Постоянен ток — урок по физика

1. Електричен ток

В металите има свободни електрони, които се движат хаотично. Когато в има (виж Електростатика), върху хаотичното движение се наслагва бавно насочено „дрейфово“ движение – това е електричният ток.

О

Сила на тока

Силата на тока е зарядът, който минава през напречното сечение на проводника за единица време:

I = \frac{q}{t}

. Единицата е ампер:

1\ \mathrm{A} = 1\ \mathrm{C/s}

. За посока на тока по договорка се приема посоката на движение на положителните заряди – от + към − по външната верига. Електроните се движат в обратна посока.

Електроните в проводника се придвижват изненадващо бавно – обикновено под милиметър в секунда. Лампата обаче светва веднага, защото полето, което ги тласка, се разпространява по проводника почти със скоростта на светлината и всички електрони тръгват едновременно – като вода в пълен маркуч.

Пример

През лампа минава ток 0,5 A. Какъв заряд минава през нея за 1 минута и колко електрона са това?

$q = It = 0{,}5 \cdot 60 = 30\ \mathrm{C}$
$N = \frac{q}{e} = \frac{30}{1{,}602 \cdot 10^{-19}} \approx 1{,}87 \cdot 10^{20}$ електрона

2. Напрежение, съпротивление и закон на Ом

Напрежението $U$ между две точки показва каква работа извършва полето, за да премести единица : $U = \frac{A}{q}$ , $1\ \mathrm{V} = 1\ \mathrm{J/C}$ . Батерия от 9 V дава на всеки кулон заряд 9 J енергия.

Т

Закон на Ом за участък от верига

Силата на тока през проводник е правопропорционална на напрежението между краищата му:

I = \frac{U}{R}

. Коефициентът

R

е съпротивлението на проводника; единицата е ом:

1\ \Omega = 1\ \mathrm{V/A}

.

Т

Съпротивление на проводник

R = \rho\frac{l}{S}

, където

l

е дължината,

S

– напречното сечение, а

\rho

– специфичното съпротивление на материала (в

\Omega \cdot \mathrm{m}

). При металите съпротивлението расте с температурата.

Материал	$\rho,\ \Omega \cdot \mathrm{m}$ (при 20 °C)
сребро	$1{,}6 \cdot 10^{-8}$
мед	$1{,}7 \cdot 10^{-8}$
алуминий	$2{,}8 \cdot 10^{-8}$
желязо	$1{,}0 \cdot 10^{-7}$
нихром	$1{,}1 \cdot 10^{-6}$

Пример

Колко е съпротивлението на меден проводник с дължина 100 m и сечение 1,5 mm²?

$S = 1{,}5\ \mathrm{mm^2} = 1{,}5 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^2}$
$R = 1{,}7 \cdot 10^{-8} \cdot \frac{100}{1{,}5 \cdot 10^{-6}} \approx 1{,}13\ \Omega$ – затова медта е добър материал за кабели, а нихромът – за нагреватели.

Законът на Ом не важи за всички елементи. При лампата жичката се нагорещява и съпротивлението ѝ расте, а диодът пропуска ток почти само в едната посока. Зависимостта $I(U)$ се нарича волт-амперна характеристика – при резистора тя е права линия.

U, V6

U =6 VI =0,3 AR = U/I =20 Ω

Права линия през началото: токът е пропорционален на напрежението – законът на Ом важи.

💡 Сините точки са електрони. Те се движат обратно на условната посока на тока (от + към − по външната верига) и в действителност много по-бавно – под милиметър в секунда. Графиката I(U) се нарича волт-амперна характеристика.

3. Последователно и успоредно свързване

Т

Последователно свързване

През всички елементи тече един и същ ток, а напреженията се събират:

U = U_1 + U_2

. Общото съпротивление е

R = R_1 + R_2

. Ако един елемент прекъсне веригата, токът спира навсякъде.

Т

Успоредно свързване

Всички елементи са под едно и също напрежение, а токовете се събират:

I = I_1 + I_2

. Общото съпротивление се намира от

\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}

и е по-малко от най-малкото съпротивление. Затова уредите вкъщи са свързани успоредно.

Амперметърът се свързва последователно на елемента (и има много малко съпротивление), а волтметърът – успоредно (и има много голямо съпротивление), за да не променят тока във веригата.

Пример

Делител на напрежение: резистори 2 kΩ и 4 kΩ са свързани последователно към 9 V. Какво напрежение има върху всеки?

$I = \frac{9}{6000} = 1{,}5 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{A} = 1{,}5\ \mathrm{mA}$
$U_1 = IR_1 = 3\ \mathrm{V}$ , $U_2 = IR_2 = 6\ \mathrm{V}$
Напрежението се дели в отношението на съпротивленията – така работят много датчици.

