Частица в кутия и тунелен ефект

1. Стоящи вълни в кутия

В урока Фотони и фотоефект видяхме, че всяка частица е и вълна с дължина $\lambda = \frac{h}{p}$ , а в урока Вълнова функция и принцип на неопределеността – че вълната определя вероятността къде ще се намери частицата. Какво става, ако затворим частицата в малка област? Най-простият модел е кутия: частица, която се движи свободно между две непроницаеми стени на разстояние $L$ .

Вълната не може да излезе през стените, затова при тях тя е нула – точно като трептяща струна, закрепена в двата края. Струната трепти само с дължини на вълната, при които в нея се събира цял брой половини вълни – това е (виж Вълни). Същото важи за частицата.

Т

Разрешени дължини на вълната

В кутия с ширина

L

се събират цял брой половини вълни:

L = n\frac{\lambda_n}{2}

, т.е.

\lambda_n = \frac{2L}{n}

,

n = 1, 2, 3, \ldots

Числото

n

е квантовото число на състоянието.

Щом може да бъде само една от тези стойности, и $p = \frac{h}{\lambda}$ може да бъде само $p_n = \frac{nh}{2L}$ . Ограничението в пространството води до „порции“ – това е източникът на квантуването.

2. Енергията е квантувана

Вътре в кутията няма сили, затова цялата енергия е кинетична: $E = \frac{p^2}{2m}$ . Като заместим разрешените импулси, получаваме разрешените енергии.

Т

Енергия на частица в кутия

E_n = \frac{p_n^2}{2m} = \frac{n^2h^2}{8mL^2} = n^2E_1

,

n = 1, 2, 3, \ldots

За електрон е удобно

\frac{h^2}{8m_e} \approx 0{,}376\ \mathrm{eV \cdot nm^2}

, т.е.

E_1\,[\mathrm{eV}] \approx \frac{0{,}376}{L^2\,[\mathrm{nm}]}

.

Три следствия, които се срещат навсякъде в квантовата физика:

нивата се отдалечават нагоре: разстоянията между тях са $3E_1, 5E_1, 7E_1, \ldots$ ;
колкото е по-тясна кутията, толкова по-големи са енергиите: $E \propto \frac{1}{L^2}$ ;
колкото е по-лека частицата, толкова по-големи са енергиите: $E \propto \frac{1}{m}$ – затова квантуването е най-ясно при електроните.

О

Нулева енергия

Най-ниската енергия

E_1 = \frac{h^2}{8mL^2}

не е нула: частица, затворена в кутия, не може да стои неподвижно. Това е в съгласие с принципа на неопределеността – щом

\Delta x \approx L

, импулсът не може да е точно нула, а е от порядъка на

\frac{h}{2L}

.

Пример

Електрон е в кутия с ширина 1 nm. Намери E₁ и E₂ и дължината на вълната на фотона, излъчен при прехода 2 → 1.

$E_1 = \frac{0{,}376}{1^2} = 0{,}376\ \mathrm{eV}$ , $E_2 = 4E_1 \approx 1{,}50\ \mathrm{eV}$
$hf = E_2 - E_1 = 3E_1 \approx 1{,}13\ \mathrm{eV}$
$\lambda = \frac{1240}{1{,}13} \approx 1100\ \mathrm{nm}$ – близкото инфрачервено.

и кутията дават един и същ отговор по различен път – подробно за неопределеността в урока Вълнова функция и принцип на неопределеността.

3. Вълнови функции и уравнението на Шрьодингер

Вълната на частицата в кутия на ниво $n$ е синусоида, която се нулира в стените:

Т

Вълнови функции в кутия

\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{n\pi x}{L}

,

0 \le x \le L

. Функцията

\psi_n

има

n - 1

възела вътре в кутията, а вероятността

|\psi_n|^2

–

n

максимума. Множителят

\sqrt{2/L}

осигурява, че частицата е някъде в кутията с вероятност 1.

Забележи нещо странно: в състоянието $n = 2$ частицата никога не се намира в средата на кутията, макар че често е и в лявата, и в дясната половина. Класическа топка, която подскача между стените, трябва да минава през средата. Квантовата частица не е топка, която се движи по – тя е описана само с вероятности.

Ниво:

L, nm1

E₁ =0,376 eVλ =2L/1 = 2 nmвъзли:0

Дори на най-ниското ниво енергията не е нула – частицата в кутия никога не стои неподвижно.

💡 Нивата са нарисувани в един и същ мащаб спрямо E₅, затова картината на разстоянията (1 : 4 : 9 : 16 : 25) не се мени – менят се числата. Стесни кутията наполовина: всички енергии стават 4 пъти по-големи. Смени електрона с протон: енергиите падат 1836 пъти – затова квантуването се забелязва най-лесно при леки частици в малки области.

