Вероятности и статистика

🎲 През 1654 г. френският писател и комарджия Шевалие дьо Мере пита Блез Паскал защо губи пари. Залагал, че при 4 хвърляния на зар ще се падне поне една шестица – и печелел. После заложил, че при 24 хвърляния на два зара ще се падне поне една двойна шестица – и започнал да губи. Нали $\frac{4}{6} = \frac{24}{36}$ ? Паскал и Пиер дьо Ферма разменят писма за подобни задачи и полагат основите на теорията на вероятностите. Отговорът: първият залог печели с вероятност около 51,8%, а вторият – само около 49,1%.

1. Случайни събития и вероятност

🤔 Загадка: Хвърляме два зара. Кое е по-вероятно – сбор 11 или сбор 12? Мнозина казват „еднакво – по един начин“. Но 11 се получава като $5 + 6$ и като $6 + 5$ – два различни изхода! Сборът 11 е два пъти по-вероятен от 12.

Класическа вероятност

Ако опитът има

n

равновероятни изхода и

m

от тях са благоприятни за събитието

A

, вероятността на

A

P(A) = \frac{m}{n}

. Винаги

0 \le P(A) \le 1

; невъзможното събитие има вероятност 0, а сигурното – 1. Вероятността често се изразява и в проценти.

Защо

0 \le P(A) \le 1

Благоприятните изходи са част от всички, затова $0 \le m \le n$ . Делим на $n > 0$ : $0 \le \frac{m}{n} \le 1$ .
Невъзможното събитие няма благоприятни изходи ( $m = 0$ ), а за сигурното всички изходи са благоприятни ( $m = n$ ).

∎

🎲🎲 Два зара

36-те наредени двойки (първи зар; втори зар) са равновероятни. Броим кои от тях са благоприятни за събитието.

⚀⚁⚂⚃⚄⚅

⚀234567

⚁345678

⚂456789

⚃5678910

⚄67891011

⚅789101112

P(сборът е 7) = 6/36 = 1/6 ≈ 16,7%

Сборът 7 е най-вероятен – получава се по 6 начина. А 2 и 12 – само по един. Сборовете не са равновероятни!

2. Честота и закон за големите числа

Вероятността $\frac{1}{6}$ не значи, че на всеки 6 хвърляния ще има точно една шестица. Значи, че при много хвърляния делът на шестиците ще бъде близо до $\frac{1}{6}$ . Това е законът за големите числа – и затова казината винаги печелят в дългосрочен план.

Относителна честота

Ако при

N

опита събитието

A

се е случило

k

пъти, отношението

\frac{k}{N}

е относителната му честота. При голям брой независими опити относителната честота се доближава до вероятността

P(A)

🎲 Закон за големите числа

При малко опити честотата скача насам-натам. При много опити тя се „успокоява“ около вероятността – пунктирната линия.

Честота: 0 / 0 = 0 (вероятност 0,1667)

3. Броене: правило за умножение, пермутации и комбинации

Основни правила за броене

Правило за умножение: ако първият избор може да се направи по

m

начина, а след него вторият – по

n

начина, двата заедно се правят по

m \cdot n

начина. Пермутации:

n

различни предмета могат да се наредят по

n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n

начина. Комбинации:

k

предмета от

n

(без значение от реда) могат да се изберат по

C(n,\ k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}

начина.

Пример

От 7 ученици избираме комисия от 3. Каква е вероятността Ани (една от седемте) да е в нея?

Всички комисии: $C(7,\ 3) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$
Комисии с Ани: избираме още 2 от останалите 6: $C(6,\ 2) = 15$
$P = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$

4. Правила за вероятностите

Противоположно събитие, сбор и произведение

Противоположно събитие:

P(\text{не } A) = 1 - P(A)

. Несъвместими събития (не могат да се случат едновременно):

P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B)

. Независими събития (едното не влияе на другото):

P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B)

. Полезен трик: „поне едно“

= 1 -

„нито едно“.