L1:U =12 VI =0,5 AP =6 W

Една лампа на 12 V: ток 0,5 A, мощност 6 W. Натисни лампата, за да я развиеш.

💡 Всички лампи са еднакви: 12 V / 6 W, т.е. 24 Ω. Яркостта на ореола е пропорционална на мощността P = I²R. За простота приемаме, че съпротивлението не зависи от температурата (виж първата лаборатория – при истинска лампа то расте).

4. Правила на Кирхоф

Сложните вериги с няколко източника не се свеждат до последователни и успоредни части. За тях Густав Кирхоф формулира две правила (1845 г.).

Т

Правила на Кирхоф

1) Във всеки възел сумата на влизащите токове е равна на сумата на излизащите – зарядът не се натрупва. 2) По всеки затворен контур сумата от ЕДН е равна на сумата от напреженията

IR

върху съпротивленията (със знаци според избраната посока на обхождане).

Пример

Две батерии $\mathcal{E}_1 = 10\ \mathrm{V}$ (с $R_1 = 1\ \Omega$ в клона си) и $\mathcal{E}_2 = 8\ \mathrm{V}$ (с $R_2 = 2\ \Omega$ ) захранват заедно общ резистор $R_3 = 2\ \Omega$ . Плюсовете им гледат към един и същ възел. Намерете токовете.

Възел: $I_3 = I_1 + I_2$
Контур 1: $10 = 1 \cdot I_1 + 2I_3$ ; контур 2: $8 = 2I_2 + 2I_3$
От тях $I_1 = 10 - 2I_3$ и $I_2 = 4 - I_3$ , т.е. $I_3 = 14 - 3I_3 \Rightarrow I_3 = 3{,}5\ \mathrm{A}$
$I_1 = 3\ \mathrm{A}$ , $I_2 = 0{,}5\ \mathrm{A}$ . Проверка: $1 \cdot 3 + 2 \cdot 3{,}5 = 10$ ✓

Ако някой ток излезе отрицателен, просто тече обратно на посоката, която сме предположили.

5. Работа и мощност на тока

Т

Работа и мощност

За време

t

токът извършва работа

W = UIt

. Мощността е

P = UI = I^2R = \frac{U^2}{R}

. Във всеки резистор тази енергия се превръща в топлина (закон на Джаул–Ленц:

Q = I^2Rt

). Електроенергията се мери в киловатчасове:

1\ \mathrm{kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6\ \mathrm{J}

.

Отделянето на топлина е полезно в котлони и бойлери (виж Температура и топлина), но вредно в кабелите. Твърде голям ток прегрява проводниците – затова във всяко жилище има предпазители, които прекъсват веригата при претоварване или късо съединение. е същото понятие като в механиката (виж Работа, енергия, мощност).

Пример

Радиатор от 2000 W работи по 3 часа на ден. Колко струва това за ден и за месец (30 дни) при 0,15 €/kWh?

$W = 2\ \mathrm{kW} \cdot 3\ \mathrm{h} = 6\ \mathrm{kWh}$ на ден
$6 \cdot 0{,}15 = 0{,}90$ € на ден, т.е. $27$ € за 30 дни

⚠️ Мрежовото напрежение от 230 V е опасно за живота. Колко ток ще мине през тялото, зависи от много неща (влажна кожа, път през тялото), но още токове от десетки милиампера могат да бъдат опасни. Никога не пипай оголени проводници и не използвай уреди с повреден кабел или близо до вода.

6. ЕДН и вътрешно съпротивление

Т

Закон на Ом за цялата верига

Източникът има електродвижещо напрежение (ЕДН)

\mathcal{E}

– работата на външните (например химичните) сили за единица заряд – и вътрешно съпротивление

r

. Токът е

I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}

, а напрежението на клемите е

U = \mathcal{E} - Ir

. При късо съединение (

R = 0

) токът е най-голям:

I = \frac{\mathcal{E}}{r}

.

Пример

Акумулатор с $\mathcal{E} = 12\ \mathrm{V}$ и $r = 0{,}5\ \Omega$ захранва лампа с $R = 5{,}5\ \Omega$ . Намерете тока, напрежението на клемите и мощността на лампата.

$I = \frac{12}{5{,}5 + 0{,}5} = 2\ \mathrm{A}$
$U = 12 - 2 \cdot 0{,}5 = 11\ \mathrm{V}$
$P = UI = 22\ \mathrm{W}$ , а $I^2r = 2\ \mathrm{W}$ загрява самия акумулатор.