Откъде знаем в по-сложни случаи – в атом, в молекула, в кристал? През 1926 г. Ервин Шрьодингер записва уравнение, което играе в квантовата механика ролята на . Без да го решаваме, можем да кажем какво казва то:

О

Уравнението на Шрьодингер (смисъл)

Кинетичната енергия на частицата е свързана с това колко силно се огъва вълновата ѝ функция: колкото по-къса е вълната, толкова по-голяма е кинетичната енергия. Там, където

E > U

,

\psi

трепти; където

E < U

,

\psi

не трепти, а затихва или расте експоненциално. Разрешените енергии са тези, при които

\psi

може да изпълни условията по краищата – при кутията: нула в стените.

В кутията $U = 0$ вътре и безкрайно голямо в стените – затова получихме синусоиди. Как изглеждат решенията във водородния атом, ще видим в урока Квантовият атом.

4. Преходи, цветове и квантови точки

Както в модела на Бор, частицата в кутия може да премине от ниво $n$ на по-ниско ниво $m$ , като излъчи , или да погълне фотон и да се качи нагоре.

Т

Преходи между нивата

hf = E_n - E_m = (n^2 - m^2)\frac{h^2}{8mL^2}

. По-тясна кутия – по-големи разстояния между нивата – по-къса дължина на вълната.

Този прост модел обяснява качествено цвета на много молекули. В багрилата има дълги вериги от атоми, по които част от електроните се движат почти свободно – като в кутия. Колкото по-дълга е веригата, толкова по-близо са нивата и толкова по-дълга е вълната, която молекулата поглъща: късите вериги поглъщат ултравиолет, а дългите – видима светлина.

Най-ясният пример днес са квантовите точки – полупроводникови кристалчета с размер от няколко нанометра. Когато кристалът погълне светлина, в него се появява свободен електрон, а на мястото му остава „празно място“ с положителен (дупка). В голям кристал енергията, нужна за това, е определено число – ширината на забранената зона. В нанокристала двете частици са затворени като в кутия и към тази енергия се добавя енергията на кутията. По-малка точка – по-голяма енергия – по-син цвят.

d, nm4

пик на поглъщане ≈585 nmсветене ≈600 nmмодел на кутия:464 nm

Смени размера: по-малка точка – по-голяма енергия – по-къса дължина на вълната.

💡 Цветът е по емпирична крива от измервания на кристали от кадмиев селенид (CdSe) – стойностите са приблизителни. Простият модел на кутия (синята пунктирна черта) показва вярната тенденция, но при малките точки силно преувеличава енергията: истинската точка не е кутия с безкрайно високи стени, а електронът и дупката се привличат. Затова моделът обяснява защо цветът зависи от размера, но не дава точния цвят.

Квантовите точки се използват в екраните на някои телевизори („QLED“) и като светещи маркери в биологията. През 2023 г. Нобеловата награда по химия е присъдена на Мунги Бавенди, Луис Брус и Алексей Екимов за откриването и получаването им.

5. Отвъд стените: проникване в забранената област

Истинските стени не са безкрайно високи. Ако частицата има енергия $E$ , а стената – $U > E$ , класически частицата не може да влезе в стената: там кинетичната ѝ енергия $E - U$ би била отрицателна. Квантово вълновата функция не спира рязко на стената, а продължава в нея, като затихва .

Т

Затихване в забранената област

Там, където

U > E

:

\psi \propto e^{-\kappa x}

,

\kappa = \frac{\sqrt{2m(U - E)}}{\hbar}

,

\hbar = \frac{h}{2\pi} \approx 1{,}055 \cdot 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}

. Дълбочината на проникване е от порядъка на

\delta = \frac{1}{\kappa}

; за електрон е удобно

\kappa\,[\mathrm{nm^{-1}}] \approx 5{,}12\sqrt{U - E\,[\mathrm{eV}]}

.

Пример

На каква дълбочина прониква в стената електрон, чиято енергия е с 1 eV под върха ѝ?

$\kappa \approx 5{,}12\sqrt{1} = 5{,}12\ \mathrm{nm^{-1}}$
$\delta = \frac{1}{\kappa} \approx 0{,}195\ \mathrm{nm}$ – колкото два атома. Отвъд няколко δ вълната практически изчезва.

Следствие: в яма с крайни стени частицата има малко „повече място“, отколкото е ширината на ямата, и нивата ѝ са малко по-ниско от тези в идеалната кутия. И нещо по-важно: ако стената е достатъчно тънка, вълната стига до другата ѝ страна.

