Въртене

🐈 През 1894 г. френският физиолог Етиен-Жюл Маре снима с бърза камера падаща котка – около 12 кадъра в секунда. Котката е пусната с краката нагоре, без да се върти, и все пак каца на четирите си лапи. Снимките смущават учените: щом в началото котката не се върти, моментът на импулса ѝ е нула и би трябвало да остане нула. Как тогава се обръща? Отговорът е хитър – котката върти отделните части на тялото си в различни посоки и сгъва и разгъва лапите си, така че общият момент на импулса остава нула през цялото време. В този урок ще разберем защо въртенето се подчинява на свои закони.

1. Равномерно движение по окръжност

Колело, въртележка, стрелка на часовник, точка от Земята – всички се движат по окръжности. Ъгълът на завъртане измерваме в радиани: ъгъл $\varphi$ обхваща дъга с дължина $s = \varphi r$ , а пълният оборот е $2\pi$ rad (виж Окръжност и кръг).

Период, честота и ъглова скорост

Периодът

T

е времето за един оборот, а честотата

\nu = \frac{1}{T}

– броят обороти за секунда (единица

\mathrm{Hz}

). Ъгловата скорост

\omega = \frac{\Delta\varphi}{\Delta t} = \frac{2\pi}{T}

се мери в

\mathrm{rad/s}

. Линейната скорост на точка на разстояние

r

от оста е

v = \omega r = \frac{2\pi r}{T}

Пример

С каква скорост се движи връхчето на секундната стрелка на часовник, ако тя е дълга 15 cm?

$T = 60\ \mathrm{s}$ , $\omega = \frac{2\pi}{60} \approx 0{,}105\ \mathrm{rad/s}$
$v = \omega r \approx 0{,}105 \cdot 0{,}15 \approx 0{,}0157\ \mathrm{m/s} = 1{,}57\ \mathrm{cm/s}$
Всички точки на стрелката имат една и съща $\omega$ , но различни $v$ – най-бързо се движи връхчето.

2. Центростремително ускорение и сила

При по окръжност големината на скоростта е постоянна, но посоката ѝ непрекъснато се мени. Значи има – и то сочи към центъра.

Центростремително ускорение

Тяло, което се движи по окръжност с радиус

r

със скорост

v

, има ускорение

a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r

, насочено към центъра. По втория закон на Нютон за това е нужна резултантна сила

F = \frac{mv^2}{r}

, също към центъра.

Центростремителната сила не е нова сила – това е името на резултантната на истинските сили: на връвта, на гумите в завоя, гравитацията при спътника (виж Закони на Нютон и Орбити и скорости). „Центробежната сила“, която усещаш в завиващия автобус, се появява само в на автобуса: всъщност тялото ти иска да продължи направо, а автобусът завива под него.

r, m1,5v, m/s3m, kg0,5

T =3,14 sω =2 rad/sa =6 m/s²F =3 N

Връвта дърпа топчето към центъра – това е центростремителната сила F = mv²/r.

💡 Синята стрелка е скоростта (винаги по допирателната), червената – ускорението (винаги към центъра). Удвои скоростта: силата става 4 пъти по-голяма. Удвои радиуса при същата скорост: силата намалява наполовина. Дължините на стрелките не са в мащаб.

Пример

С каква най-голяма скорост кола може да вземе хоризонтален завой с радиус 50 m, ако коефициентът на триене между гумите и пътя е 0,7?

Центростремителната сила е силата на триене при покой: $\frac{mv^2}{r} \le \mu mg$
Масата се съкращава: $v_{\max} = \sqrt{\mu g r} = \sqrt{0{,}7 \cdot 9{,}81 \cdot 50} \approx 18{,}5\ \mathrm{m/s}$
Това са около 66,7 km/h. На мокър път $\mu$ е по-малко и безопасната скорост пада. Затова завоите по магистралите са наклонени: така част от нужната сила идва от нормалната сила на пътя.

Пример

Количка минава по лупинг с радиус 10 m. Каква е най-малката скорост в най-горната точка, при която тя не се отделя от релсата?

Горе и теглото, и нормалната сила сочат надолу – към центъра: $mg + N = \frac{mv^2}{r}$
Най-малката скорост е при $N = 0$ : $v = \sqrt{gr} = \sqrt{9{,}81 \cdot 10} \approx 9{,}90\ \mathrm{m/s}$

3. Момент на сила и инерчен момент

Една и съща сила завърта вратата много по-лесно, ако буташ далеч от пантите. Въртящото действие на силата зависи от нея и от рамото ѝ.

