Трептения

🕯️ Разказва се, че младият Галилей, докато седял в катедралата в Пиза, загледал една люлееща се лампа. Мерейки времето с пулса си, той забелязал нещо странно: и големите, и малките люлеения траят еднакво дълго. Историята е известна от биографията, написана от ученика му Вивиани, и вероятно е украсена – но откритието е истинско. Около 1656–1657 г. Кристиан Хюйгенс построява първия часовник с махало и точността на часовниците скача от около четвърт час до около 15 секунди на ден. Три века махалата отмерват времето на света.

1. Периодично движение

Трептене е движение, което се повтаря: люлка, струна, сърце, пружината на колата, атомите в кристал. Тялото се отклонява от равновесното положение, връща се, подминава го и отново се връща.

Амплитуда, период и честота

Амплитудата

A

е най-голямото отклонение от равновесието. Периодът

T

е времето за едно пълно трептене (отиване и връщане). Честотата

f = \frac{1}{T}

е броят трептения за секунда; единицата е херц:

1\ \mathrm{Hz} = 1\ \mathrm{s^{-1}}

. Ъгловата честота е

\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f

Пример

Тяло прави 30 трептения за 12 s. Какви са периодът, честотата и ъгловата честота?

$T = \frac{12}{30} = 0{,}4\ \mathrm{s}$
$f = \frac{1}{T} = 2{,}5\ \mathrm{Hz}$
$\omega = 2\pi f = 5\pi \approx 15{,}7\ \mathrm{rad/s}$

2. Хармонично трептене

Ако силата, която връща тялото, е пропорционална на отклонението, $F = -kx$ , от получаваме $x'' = -\omega^2 x$ с $\omega^2 = \frac{k}{m}$ . Решенията на това уравнение са изведени в урока Диференциални уравнения.

Закон на хармоничното трептене

x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)

, където

\varphi

е началната фаза. Скоростта е

v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)

, а ускорението

a = -\omega^2 x

. Затова

v_{\max} = A\omega

(в равновесието), а

a_{\max} = A\omega^2

(в крайните положения). Периодът НЕ зависи от амплитудата.

Хармоничното трептене е проекция на по окръжност (виж Въртене): ако точка обикаля окръжност с радиус $A$ и $\omega$ , сянката ѝ върху диаметъра трепти точно по закона $x = A\cos \omega t$ . Оттук идва и името „ъглова честота“.

t = 0 s

m, kg0,5k, N/m20A, cm15

T =0,99 sf =1,01 Hzvₘₐₓ = Aω =0,95 m/sE =0,225 J

Амплитудата не влияе на периода – промени A и виж, че T остава същият.

💡 Тялото се движи като сянката (проекцията) на точка, която обикаля окръжност с ъглова скорост ω. Затова x = A·cos ωt. В крайните положения цялата енергия е в пружината, а в средата – в движението; сборът им не се мени.

3. Пружинно махало и енергия

Период на пружинно махало

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

. По-тежкото тяло трепти по-бавно, по-твърдата пружина – по-бързо. Периодът е един и същ при хоризонтална и вертикална пружина.

При трептенето енергията непрекъснато се прелива (виж Работа, енергия, мощност): в крайните положения тя е изцяло потенциална $\frac{kA^2}{2}$ , а в равновесието – изцяло кинетична $\frac{mv_{\max}^2}{2}$ . Без сборът е постоянен: $\frac{kx^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = \frac{kA^2}{2}$ .

Пример

Тяло с маса 0,5 kg на пружина с $k = 200\ \mathrm{N/m}$ е отклонено на 4 cm и пуснато. Намерете периода и най-голямата скорост.

$T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}5}{200}} = 2\pi \cdot 0{,}05 \approx 0{,}314\ \mathrm{s}$
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{rad/s}$
$v_{\max} = A\omega = 0{,}04 \cdot 20 = 0{,}8\ \mathrm{m/s}$
Проверка с енергия: $\frac{200 \cdot 0{,}04^2}{2} = 0{,}16\ \mathrm{J} = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}8^2}{2}$ ✓

4. Математическо махало

Период на математическо махало

При малки ъгли (до около

10

–

15^\circ

)

T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

– не зависи нито от масата, нито от амплитудата. При по-големи ъгли периодът расте; приблизително

T \approx 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\left(1 + \frac{\theta_0^2}{16}\right)

, с

\theta_0

в радиани.

Защо масата не влияе? По-тежкото топче се дърпа по-силно от тежестта, но и по-трудно се ускорява – двата ефекта се съкращават, както при . А защо формулата е само за малки ъгли? Връщащата сила е $mg\sin\theta$ , а не $mg\theta$ ; двете почти съвпадат само при малко $\theta$ . При $60^\circ$ истинският период е с около 7% по-дълъг, а при $90^\circ$ – с 18%.

t = 0 s

l, m1θ₀, °20

2π√(l/g) =2,006 sистински T =2,021 sразлика0,8%

При малки ъгли формулата T = 2π√(l/g) е много точна.

💡 Махалото е пресметнато с пълното уравнение θ″ = −(g/l)·sin θ, без приближението sin θ ≈ θ. Синята крива е истинското движение, оранжевият пунктир – законът за малки ъгли. Пробвай 90° и 150°, а после Луната: там същото махало трепти около 2,5 пъти по-бавно.

Пример

Колко дълго трябва да е махало с период точно 2 s?