Мощността в товара $P = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R + r)^2}$ е най-голяма при $R = r$ и тогава е $\frac{\mathcal{E}^2}{4r}$ . Но точно тогава половината енергия се губи в източника – е 50%. Затова в електроцентралите се стремят към $R \gg r$ .

ℰ, V9r, Ω2R, Ω6

I = ℰ/(R + r) =1,13 AU = ℰ − Ir =6,75 VP =7,6 Wη =75%

Колкото по-голямо е R, толкова по-близо е U до ℰ и по-висок КПД, но мощността в товара намалява.

💡 Волтметърът показва напрежението на клемите U = ℰ − Ir. Без ток (R → ∞) то е равно на ЕДН; при късо съединение (R = 0) пада до нула. Зелената линия отбелязва максимума на мощността при R = r.

Как се трупа заряд и енергия в електричното поле, ще видим в урока Кондензатори.

7. Тренажор

Пресметни исканата величина. Десетичните отговори въвеждай като 2,5.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

U = 6\ \mathrm{V}, \quad R = 2\ \Omega

Мощност: $P = ?\ \mathrm{W}$

8. Токът около нас

0 / 6

🫖 Електрическа кана

Кана с мощност 2000 W е включена в мрежата 230 V. Какъв ток тече през нея и какво е съпротивлението на нагревателя ѝ?

💡 LED вместо обикновена крушка

Крушка с нажежаема жичка 60 W свети по 5 часа на ден. Колко евро на месец (30 дни) спестяваме, ако я сменим с LED лампа 10 W, която свети също толкова? Цена на тока 0,15 €/kWh.

🔌 Разклонител

На разклонител пише „макс. 16 A, 230 V“. Каква е най-голямата обща мощност на уредите, които можем да включим в него? Може ли едновременно кана 2000 W и радиатор 2000 W?

📱 Батерия на телефон

На батерия на телефон пише 4000 mAh и 3,85 V. Колко ватчаса енергия събира тя?

🚗 Палене на кола

Акумулатор на кола има ЕДН 12,6 V и вътрешно съпротивление 0,01 Ω. При палене стартерът тегли 150 A. Какво напрежение остава на клемите?

🐌 Колко бавни са електроните?

През меден проводник със сечение 1 mm² тече ток 1 A. В 1 m³ мед има около 8,5 · 10²⁸ свободни електрона, а зарядът на електрона е 1,602 · 10⁻¹⁹ C. За колко часа електрон изминава 1 m?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

9. ⚠️ Чести грешки

Успоредно свързване

✗ $\displaystyle R = R_1 + R_2$ и при успоредно

✓ $\displaystyle \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ – общото е по-малко от всяко

„Изразходва се ток“

✗ лампата изразходва тока и след нея той е по-малък

✓ токът е еднакъв преди и след лампата; изразходва се енергия

Амперметър успоредно

✗ амперметърът се включва успоредно на лампата

✓ последователно – иначе почти целият ток минава през него

Сечение в mm²

✗ $\displaystyle R = \rho\frac{l}{S}$ със $\displaystyle S = 1{,}5$

✓ първо $\displaystyle S = 1{,}5 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{m^2}$

kW и kWh

✗ каната „харчи“ 2 kW на час

✓ kW е мощност; енергията е $\displaystyle \mathrm{kWh} = \mathrm{kW} \cdot \mathrm{h}$

ЕДН и напрежение

✗ на клемите винаги има $\displaystyle \mathcal{E}$

✓ $\displaystyle U = \mathcal{E} - Ir$ – при голям ток напрежението пада

10. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

В какви единици се измерва електричното съпротивление?

Избери отговор (или натисни 1–4)

11. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

✓ $I = \frac{q}{t}$ ; условната посока на тока е от + към − по външната верига
✓ Закон на Ом: $I = \frac{U}{R}$ ; $R = \rho\frac{l}{S}$
✓ Последователно: $R = R_1 + R_2$ , общ ток; успоредно: $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ , общо напрежение
✓ Кирхоф: токовете във възел се запазват; по контур сумата от ЕДН е равна на сумата от $IR$
✓ $P = UI = I^2R = \frac{U^2}{R}$ ; $1\ \mathrm{kWh} = 3{,}6\ \mathrm{MJ}$
✓ $I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$ , $U = \mathcal{E} - Ir$ ; най-голяма мощност в товара при $R = r$

💡 Интересен факт

През 1911 г. в Лайден Хайке Камерлинг Онес охлажда живак с течен хелий и открива, че около 4,2 K съпротивлението му изведнъж изчезва – явлението свръхпроводимост. В свръхпроводящ пръстен токът може да тече години наред без батерия. Днес свръхпроводящи създават силните в болничните ЯМР апарати и в ускорителите на частици.