Момент на сила

Моментът на сила спрямо ос е

M = F \cdot d

, където рамото

d

е перпендикулярното разстояние от оста до линията, по която действа силата. Единицата е

\mathrm{N \cdot m}

. Равновесието на моментите (лостове, везни) разглеждаме в урока „Статика и флуиди“.

Основен закон за въртенето

Моментът на силите определя ъгловото ускорение:

M = I\alpha

, където

\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}

, а инерчният момент

I = \sum m_i r_i^2

показва колко трудно се завърта тялото. Обръч:

I = mR^2

; плътен диск или цилиндър:

I = \frac{1}{2}mR^2

; плътно кълбо:

I = \frac{2}{5}mR^2

(всички спрямо оста през центъра).

Сравни с $F = ma$ : моментът играе ролята на силата, ъгловото ускорение – на ускорението, а инерчният момент – на масата. Но $I$ зависи не само от масата, а и от това как е разпределена: масата далеч от оста „тежи“ повече.

Пример

Маховик е плътен диск с маса 10 kg и радиус 0,3 m. Двигател го завърта с момент 4,5 N·m. Какво е ъгловото ускорение?

$I = \frac{1}{2}mR^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0{,}09 = 0{,}45\ \mathrm{kg \cdot m^2}$
$\alpha = \frac{M}{I} = \frac{4{,}5}{0{,}45} = 10\ \mathrm{rad/s^2}$ – за всяка секунда ъгловата скорост расте с 10 rad/s.

4. Енергия при въртене и търкаляне

Кинетична енергия на въртене

Въртящо се тяло има кинетична енергия

E = \frac{I\omega^2}{2}

. Тяло, което се търкаля без плъзгане, едновременно се движи и се върти, като

v = \omega R

E = \frac{mv^2}{2} + \frac{I\omega^2}{2}

. Ако

I = kmR^2

, това е

E = (1 + k)\frac{mv^2}{2}

Когато тяло се търкаля по наклон, се разделя между движението напред и въртенето (виж Работа, енергия, мощност). От $mgh = (1 + k)\frac{mv^2}{2}$ следва $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + k}}$ – скоростта не зависи нито от масата, нито от радиуса, а само от формата.

t = 0 s

α, °20

кубче (без триене)k = 0a =3,36 m/s²t =1,09 sv долу =3,66 m/s

плътно кълбоk = 0,4a =2,4 m/s²t =1,29 sv долу =3,1 m/s

плътен цилиндърk = 0,5a =2,24 m/s²t =1,34 sv долу =2,99 m/s

обръчk = 1a =1,68 m/s²t =1,54 sv долу =2,59 m/s

Редът винаги е един и същ: кубче, кълбо, цилиндър, обръч – при всеки ъгъл, маса и радиус.

💡 При търкаляне без плъзгане ускорението е a = g·sin α / (1 + k), където k = I/(mR²) зависи само от формата. Обръчът има цялата маса далеч от оста (k = 1) и половината му енергия отива във въртене. Анимацията е забавена 2 пъти.

Пример

Плътно кълбо и обръч се търкалят от покой по наклон с височина 1 m. Каква скорост имат долу?

Кълбо ( $k = 0{,}4$ ): $v = \sqrt{\frac{2 \cdot 9{,}81 \cdot 1}{1{,}4}} \approx 3{,}74\ \mathrm{m/s}$
Обръч ( $k = 1$ ): $v = \sqrt{9{,}81} \approx 3{,}13\ \mathrm{m/s}$
Без търкаляне (плъзгане без триене) скоростта би била $\sqrt{2gh} \approx 4{,}43\ \mathrm{m/s}$ .

5. Момент на импулса

Закон за запазване на момента на импулса

Моментът на импулса на въртящо се тяло е

L = I\omega

. Ако върху тялото не действа външен момент на сила,

L

се запазва:

I_1\omega_1 = I_2\omega_2

. Когато

I

намалее,

\omega

се увеличава.

Затова фигуристката се завърта по-бързо, като прибере ръцете си, скачачът във вода се свива на топка, за да направи повече салта, а котката от началото на урока може да се обърне, като върти частите на тялото си една срещу друга.

r, m0,8

I =5,92 kg·m²ω =1,5 об/sL =55,8 kg·m²/sE =263 J

Пусни въртенето и прибери ръцете с плъзгача.

💡 Моментът на импулса L = Iω не се променя, защото ледът почти не създава момент на сила. Ръцете близо до оста означават малък инерчен момент I и голяма ъглова скорост ω. Анимацията е забавена 4 пъти; моделът е опростен (ръцете като две точкови маси).