$l = \frac{gT^2}{4\pi^2} = \frac{9{,}81 \cdot 4}{39{,}48} \approx 0{,}994\ \mathrm{m}$
Затова „секундното махало“ е почти точно метър. През XVII век дори предлагат метърът да се определи чрез него.

Махалото е и чудесен начин да измериш $g$ : мериш дължината и времето за 10–20 трептения (както в първия урок, Величини, единици и оценки) и пресмяташ $g = \frac{4\pi^2 l}{T^2}$ .

5. Затихване и резонанс

Истинските трептения затихват: триенето и съпротивлението на въздуха превръщат енергията в топлина и амплитудата намалява. Затова люлката трябва да се бута. Ако периодична външна сила действа на трептяща система, след известно време тя трепти с честотата на силата – това са принудени трептения.

Резонанс

Резонанс е рязкото нарастване на амплитудата на принудените трептения, когато честотата на външната сила се доближи до собствената честота на системата. Колкото по-слабо е затихването, толкова по-висок и по-тесен е резонансният връх.

t = 0 s

f, Hz0,6β, 1/s0,3

f₀ =1 Hzустановена A =7,8 cmсега0 cm

Бавно разклащане: тялото просто следва ръката.

💡 Ръката трепти с 5 cm и честота f, а собствената честота на тялото е 1 Hz. Синята крива е установената амплитуда, а червеното стълбче – текущият размах: след промяна той расте или намалява няколко секунди (преходен процес). Колкото по-малко е затихването β, толкова по-висок и тесен е резонансният връх. Мащабът на анимацията се мени с β.

Резонансът е полезен – така бутаме люлка, настройваме радио и чуваме музика от китара. Но може и да е опасен. Певец може да счупи чаша, като пее точно с нейната собствена честота. През 2000 г. новият Мост на хилядолетието в Лондон започва да се люлее странично под крачките на хората: стъпките им се синхронизират с люлеенето и го усилват, затова мостът е затворен и оборудван с амортисьори. Срутването на моста Такома през 1940 г. често се дава като пример за резонанс, но днес се обяснява по-скоро с аеродинамично самовъзбуждане (флатер) – вятърът сам „помпа“ енергия в трептенията, а не ги разклаща с определена честота.

6. Тренажор

Пресметни исканата величина. Десетичните отговори въвеждай като 0,25.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

N = 60, \quad t = 20\ \mathrm{s}

За $20\ \mathrm{s}$ тялото прави 60 трептения. Честота: $f = ?\ \mathrm{Hz}$

7. Трептенията около нас

0 / 6

🕰️ Секундно махало

В старите стенни часовници махалото прави един замах (отиване или връщане) за 1 s, т.е. периодът му е 2 s. Колко дълго е то? ( $g = 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}$ )

🚗 Окачване на кола

Кола с маса 1200 kg стои на 4 пружини с коефициент 30 000 N/m всяка. С каква честота се люлее колата, ако я натиснем и пуснем (без амортисьори)?

🌙 Махало на Луната

На Земята махало има период 2 s. Какъв ще е периодът му на Луната, където $g = 1{,}62\ \mathrm{m/s^2}$ ?

🪂 Бънджи

Скачач с маса 70 kg виси на еластично въже с коефициент 100 N/m и подскача нагоре-надолу. Какъв е периодът на тези трептения?

🎵 Камертон

Камертонът за настройване на инструменти трепти с честота 440 Hz (нотата „ла“). Колко милисекунди трае едно трептене?

🛝 Люлка

Люлка е окачена на въжета с дължина 2,5 m. През колко секунди трябва да я буташ, за да я разлюлееш най-лесно?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

Честота и ъглова честота

✗ $\displaystyle \omega = f$

✓ $\displaystyle \omega = 2\pi f$ – ъгловата честота е в rad/s

Пружинно махало

✗ $\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{k}{m}}$

✓ $\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ – по-тежкото тяло трепти по-бавно

Махало и маса

✗ тежкото махало трепти по-бавно

✓ периодът на махалото не зависи от масата

Пълно трептене

✗ от единия край до другия

✓ отиване и връщане – обратно до началната точка

Крайното положение

✗ там скоростта е най-голяма

✓ там $\displaystyle v = 0$ , а ускорението е най-голямо

Формулата за махало

✗ важи при всякакви ъгли

✓ само при малки ъгли; при $\displaystyle 60^\circ$ грешката е около 7%

9. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Периодът на трептене е 0,2 s. Каква е честотата?

Избери отговор (или натисни 1–4)

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

✓ $f = \frac{1}{T}$ , $\omega = 2\pi f$ ; пълното трептене е отиване и връщане
✓ Хармонично трептене: $x = A\cos(\omega t + \varphi)$ – проекция на движение по окръжност
✓ $v_{\max} = A\omega$ в равновесието, $a_{\max} = A\omega^2$ в крайните положения
✓ Пружина: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ ; махало при малки ъгли: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$
✓ Енергията се прелива между $\frac{kx^2}{2}$ и $\frac{mv^2}{2}$ ; пълната е $\frac{kA^2}{2}$
✓ Резонанс: най-голяма амплитуда, когато външната честота е близо до собствената

💡 Интересен факт

В небостъргача Тайпе 101 (Тайван) между 87-ия и 92-рия етаж виси огромно стоманено кълбо с маса около 660 тона. То е махало, настроено на собствената честота на сградата: когато вятър или земетресение я разлюлеят, кълбото се люлее в противофаза и поглъща част от енергията. Такива „гасители на трептения“ има и в много други високи сгради и мостове – резонансът е победен с резонанс.