6. Тунелен ефект

Нека частица с енергия $E$ лети към бариера с височина $U > E$ и ширина $d$ . Класически тя винаги се отразява – като топка, която не може да прескочи хълм. Квантово вълната затихва вътре в бариерата, но ако $d$ е малко, от другата страна излиза отслабена вълна. Частицата минава с някаква вероятност – тя тунелира.

Т

Прозрачност на бариера

Вероятността частицата да премине (прозрачност) при широка бариера (

\kappa d \gg 1

) е приблизително

T \approx e^{-2\kappa d}

,

\kappa = \frac{\sqrt{2m(U - E)}}{\hbar}

. Точната формула съдържа и множител от порядъка на единица, но основното е експонентата:

T

зависи изключително силно от

d

, от

U - E

и от масата.

E, eV2U, eV5d, nm0,3

λ =0,87 nmκ =8,9 nm⁻¹T =0,0185e^(−2κd) =0,00487

Класически електронът се отразява винаги. Квантово – минава с вероятност 1,9%.

💡 Вълната е нарисувана схематично (без отразената част), но в истински мащаб по дължина. Вътре в бариерата тя не трепти, а затихва като e^(−κx). Увеличи d с 0,1 nm: при U − E ≈ 4 eV прозрачността пада около 8 пъти. Сравни точната стойност T с оценката e^(−2κd) – при дебела бариера те се различават с множител от порядъка на единица, а самото T се мени с много порядъци.

Пример

Електрон с енергия 1 eV среща бариера с височина 5 eV и ширина 0,5 nm. Каква е вероятността да премине? А ако ширината е 1 nm?

$\kappa \approx 5{,}12\sqrt{5 - 1} \approx 10{,}2\ \mathrm{nm^{-1}}$
$d = 0{,}5\ \mathrm{nm}$ : $T \approx e^{-2 \cdot 10{,}2 \cdot 0{,}5} = e^{-10{,}2} \approx 3{,}6 \cdot 10^{-5}$
$d = 1\ \mathrm{nm}$ : $T \approx e^{-20{,}5} \approx 1{,}3 \cdot 10^{-9}$ – двойно по-дебелата бариера е около 28 000 пъти по-непрозрачна.

Тунелният ефект не нарушава : частицата излиза от другата страна със същата енергия $E$ . Не можем и да я „хванем“ вътре в бариерата с отрицателна – опитът да я засечем там я смущава толкова, че тя получава нужната енергия.

7. Тунелирането в природата и в техниката

α-разпадане. α-частицата в ядрото се удря в кулоновата бариера от на 10²¹ пъти в секунда и при всеки удар има мъничък шанс да тунелира. Заради експонентата малка разлика в енергията дава огромна разлика в : уран-238 изхвърля α-частици с около 4,2 MeV и има период около 4,5 милиарда години, а полоний-212 – с около 8,8 MeV и период под микросекунда (виж Ядро и радиоактивност).
Слънцето. За да се слеят, два трябва да преодолеят електричното си отблъскване. В центъра на Слънцето топлинната им енергия е стотици пъти по-малка от височината на бариерата и става благодарение на тунелирането (виж Слънцето).
Тунелният микроскоп (Герд Биних и Хайнрих Рорер, IBM, Нобелова награда за 1986 г.). Остра игла се движи на разстояние около нанометър над повърхността. Електроните тунелират през вакуума между тях и се мени 7–10 пъти при промяна на разстоянието с 0,1 nm. Като държи тока постоянен, микроскопът „опипва“ повърхността атом по атом.
Електрониката. Тунелният диод (Лео Есаки, Нобелова награда за 1973 г.) използва тунелиране в много тънък преход. Във флаш паметта информацията се записва, като електрони преминават – често чрез тунелиране – през тънък изолиращ слой и остават уловени зад него. А в съвременните транзистори изолиращите слоеве са толкова тънки, че тунелирането е паразитен ток, с който инженерите се борят.

8. Тренажор

Използвай, че Eₙ = n²E₁ и E₁ ∝ 1/(mL²). Десетичните отговори въвеждай като 0,5, а дробите – като 5/3.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

\psi_6(x) = A\sin\frac{6\pi x}{L}

Колко възела има $\psi$ вътре в кутията?

9. Кутиите и бариерите около нас

0 / 6

🧪 Цветът на молекулите

В молекулата на бутадиена 4 електрона се движат свободно по верига с дължина около 0,578 nm. Приеми, че веригата е кутия, а на всяко ниво има място за два електрона. Каква енергия трябва да погълне молекулата, за да прехвърли електрон от най-горното заето ниво на първото свободно, и каква е дължината на вълната на светлината?

⚛️ Колко е голяма енергията в атома

Атомът е с размер около 0,1 nm. Каква е най-ниската енергия на електрон, затворен в кутия с такава ширина? Сравни с енергията на йонизация на водорода (13,6 eV).

