Сайтът все още се разработва и може да има грешки и неточности. Ако забележиш такава, пиши ни на ninelibera@gmail.com.

Системи уравнения

🐇 В старинния китайски сборник „Сунцзъ суан цзин“ (създаден някъде между III и V век) има задача, която и днес се решава в училище: „В клетка има фазани и зайци. Отгоре се виждат 35 глави, а отдолу – 94 крака. Колко са фазаните и колко са зайците?“ Неизвестните са две, условията – също две. Едно уравнение не стига, но две уравнения заедно – система – дават точния отговор. Ще я решим още в първия раздел.

1. Какво е система уравнения?

🤔 Загадка: Намислих две числа. Сборът им е 10, а разликата им е 4. Кои са? Едното условие само не стига – сбор 10 имат и 1 и 9, и 5 и 5. Но само 7 и 3 изпълняват и двете условия едновременно.

О

Система уравнения

Няколко уравнения, които трябва да са изпълнени едновременно, образуват система; записваме ги едно под друго и ги обединяваме с вертикална черта отляво. Решение на система с две неизвестни е наредена двойка (x; y), която превръща всяко от уравненията във вярно равенство. Да решим системата означава да намерим всички такива двойки (или да покажем, че няма).

Уравнението x+y=10x + y = 10 само по себе си има безброй решения: (1; 9), (2; 8), (2,5; 7,5)… Второто условие „отсява“ от тях само онези, които пасват и на него. Затова за две неизвестни обикновено са нужни две уравнения. Ето задачата за фазаните и зайците:

∣x+y=352x+4y=94\left|\begin{array}{l} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 94 \end{array}\right.

Пример

Нека xx е броят на фазаните (с по 2 крака), а yy – на зайците (с по 4 крака). Да решим системата.

  1. От първото уравнение: x=35−yx = 35 - y
  2. Заместваме във второто: 2(35−y)+4y=942(35 - y) + 4y = 94
  3. 70−2y+4y=94⇒2y=24⇒y=1270 - 2y + 4y = 94 \Rightarrow 2y = 24 \Rightarrow y = 12
  4. x=35−12=23x = 35 - 12 = 23
  5. Проверка: 23+12=3523 + 12 = 35 глави ✓; 2⋅23+4⋅12=46+48=942 \cdot 23 + 4 \cdot 12 = 46 + 48 = 94 крака ✓
  6. Отговор: 23 фазана и 12 зайци

2. Метод на заместването

Точно това направихме с фазаните: изразихме едното неизвестно чрез другото и го заместихме във второто уравнение. Така от две уравнения с две неизвестни получаваме едно уравнение с едно неизвестно – а него вече знаем как да решим.

1

Изразяваме

от по-удобното уравнение едното неизвестно чрез другото (търсим коефициент 1 или −1)

2

Заместваме

полученият израз във второто уравнение – остава едно неизвестно

3

Решаваме

линейното уравнение с едно неизвестно

4

Връщаме се

и намираме второто неизвестно от израза в стъпка 1

5

Проверка

двойката трябва да удовлетворява и двете уравнения

Пример

Да решим системата ∣x+2y=73x−y=7\left|\begin{array}{l} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 7 \end{array}\right.

  1. В първото уравнение xx е с коефициент 1: x=7−2yx = 7 - 2y
  2. Заместваме във второто: 3(7−2y)−y=73(7 - 2y) - y = 7
  3. 21−6y−y=7⇒−7y=−14⇒y=221 - 6y - y = 7 \Rightarrow -7y = -14 \Rightarrow y = 2
  4. x=7−2⋅2=3x = 7 - 2 \cdot 2 = 3
  5. Проверка: 3+4=73 + 4 = 7 ✓; 9−2=79 - 2 = 7 ✓. Отговор: (3; 2)

3. Метод на събирането

Когато никой коефициент не е 1, заместването води до дроби. Тогава умножаваме уравненията по подходящи числа, така че пред едно от неизвестните да се получат противоположни коефициенти, и ги събираме – това неизвестно изчезва.

Т

Защо можем да събираме уравнения?