Доказателство на правилата (при равновероятни изходи)

Противоположно събитие: от всички $n$ изхода $m$ са благоприятни за $A$ , а останалите $n - m$ – за „не $A$ “. Затова $P(\text{не } A) = \frac{n - m}{n} = 1 - \frac{m}{n} = 1 - P(A)$ .
Несъвместими събития: благоприятните изходи за $A$ и за $B$ нямат общи. По правилото за събиране благоприятните за „ $A$ или $B$ “ са $m_A + m_B$ и $P = \frac{m_A + m_B}{n} = P(A) + P(B)$ .
Ако събитията могат да се случат заедно, изходите, общи за $A$ и $B$ , са преброени два пъти. Изваждаме ги веднъж: $P(A \text{ или } B)$ $= P(A) + P(B) - P(A \text{ и } B)$
Независими събития от два отделни опита (например два зара): по правилото за умножение двойките изходи са $n_1 \cdot n_2$ , а благоприятните двойки – $m_1 \cdot m_2$ . Значи $P(A \text{ и } B) = \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2}$ $= \frac{m_1}{n_1} \cdot \frac{m_2}{n_2} = P(A) \cdot P(B)$

∎

Пример

Да решим задачата на дьо Мере: каква е вероятността при 4 хвърляния на зар да се падне поне една шестица?

Противоположното събитие: нито една шестица – всяко хвърляне дава едно от 5-те други числа: $\left(\frac{5}{6}\right)^4$
$P(\text{поне една шестица}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 0{,}518$
Двойна шестица при 24 хвърляния на два зара: $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 0{,}491$ – вече под $\frac{1}{2}$ !

Пример

В кутия има 3 червени и 2 сини топки. Вадим две една след друга, без да връщаме. Каква е вероятността и двете да са червени?

Първата е червена: $\frac{3}{5}$
Ако първата е била червена, остават 2 червени от 4: $\frac{2}{4}$
$P = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

5. Статистика: средно, медиана, мода

Характеристики на данни

Средно аритметично: сборът на стойностите, разделен на броя им. Медиана: средната стойност в подредените данни (при четен брой – средното на двете средни). Мода: най-често срещаната стойност. Размах: най-голямата минус най-малката стойност. Стандартното отклонение

\sigma

показва колко средно се отдалечават стойностите от средното.

📊 Средно или медиана?

Влачи точките. Дръпни една стойност далеч надясно – средното тръгва след нея, а медианата почти не помръдва.

n =7средно ▲15,29медиана ◆12мода12размах31σ ≈10,17

подредени: 9, 10, 11, 12, 12, 13, 40

Средното и медианата се разминават – има „екстремна“ стойност. Тогава медианата описва типичния случай по-добре.

Защо средното аритметично е „центърът“ на данните?

Нека $\bar{x}$ е средното на числата $x_1, \ldots, x_n$ . Отклоненията от средното имат сбор 0: $(x_1 - \bar{x}) + \ldots + (x_n - \bar{x}) = (x_1 + \ldots + x_n) - n\bar{x} = 0$ .
За всяко число $a$ записваме $x_i - a = (x_i - \bar{x}) + (\bar{x} - a)$ и повдигаме на квадрат. Удвоените произведения дават $2(\bar{x} - a) \cdot 0 = 0$ , затова $\sum (x_i - a)^2 = \sum (x_i - \bar{x})^2 + n(\bar{x} - a)^2$
Последното събираемо е неотрицателно и е 0 само при $a = \bar{x}$ . Значи сборът от квадратите на отклоненията е най-малък точно спрямо средното – затова стандартното отклонение се мери от средното.

∎

Пример

Данни: 2, 3, 3, 5, 7, 10. Намерете средното, медианата и модата.