Пример

Мислен опит: ако Слънцето (период на въртене около 25 дни, радиус 696 000 km) се свие до кълбо с радиус 12 km, без да губи маса, колко бързо ще се върти? Да приемем грубо, че остава еднородно кълбо.

$I \propto R^2$ , значи $\omega_2 = \omega_1\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2$ , а периодът $T_2 = T_1\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2$
$T_2 = 25 \cdot 86\,400 \cdot \left(\frac{12}{696\,000}\right)^2 \approx 6{,}4 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{s}$ – около 1600 оборота в секунда.
Слънцето няма да стане неутронна звезда, но този ефект обяснява защо неутронните звезди (пулсарите) се въртят толкова бързо.

Повече за – в урока Бели джуджета и черни дупки.

6. Тренажор

Пресметни исканата величина. Десетичните отговори въвеждай като 0,25.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

\omega = 5\ \mathrm{rad/s}, \quad r = 2\ \mathrm{m}

Линейна скорост: $v = ?\ \mathrm{m/s}$

7. Въртенето около нас

0 / 6

🌍 Въртим се и без да усещаме

Земята се завърта около оста си спрямо звездите за около 23 h 56 min (86 164 s), а радиусът ѝ на екватора е 6378 km. С каква скорост се движи човек на екватора?

🚴 Наклон в завоя

Велосипедист взема завой с радиус 20 m със скорост 36 km/h. На какъв ъгъл от вертикалата трябва да се наклони? ( $g = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ )

🧑‍🚀 Центрофуга за космонавти

Космонавтите тренират в центрофуга с радиус 8 m. Колко оборота в минута трябва да прави тя, за да е центростремителното ускорение 5g? ( $g = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ )

🧺 Центрофугата на пералнята

Барабанът на пералня има радиус 25 cm и центрофугира с 1200 оборота в минута. Колко пъти центростремителното ускорение е по-голямо от $g = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ ?

⛸️ Пирует

Фигуристка се върти с 2 оборота в секунда с разперени ръце (инерчен момент 3,5 kg·m²). Тя прибира ръцете си и инерчният ѝ момент става 1,0 kg·m². Колко оборота в секунда прави сега?

🚲 Колелото на велосипеда

Колелото на велосипед има диаметър 70 cm. Колко оборота в минута прави то, когато велосипедът се движи с 18 km/h без плъзгане?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

Центробежна сила

✗ върху топчето действа сила навън

✓ в инерциална система резултантната сочи към центъра; „центробежната“ е ефект на въртящата се система

Обороти вместо радиани

✗ $\displaystyle \omega = 120\ \text{об/мин} \Rightarrow v = 120r$

✓ първо $\displaystyle \omega = \frac{2\pi \cdot 120}{60} \approx 12{,}6\ \mathrm{rad/s}$

Рамо на силата

✗ рамото е разстоянието до точката на прилагане

✓ рамото е перпендикулярът от оста до линията на силата

Енергия при търкаляне

✗ $\displaystyle E = \frac{mv^2}{2}$

✓ $\displaystyle E = \frac{mv^2}{2} + \frac{I\omega^2}{2}$

Тежкото се търкаля по-бързо

✗ по-масивното кълбо стига първо

✓ времето зависи само от формата ( $\displaystyle k$ ), не от масата и радиуса

Енергия при пирует

✗ запазва се енергията

✓ запазва се $\displaystyle L = I\omega$ ; енергията расте за сметка на работата на мускулите

9. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

В каква единица се измерва ъгловата скорост?

Избери отговор (или натисни 1–4)

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

✓ $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$ , $v = \omega r$ ; ъглите – в
✓ Центростремително ускорение $a = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$ към центъра; нужната сила $\frac{mv^2}{r}$ е резултантната на истинските сили
✓ Момент на сила $M = Fd$ ; основен закон $M = I\alpha$
✓ Обръч $mR^2$ , диск $\frac{1}{2}mR^2$ , кълбо $\frac{2}{5}mR^2$
✓ Търкаляне: $E = \frac{mv^2}{2} + \frac{I\omega^2}{2}$ , $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 + k}}$ – зависи само от формата
✓ Без външен момент $L = I\omega$ се запазва: по-малко $I$ – по-голямо $\omega$

💡 Интересен факт

Денят на Земята бавно се удължава – средно с около 2 милисекунди на век. Приливите, които Луната предизвиква, трият океаните в дъното и спират въртенето на Земята, а изгубеният момент на импулса се предава на Луната. Затова тя се отдалечава от нас с около 3,8 cm годишно – това се измерва с лъчи, отразени от огледала, оставени на Луната. По на растеж при древни корали учените оценяват, че преди около 400 милиона години годината е имала приблизително 400 дни.