Ако двойката (x;y)(x; y) удовлетворява двете уравнения, тя удовлетворява и всяка тяхна комбинация k1⋅(първото)+k2⋅(второто)k_1 \cdot (\text{първото}) + k_2 \cdot (\text{второто}). Затова, ако заменим едно от уравненията на системата с такава комбинация (при k1≠0k_1 \ne 0, когато заменяме първото), получаваме равносилна система – със същите решения.

Пример

Да решим системата ∣3x+2y=125x−3y=1\left|\begin{array}{l} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 3y = 1 \end{array}\right.

  1. Искаме пред yy да стои 6 и −6: умножаваме първото уравнение по 3, второто – по 2
  2. 9x+6y=369x + 6y = 36 и 10x−6y=210x - 6y = 2
  3. Събираме: 19x=38⇒x=219x = 38 \Rightarrow x = 2
  4. Заместваме в първото: 6+2y=12⇒y=36 + 2y = 12 \Rightarrow y = 3
  5. Отговор: (2; 3)

Опитай сам: подбери множителите k1k_1 и k2k_2 така, че yy (или xx) да изчезне. Наблюдавай жълтата пунктирна права – това е новото уравнение. Тя винаги минава през решението!

−4−2246−2240xy(2; 3)
1· ( 3x + 2y = 12 )
1· ( 5x − 3y = 1 )

8x − y = 13

Подбери множителите така, че коефициентите пред y (или пред x) да станат противоположни числа.

💡 Всяка комбинация k₁ · (първото) + k₂ · (второто) е права през същата точка. Когато y изчезне, правата става вертикална и направо показва x; когато изчезне x – хоризонтална.

4. Графичен смисъл. Колко решения има?

Графиката на уравнението ax+by=cax + by = c (ако aa и bb не са едновременно 0) е права. Решението на системата е точка, която лежи и на двете прави – тяхната пресечна точка. Две прави в равнината могат да бъдат разположени само по три начина:

Пресичат се → едно решение

x+y=5x + y = 5; x−y=1→(3; 2)x - y = 1 \to (3;\ 2)

Успоредни → няма решение

x+y=5x + y = 5; x+y=2→0=3x + y = 2 \to 0 = 3 ✗

Съвпадат → безброй решения

x+y=5x + y = 5; 2x+2y=10→0=02x + 2y = 10 \to 0 = 0

Дали правите се пресичат, зависи само от коефициентите пред xx и yy. Ако умножим първото уравнение по b2b_2, второто по b1b_1 и извадим, остава (a1b2−a2b1)x=c1b2−c2b1(a_1b_2 - a_2b_1)x = c_1b_2 - c_2b_1. Числото пред xx е толкова важно, че има име.

Т

Правило на Крамер

За системата ∣a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\left|\begin{array}{l} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{array}\right. въвеждаме детерминантите D=a1b2−a2b1D = a_1b_2 - a_2b_1, Dx=c1b2−c2b1D_x = c_1b_2 - c_2b_1 и Dy=a1c2−a2c1D_y = a_1c_2 - a_2c_1. Ако D≠0D \ne 0, системата има единствено решение x=DxD, y=DyDx = \frac{D_x}{D},\ y = \frac{D_y}{D}. Ако D=0D = 0, а Dx≠0D_x \ne 0 или Dy≠0D_y \ne 0 – няма решение. Ако D=Dx=Dy=0D = D_x = D_y = 0 (и във всяко уравнение поне един коефициент пред xx или yy е различен от 0) – решенията са безброй много.
−6−4−2246−4−2240xy(3; 2)

x + y = 5

x − y = 1

D =−2Dₓ =−6Dᵧ =−4

x = Dₓ/D = −6/(−2) = 3;   y = Dᵧ/D = −4/(−2) = 2

D ≠ 0 – правите се пресичат: единствено решение (3; 2)

💡 Решението на системата е общата точка на двете прави. D = a₁b₂ − a₂b₁ показва дали правите имат различен наклон: D ≠ 0 ⇔ пресичат се в една точка.

Пример

Да решим системата ∣3x−2y=14x+y=5\left|\begin{array}{l} 3x - 2y = 1 \\ 4x + y = 5 \end{array}\right. с детерминанти.