🔬 Тунелен микроскоп

Иглата на тунелен микроскоп е над повърхността, а бариерата за електроните е около 4 eV над енергията им. Колко пъти се променя тунелният ток, ако иглата се приближи с 0,1 nm (приблизително диаметъра на един атом)?

🎾 Топка в кутия

Топка с маса 0,1 kg е в кутия с ширина 1 m. Каква е най-ниската ѝ енергия и съответната скорост?

☢️ Енергия в ядрото

Ядрото е с размер около 10 fm (10⁻¹⁴ m). Каква е най-ниската енергия на протон (m = 1,67·10⁻²⁷ kg), затворен в кутия с такава ширина, в MeV?

☀️ Защо Слънцето свети

В центъра на Слънцето температурата е около 15 милиона K. Колко е типичната топлинна енергия kT на протоните (в keV)? Колко пъти е по-малка от кулоновата бариера между два протона – около 0,72 MeV при разстояние 2 fm?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

10. ⚠️ Чести грешки

Квадратът на n

✗ $\displaystyle E_n = nE_1$

✓ $\displaystyle E_n = n^2E_1$ : нивата се раздалечават нагоре

Ширината на кутията

✗ при двойно по-тясна кутия $\displaystyle E$ се удвоява

✓ $\displaystyle E \propto \frac{1}{L^2}$ – става 4 пъти по-голяма

Нулево ниво

✗ най-ниското състояние е $\displaystyle n = 0$ с $\displaystyle E = 0$

✓ най-ниското е $\displaystyle n = 1$ ; при $\displaystyle n = 0$ няма вълна, т.е. няма частица

Дължина на вълната

✗ $\displaystyle \lambda_n = \frac{L}{n}$

✓ $\displaystyle \lambda_n = \frac{2L}{n}$ – събират се половини вълни

Тунелиране и енергия

✗ частицата губи енергия в бариерата

✓ излиза със същата енергия $\displaystyle E$ ; само вероятността е малка

Зависимост от d

✗ $\displaystyle T$ намалява пропорционално на $\displaystyle d$

✓ $\displaystyle T \approx e^{-2\kappa d}$ – експоненциално, много по-бързо

11. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Колко половини вълни се събират в кутия, когато частицата е на ниво $\displaystyle n$ ?

Избери отговор (или натисни 1–4)

12. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

13. Обобщение

✓ В кутия се събират цял брой половини вълни: $\lambda_n = \frac{2L}{n}$
✓ Енергията е квантувана: $E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2}$ ; за електрон $E_1 \approx \frac{0{,}376}{L^2}\ \mathrm{eV}$ (L в nm)
✓ Най-ниската енергия не е нула; по-тясна кутия и по-лека частица – по-големи енергии
✓ $\psi_n$ има $n - 1$ възела, а $|\psi_n|^2$ дава вероятността къде е частицата
✓ Преходи: $hf = E_n - E_m$ ; по-малка квантова точка свети по-синьо
✓ В забранената област вълната затихва като $e^{-\kappa x}$ , $\kappa = \frac{\sqrt{2m(U - E)}}{\hbar}$
✓ Тунелен ефект: $T \approx e^{-2\kappa d}$ – α-разпадане, синтез в звездите, тунелен микроскоп

💡 Интересен факт

През 1989 г. Доналд Айглер от IBM използва иглата на тунелен микроскоп не само за да гледа атомите, но и за да ги мести. Охладен почти до , той подрежда 35 атома ксенон върху никелова повърхност в надписа „IBM“ – най-малкото лого, правено дотогава. Иглата придърпва атома и го плъзга по повърхността, а после се отдалечава и го оставя на новото място.

1. Стоящи вълни в кутия

Разрешени дължини на вълната

2. Енергията е квантувана

Енергия на частица в кутия

Нулева енергия

Пример

3. Вълнови функции и уравнението на Шрьодингер

Вълнови функции в кутия

Уравнението на Шрьодингер (смисъл)

4. Преходи, цветове и квантови точки

Преходи между нивата

5. Отвъд стените: проникване в забранената област

Затихване в забранената област

Пример

6. Тунелен ефект

Прозрачност на бариера

Пример

7. Тунелирането в природата и в техниката

8. Тренажор

9. Кутиите и бариерите около нас

10. ⚠️ Чести грешки

11. 🎯 Бърз тест

Колко половини вълни се събират в кутия, когато частицата е на ниво n\displaystyle nn?

12. 📝 Задачи за упражнение

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

13. Обобщение

Колко половини вълни се събират в кутия, когато частицата е на ниво $\displaystyle n$ ?