Средно: $(2 + 3 + 3 + 5 + 7 + 10) : 6 = 30 : 6 = 5$
Медиана: двете средни стойности са 3 и 5 $\Rightarrow \frac{3 + 5}{2} = 4$
Мода: 3 (среща се два пъти); размах: $10 - 2 = 8$

6. Тренажор

Класическа вероятност: преброй благоприятните изходи и всички изходи.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

Хвърляме зар. Каква е вероятността да се падне число, по-голямо от 4?

P =

Можеш да пишеш дроб (3/8), десетично число (0,375) или процент (37,5%).

7. Задачи от живота

0 / 6

🎟️ Томбола

В томбола има 50 билета, от които 2 са печеливши. Купуваш един билет. Каква е вероятността да спечелиш (в проценти)?

📚 Среден успех

Оценките на Мария по математика са 4, 5, 6, 6 и 3. Какъв е средният ѝ успех?

💼 Заплати във фирма

В малка фирма заплатите на петимата служители са 1000, 1100, 1200, 1300 и 9000 € (последната е на директора). Намерете средната заплата и медианата.

👧👦 Две деца

В семейство има две деца. Ако приемем, че момче и момиче са еднакво вероятни, каква е вероятността децата да са от различен пол (в проценти)?

🌧️ Прогноза

Вероятността за дъжд в събота е 30%, в неделя – също 30%, независимо от съботата. Каква е вероятността да вали поне в единия ден (в проценти)?

🔐 ПИН код

Някой се опитва да познае 4-цифрен ПИН код (от 0000 до 9999), като има 3 опита и не повтаря кодове. Каква е вероятността да успее (в проценти)?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

Грешката на играча

✗ 5 пъти ези $\displaystyle \Rightarrow$ сега „трябва“ да е тура

✓ монетата няма памет: $\displaystyle P = \frac{1}{2}$

„Поне едно“ чрез умножение по $\displaystyle n$

✗ поне една 6 от 4 хвърляния: $\displaystyle 4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$

✓ $\displaystyle 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 \approx 0{,}518$

Неравновероятни „изходи“

✗ сборът на два зара е $\displaystyle 2,\ 3,\ \ldots ,\ 12 \Rightarrow P(12) = \frac{1}{11}$

✓ 36 равновероятни двойки $\displaystyle \Rightarrow P(12) = \frac{1}{36}$

Сбор на съвместими събития

✗ $\displaystyle P(\text{четно или } > 3) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

✓ изходи $\displaystyle 2,\ 4,\ 5,\ 6 \Rightarrow \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Средното като „типично“

✗ средна заплата 2720 € ⇒ повечето получават ~2720 €

✓ при екстремни стойности гледаме медианата

Вероятност извън $\displaystyle [0;\ 1]$

✗ $\displaystyle P = \frac{7}{5}$

✓ винаги $\displaystyle 0 \le P \le 1$ – иначе има грешка в броенето

9. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Каква е вероятността при хвърляне на зар да се падне четно число?

Избери отговор (или натисни 1–4)

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

✓ $P(A) = \frac{\text{благоприятни}}{\text{всички}}$ (при равновероятни изходи); $0 \le P \le 1$
✓ Честотата се доближава до вероятността при много опити
✓ Правилата за вероятностите се доказват с броене на благоприятните изходи – правилата за събиране и умножение
✓ Броене: $m \cdot n$ ; $n!$ ; $C(n,\ k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}$
✓ $P(\text{не } A) = 1 - P(A)$ ; „поне едно“ $= 1 -$ „нито едно“
✓ Несъвместими: събираме; независими: умножаваме
✓ Средно, медиана, мода, размах; при екстремни стойности – медианата

💡 Интересен факт

През 1990 г. задачата на Монти Хол е публикувана в американско списание заедно с верния отговор „сменете вратата“. Редакцията получава хиляди писма с твърдения, че отговорът е грешен – сред тях и от хора с научни степени. Компютърните симулации обаче бързо потвърждават $\frac{2}{3}$ . Вероятностите често противоречат на интуицията – затова си струва да ги пресмятаме.