  1. D=3⋅1−4⋅(−2)=3+8=11≠0D = 3 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) = 3 + 8 = 11 \ne 0 – има единствено решение
  2. Dx=1⋅1−5⋅(−2)=11⇒x=1111=1D_x = 1 \cdot 1 - 5 \cdot (-2) = 11 \Rightarrow x = \frac{11}{11} = 1
  3. Dy=3⋅5−4⋅1=11⇒y=1111=1D_y = 3 \cdot 5 - 4 \cdot 1 = 11 \Rightarrow y = \frac{11}{11} = 1
  4. Отговор: (1; 1). Проверка: 3−2=13 - 2 = 1 ✓; 4+1=54 + 1 = 5 ✓

5. Системи с параметър

Когато в коефициентите има параметър, са най-краткият път: първо намираме стойностите, при които D=0D = 0 – там правите са успоредни или съвпадат – и ги разглеждаме отделно.

Пример

Да изследваме системата ∣ax+y=1x+ay=1\left|\begin{array}{l} ax + y = 1 \\ x + ay = 1 \end{array}\right. за всяка стойност на aa.

  1. D=a⋅a−1⋅1=a2−1=(a−1)(a+1)D = a \cdot a - 1 \cdot 1 = a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1); Dx=1⋅a−1⋅1=a−1D_x = 1 \cdot a - 1 \cdot 1 = a - 1; Dy=a⋅1−1⋅1=a−1D_y = a \cdot 1 - 1 \cdot 1 = a - 1
  2. a≠±1a \ne \pm 1: D≠0⇒x=y=a−1(a−1)(a+1)=1a+1D \ne 0 \Rightarrow x = y = \frac{a - 1}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{1}{a + 1} – единствено решение
  3. a=1a = 1: двете уравнения са x+y=1x + y = 1 – правите съвпадат, решенията са безброй много
  4. a=−1a = -1: −x+y=1-x + y = 1 и x−y=1x - y = 1, т.е. y=x+1y = x + 1 и y=x−1y = x - 1 – успоредни прави, няма решение

6. Нелинейни системи

Ако едното уравнение е линейно, а другото – квадратно (например x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 или xy=6xy = 6), пак работи заместването: изразяваме неизвестно от и получаваме . Затова решенията може да са две, едно или нито едно.

Пример

Да решим системата ∣x2+y2=25x−y=1\left|\begin{array}{l} x^2 + y^2 = 25 \\ x - y = 1 \end{array}\right.

  1. От второто уравнение: x=y+1x = y + 1
  2. Заместваме: (y+1)2+y2=25⇒2y2+2y−24=0⇒y2+y−12=0(y + 1)^2 + y^2 = 25 \Rightarrow 2y^2 + 2y - 24 = 0 \Rightarrow y^2 + y - 12 = 0
  3. y=3y = 3 или y=−4y = -4; съответно x=4x = 4 или x=−3x = -3
  4. Отговор: (4;3)(4; 3) и (−3;−4)(-3; -4) – правата пресича окръжността в две точки
Т

Симетрични системи и формулите на Виет

Ако x+y=sx + y = s и xy=pxy = p, то xx и yy са корените на квадратното уравнение t2−st+p=0t^2 - st + p = 0. Ако корените са t1t_1 и t2t_2, решенията на системата са (t1;t2)(t_1; t_2) и (t2;t1)(t_2; t_1). Полезни тъждества: x2+y2=s2−2px^2 + y^2 = s^2 - 2p и x3+y3=s3−3psx^3 + y^3 = s^3 - 3ps.

Пример

Да решим системата ∣x+y=5xy=6\left|\begin{array}{l} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{array}\right.

  1. xx и yy са корените на t2−5t+6=0t^2 - 5t + 6 = 0
  2. t1=2, t2=3t_1 = 2,\ t_2 = 3
  3. Отговор: (2; 3) и (3; 2) – не забравяй и двете наредени двойки!
−5−4−3−2−112345−2−1123456780xy(−1; 1)(2; 4)y = x + 2

x² = x + 2 ⇒ x² − x − 2 = 0

D = 9

D > 0 – две общи точки: (−1; 1) и (2; 4)

💡 Заместваме y от линейното уравнение в нелинейното и получаваме квадратно уравнение за x. Неговата дискриминанта казва колко общи точки имат правата и кривата.

7. От текст към система

При текстовите задачи системата често е по-естествена от едно уравнение: всяко условие в текста става отделно уравнение. Означи двете неизвестни, запиши по едно уравнение за всяко условие, реши и провери дали отговорът има смисъл (брой хора не може да е дробен или отрицателен).

