Стереометрия

1. Махаме една стена и „разпъваме“ останалата повърхнина върху равнината (като гумена ципа). Получаваме мрежа от многоъгълници с $V$ върха, $E$ ръба и $F - 1$ области. Трябва да покажем, че за нея $V - E + (F - 1) = 1$.
2. Разделяме всеки многоъгълник на триъгълници с диагонали. Всеки нов диагонал добавя 1 ръб и 1 област – $V - E + F$ не се променя.
3. Махаме един по един триъгълниците от края на мрежата. Ако триъгълникът има една външна страна, губим 1 ръб и 1 област; ако има две – 1 връх, 2 ръба и 1 област. И в двата случая сборът $V - E + F$ се запазва.
4. Накрая остава един триъгълник: $3 - 3 + 1 = 1$. Значи и в началото $V - E + (F - 1) = 1$, т.е. $V - E + F = 2$.
5. Внимание: това е идеята. За пълното доказателство трябва да се покаже, че триъгълниците могат да се махат в такъв ред, че мрежата да не се „разпадне“ на части – това изисква повече грижа.

∎

1. Паралелепипед: при цели $a$, $b$, $c$ той се нарежда от $a \cdot b \cdot c$ единични кубчета. Диагонал: диагоналът на основата е $\sqrt{a^2 + b^2}$, а пространственият диагонал е хипотенуза с катети този диагонал и ръба $c$: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
2. Призма: нарязваме я на тънки слоеве, успоредни на основата. Всеки слой има лице $B$, както при паралелепипед със същата основа и височина. По принципа на Кавалиери обемите са равни: $V = B \cdot h$ (и за наклонена призма).
3. Пирамида: куб с ръб $a$ се разрязва на 3 еднакви пирамиди с общ връх в един от върховете на куба и основи – трите стени, които не минават през този връх. Всяка има основа $a^2$, височина $a$ и обем $\frac{a^3}{3} = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h$.
4. За произволна пирамида: сечението на височина $t$ е подобно на основата с коефициент $\frac{h - t}{h}$, затова лицето му е $B \cdot \left(\frac{h - t}{h}\right)^2$ – зависи само от $B$ и $h$. По принципа на Кавалиери всички пирамиди с равни $B$ и $h$ имат равни обеми, т.е. $V = \frac{1}{3} \cdot B \cdot h$.

∎

1. Цилиндър: сеченията са кръгове с лице $\pi r^2$ – като при призма с основа $\pi r^2$. По Кавалиери $V = \pi r^2h$. Околната повърхнина се развива в правоъгълник $2\pi r \times h$.
2. Конус: сечението на височина $t$ е кръг с лице $\pi r^2\left(\frac{h - t}{h}\right)^2$ – като при пирамида с основа $\pi r^2$ и височина $h$. Затова $V = \frac{1}{3}\pi r^2h$.
3. Околната повърхнина на конуса се развива в кръгов сектор с радиус $l$ и дъга $2\pi r$. Лицето на сектора е $\frac{1}{2} \cdot l \cdot 2\pi r = \pi rl$.
4. Кълбо (идеята на Архимед): сравняваме полукълбо с радиус $r$ с цилиндър с радиус $r$ и височина $r$, от който е изрязан конус с връх в центъра на долната основа. На височина $t$ сечението на полукълбото е кръг с лице $\pi(r^2 - t^2)$, а на второто тяло – пръстен с лице $\pi r^2 - \pi t^2$. Лицата са равни, значи и обемите: обемът на полукълбото е $\pi r^3 - \frac{1}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$, откъдето $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.
5. Сфера (идея): нарязваме кълбото на много тънки „пирамидки“ с връх в центъра, височина $r$ и основи, които покриват сферата. Сборът от обемите им е $\frac{1}{3} \cdot S \cdot r = \frac{4}{3}\pi r^3$, откъдето $S = 4\pi r^2$.

∎

1. Лица: всяка стена на тялото е равнинна фигура, подобна на старата с коефициент $k$, и лицето ѝ се умножава по $k^2$ (виж урока „Подобни триъгълници“). Значи и сборът от лицата – повърхнината.
2. Обем: единичното кубче става куб с ръб $k$ и обем $k^3$. Всяко тяло може да се приближи колкото искаме точно с малки кубчета, а при подобието всяко от тях се увеличава $k^3$ пъти – значи и целият обем.
3. Например при $k = 2$ кубът се нарязва на $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ кубчета, равни на стария.

∎