нито един).

Пример

Да решим $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

Смяна $t = x^2$ ( $t \ge 0$ ): $t^2 - 10t + 9 = 0$
$t_1 = 1,\ t_2 = 9$ (по Виет: сбор 10, произведение 9)
$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ ; $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$
Отговор: четири корена $-3,\ -1,\ 1,\ 3$

6. Квадратни уравнения с параметър

Броят на корените зависи от знака на $D$ , а знаците им – от Виет: ако $\frac{c}{a} < 0$ , корените са с различни знаци; ако $\frac{c}{a} > 0$ – с еднакви, и тогава знакът на сбора $-\frac{b}{a}$ казва дали са положителни или отрицателни. Не забравяй случая $a = 0$ – тогава уравнението не е квадратно!

Защо работят правилата за знаците?

Ако $\frac{c}{a} < 0$ , то $ac < 0$ и $D = b^2 - 4ac > 0$ – уравнението винаги има два различни корена. Произведението им $x_1x_2 = \frac{c}{a}$ е отрицателно, а произведение на две числа е отрицателно само когато те са с различни знаци.
Ако $\frac{c}{a} > 0$ (и $D \ge 0$ , за да има корени), произведението $x_1x_2$ е положително: корените са с еднакви знаци и никой не е 0. Две положителни числа имат положителен сбор, две отрицателни – отрицателен, затова знакът на $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ е общият знак на корените.
Ако $c = 0$ , единият корен е 0: $ax^2 + bx = x(ax + b) = 0$ , а другият е $-\frac{b}{a}$ .

∎

Пример

За кои стойности на $m$ уравнението $x^2 - 6x + m = 0$ има два различни корена?

$D = 36 - 4m$
Два различни корена $\iff D > 0 \iff 36 - 4m > 0$
$m < 9$
При $m = 9$ – двоен корен $x = 3$ ; при $m > 9$ – няма реални корени

🎚️ Колко корена при всяко m?

Отляво е дискриминантата като функция на параметъра m, отдясно – параболата при избраното m. Знакът на D решава всичко.

Параметър m = 5

D = 9 > 0 – два корена: −4 и −1; и двата корена са отрицателни.

D = m² − 16: два корена при |m| > 4, двоен при m = ±4, няма при |m| < 4. Произведението е 4 > 0 – корените винаги са с еднакъв знак.

7. ⚠️ Чести грешки

Изгубен корен при коренуване

✗ $\displaystyle x^2 = 9 \to x = 3$

✓ $\displaystyle x = \pm 3$

Делене на $\displaystyle x$ (губим корена 0)

✗ $\displaystyle x^2 = 5x \to x = 5$

✓ $\displaystyle x^2 - 5x = 0 \to x(x - 5) = 0 \to x_1 = 0,\ x_2 = 5$

Знакът на $\displaystyle -b$ при отрицателно $\displaystyle b$

✗ $\displaystyle x^2 - 5x + 6 = 0 \to x = \frac{-5 \pm 1}{2}$

✓ $\displaystyle x = \frac{5 \pm 1}{2}$

Квадрат на отрицателно число

✗ $\displaystyle b = -4 \to b^2 = -16$

✓ $\displaystyle b^2 = (-4)^2 = 16$

$\displaystyle 2a$ дели само корена

✗ $\displaystyle x = -b \pm \sqrt{D} / 2a$

✓ $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ – дели се целият числител

Отрицателно $\displaystyle t$ при смяна $\displaystyle t = x^2$

✗ $\displaystyle t = -4 \to x = \pm 2$

✓ $\displaystyle t = -4 \to x^2 = -4$ няма решение

8. Задачи от живота

Квадратните уравнения се появяват навсякъде, където има лица, падане на предмети или броене на двойки. Внимавай – понякога единият корен няма смисъл в задачата!

0 / 5

⚽ Топка

Хвърляме топка нагоре. Височината ѝ след $t$ секунди е $h = 20t - 5t^2$ метра. Кога топката е на височина $15\ \mathrm{m}$ ?

🌻 Градина

Правоъгълна градина има периметър $26\ \mathrm{m}$ и лице $40\ \mathrm{m}^2$ . Какви са размерите ѝ?

🤝 Ръкостискания

След състезание всеки участник се ръкува с всеки друг точно веднъж. Имало е 45 ръкостискания. Колко са участниците?

🖼️ Рамка

Снимка $20\ \mathrm{cm} \times 30\ \mathrm{cm}$ е поставена в рамка с еднаква ширина от всички страни. Заедно с рамката лицето е $1200\ \mathrm{cm}^2$ . Колко е широка рамката?

🚆 Влакът

Влак изминава $120\ \mathrm{km}$ . Ако скоростта му беше с $20\ \mathrm{km/h}$ по-голяма, щеше да пристигне 1 час по-рано. Каква е скоростта му?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

9. Тренажор

Безкраен брой уравнения! Някои имат два корена, някои – двоен, а някои – нито един.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

x² − x − 12 = 0

x₁ =x₂ =

Подсказка: при двоен корен е достатъчно да попълниш едното поле. Опитай първо да познаеш корените с формулите на Виет!

10. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Реши уравнението: $\displaystyle x^2 - 7x + 12 = 0$

Избери отговор (или натисни 1–4)

11. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

✓ $ax^2 + bx + c = 0,\ a \ne 0$ ; непълните ( $b = 0$ или $c = 0$ ) се решават без формула
✓ $D = b^2 - 4ac$ : $D > 0$ – два корена, $D = 0$ – двоен, $D < 0$ – няма реални
✓ $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ ; върхът на параболата е при $x = -\frac{b}{2a}$
✓ Виет: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\ x_1x_2 = \frac{c}{a}$ ; $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$
✓ Формулата за корените се доказва с допълване до точен квадрат; Виет – като съберем и умножим двата корена
✓ Биквадратни и други уравнения – смяна на повтарящия се израз; $t = x^2$ не може да е отрицателно
✓ Параметър: знак на $D$ за броя на корените, Виет за знаците им, отделно случая $a = 0$

💡 Интересен факт

Формула за корените има и за уравненията от трета и четвърта степен – италианците Тарталя, Кардано и Ферари я намират през XVI век, след истински математически дуели. Но за пета степен двеста години никой не успява. През 1824 г. норвежецът Нилс Абел доказва защо: обща формула с корени за уравненията от пета степен не съществува. Скоро след това Еварист Галоа, загинал на 20 години в дуел, обяснява кои уравнения все пак могат да се решат така.

1. Какво е квадратно уравнение?

Квадратно уравнение

Непълни квадратни уравнения

2. Допълване до точен квадрат

📐 Задачата на ал-Хорезми (IX век)

3. Дискриминанта и формула за корените

Формула за корените

Пример

4. Формули на Виет и разлагане

Теорема на Виет

🔁 Уравнение по дадени корени

Пример

5. Уравнения, които се свеждат до квадратни

🔀 Биквадратно уравнение: смяна t = x²

Пример

6. Квадратни уравнения с параметър

Пример

🎚️ Колко корена при всяко m?

7. ⚠️ Чести грешки

8. Задачи от живота

9. Тренажор

10. 🎯 Бърз тест

Реши уравнението: x2−7x+12=0\displaystyle x^2 - 7x + 12 = 0x2−7x+12=0

11. 📝 Задачи за упражнение

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

Реши уравнението: $\displaystyle x^2 - 7x + 12 = 0$