0 / 6

🎬 Кино

Билет за възрастен струва 12 €, а за дете – 7 €. Семейство с приятели купува 9 билета и плаща 83 €. Колко възрастни и колко деца има в групата?

🚤 Лодка по река

Лодка изминава 36 km по течението на реката за 2 часа, а обратно, срещу течението – за 3 часа. Каква е скоростта на лодката в спокойна вода и каква – на течението?

🧪 Смесване на разтвори

Колко грама 30% и колко грама 70% солен разтвор трябва да смесим, за да получим 200 g 40% разтвор?

🪙 Касичка

В касичка има 20 монети – само по 1 € и по 2 €, общо 31 €. Колко монети от всеки вид има?

🔢 Двуцифрено число

Сборът на цифрите на двуцифрено число е 9. Ако разменим цифрите, числото се увеличава с 27. Кое е числото?

🏡 Градина

Правоъгълна градина има периметър 34 m34\ \mathrm{m} и лице 60 m260\ \mathrm{m}^2. Какви са размерите ѝ?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

Умножена е само лявата страна

✗ (2x+y=5)⋅3→6x+3y=5\displaystyle (2x + y = 5) \cdot 3 \to 6x + 3y = 5

✓ 6x+3y=15\displaystyle 6x + 3y = 15

Знак при изваждане на уравнения

✗ (3x+2y=12)−(3x−4y=6)→−2y=6\displaystyle (3x + 2y = 12) - (3x - 4y = 6) \to -2y = 6

✓ 2y−(−4y)=6y⇒6y=6\displaystyle 2y - (-4y) = 6y \Rightarrow 6y = 6

Отговорът е само едно число

✗ намерихме x=3→\displaystyle x = 3 \to „отговор: 3“

✓ отговор: двойката (3; 2)

Изгубено решение при симетрична система

✗ x+y=5, xy=6→\displaystyle x + y = 5,\ xy = 6 \to само (2; 3)

✓ (2; 3) и (3; 2)

Проверка само в едното уравнение

✗ (1; 3) пасва на x+y=4→\displaystyle x + y = 4 \to решение

✓ проверяваме и в двете уравнения

Делене на D\displaystyle D, без да проверим D≠0\displaystyle D \ne 0

✗ x=a−1a2−1\displaystyle x = \frac{a - 1}{a^2 - 1} за всяко a\displaystyle a

✓ при a=±1\displaystyle a = \pm 1 отделно изследване

9. Тренажор

Безкраен брой системи с цели решения. Избери метод, реши и въведи xx и yy.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0
−5x + 2y = 53x + y = −14

10. 🎯 Бърз тест

1 / 9
✓ 0

Коя двойка е решение на системата ∣x+y=7x−y=1?\left|\begin{array}{l} x + y = 7 \\ x - y = 1 \end{array}\right.?

11. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Ниво В· Национален кръг

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Ниво С· Международна олимпиада

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

12. Обобщение

  • ✓ Решение на система с две неизвестни е наредена двойка (x; y), която удовлетворява всяко уравнение
  • ✓ Заместване: изразяваме едното неизвестно и го заместваме в другото уравнение
  • ✓ Събиране: умножаваме уравненията така, че едно неизвестно да изчезне при събирането им
  • ✓ Графично: решението е пресечната точка на правите – пресичат се, успоредни са или съвпадат
  • ✓ Крамер: D=a1b2−a2b1D = a_1b_2 - a_2b_1; при D≠0D \ne 0 – x=DxD, y=DyDx = \frac{D_x}{D},\ y = \frac{D_y}{D}
  • ✓ Параметър: първо разглеждаме стойностите, при които D=0D = 0
  • ✓ Нелинейни системи: заместване → квадратно уравнение; симетрични – чрез x+y=s, xy=px + y = s,\ xy = p

💡 Интересен факт

Методът на събирането е много стар. В осмата глава на китайския трактат „Девет глави за математическото изкуство“ (окончателно оформен около I–II век) системите се записват като таблици от числа и се решават, като от един ред се изважда кратно на друг – по същество методът, който в Европа днес носи името на Гаус (XIX век). А формулите с детерминанти Габриел Крамер публикува през 1750 г., макар че Колин Маклорен ги е познавал малко по-рано.