Вълнова функция и принцип на неопределеността — урок по физика

1. Една частица, две цепнатини

В урока Фотони и фотоефект видяхме, че електроните имат $\lambda = \frac{h}{p}$ и дават . Опитът на Тономура (вместо две цепнатини той използва електронна „бипризма“, която действа по същия начин) показва нещо по-странно: интерференцията се получава, дори когато електроните летят един по един. Значи всеки електрон поотделно „минава“ и през двете цепнатини като вълна, но попада на екрана в една точка като частица.

Къде точно ще попадне следващият електрон, не може да се предскаже – дори по принцип. Предсказуемо е само разпределението: в светлите ивици попадат много, в тъмните – почти никакви. Това е като при радиоактивното разпадане: кое ядро ще се разпадне следващо, не знаем, но колко ще се разпаднат – знаем.

О

Вероятностно описание

Квантовата механика не предсказва къде точно ще бъде открита една частица, а с каква вероятност ще бъде открита на всяко място. Тези вероятности се проверяват с много повторения на един и същ опит – точно както ивиците се появяват от много електрони.

2. Вълновата функция

Състоянието на частицата се описва с вълнова функция $\psi(x)$ („пси“). През 1926 г. Макс Борн предлага тълкуването, което използваме и днес: самата $\psi$ не се измерва, но квадратът на модула ѝ дава вероятността.

Т

Правило на Борн

Вероятността частицата да бъде открита в малък интервал с дължина

\Delta x

около точката

x

е

P = |\psi(x)|^2 \Delta x

. Затова

|\psi|^2

се нарича плътност на вероятността. Частицата със сигурност е някъде, затова сборът от вероятностите по всички интервали е 1 (нормировка).

Пример

Вълновата функция в точка A е 3 пъти по-голяма по модул, отколкото в точка B. Колко пъти е по-вероятно частицата да бъде открита в малък интервал около A, отколкото в същия по дължина интервал около B?

$\frac{P_A}{P_B} = \frac{|\psi_A|^2}{|\psi_B|^2} = 3^2 = 9$
Вероятността расте с квадрата на $\psi$ – както енергията на вълна расте с квадрата на амплитудата ѝ.

$\psi$ може да е положителна, отрицателна, а най-общо – (стрелка с дължина и посока). Знакът и посоката не се виждат в една отделна вероятност, но са от решаващо значение, когато вълните се събират. Как се изменя $\psi$ с времето и в пространството, определя уравнението на Шрьодингер (1926 г.) – вълновото уравнение на квантовата механика. Тук няма да го решаваме, но в урока Частица в кутия и тунелен ефект ще видим какво дава то в най-простия случай.

3. Суперпозиция: събират се амплитудите

Ако частицата може да стигне до една точка по два пътя, всеки път дава своя амплитуда $\psi_1$ и $\psi_2$ . Състоянието е тяхната $\psi = \psi_1 + \psi_2$ . Важното е, че се събират амплитудите, а не вероятностите.

Т

Принцип на суперпозицията

P = |\psi_1 + \psi_2|^2 = |\psi_1|^2 + |\psi_2|^2 + (\text{интерференчен член})

. Интерференчният член може да е положителен (светла ивица) или отрицателен (тъмна ивица). Ако двете амплитуди са равни по големина и противоположни по посока, вероятността е нула, макар всеки път поотделно да е възможен.

P14

Δφ =90°|ψ₁|² =0,247|ψ₂|² =0,247|ψ₁ + ψ₂|² =0,494

Събираме стрелките (амплитудите) и чак тогава повдигаме дължината на сбора на квадрат.

💡 Всяка цепнатина дава амплитуда – стрелка с дължина и посока. Посоката зависи от изминатия път, затова в различните точки на екрана стрелките са завъртени различно. Сивата пунктирна крива е сборът на вероятностите – какво бихме очаквали, ако електронът минава през едната или през другата цепнатина. Мащабът не е реален: в опитите ивиците са на микрометри една от друга.

Какво става, ако разберем през коя цепнатина е минал електронът? Тогава ивиците изчезват и на екрана остава сборът от двете картини – вероятностите се събират, а не амплитудите. Това не изисква „наблюдател“ или съзнание. Достатъчно е електронът да взаимодейства с нещо, което запазва следа за пътя му – , атом, детектор. Щом двата пътя оставят различни следи, те престават да интерферират. С това взаимодействие (то се нарича декохеренция) се обяснява и защо не виждаме интерференция на големи тела: те непрекъснато се „удрят“ в молекули и фотони от околната среда.

О

Измерване

При измерване на положението частицата се открива на едно място с вероятност

|\psi|^2

. Непосредствено след това повторно измерване дава същото място – вълновата функция вече е друга. Как точно да се тълкува тази промяна, физиците спорят и до днес, но предсказанията на квантовата механика са проверени с огромна точност.

4. Принципът на неопределеността

Една-единствена синусоида с точна има точно определен $p = \frac{h}{\lambda}$ , но е разлята в цялото пространство – частицата може да е навсякъде. За да е частицата в малка област, трябва да съберем много вълни с различни дължини – вълнов пакет. Колкото по-тесен е пакетът, толкова повече различни дължини на вълната (импулси) съдържа.

Δk0,4

Δk =0,4 nm⁻¹Δx =1,25 nmΔx · Δk =0,5

Сбори повече различни вълни (по-широк спектър) – пакетът става по-тесен. Произведението Δx · Δk остава 0,5.

💡 Горе е колко от всяка вълна (с вълново число k = 2π/λ) участва в пакета, долу – сборът им (плътно) и обвивката |ψ| (пунктир). Вълните се подсилват само там, където са в една фаза, а другаде се гасят. Импулсът на всяка вълна е p = ħk, затова Δx · Δp = ħ · Δx · Δk. За гаусов пакет като този произведението е точно ħ/2 – най-малкото възможно. Пакет с друга форма дава повече.

Т

Принцип на неопределеността на Хайзенберг (1927 г.)

\Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}

, където

\hbar = \frac{h}{2\pi} \approx 1{,}05 \cdot 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}

, а

\Delta x

и

\Delta p_x

са стандартните отклонения на координатата и импулса при много повторения на опита с една и съща вълнова функция. Равенство има за гаусов вълнов пакет.

Неопределеността често се обяснява така: „за да видим електрона, го удряме с фотон и така променяме импулса му“. Това е вярно, но не е цялата истина. Неопределеността е свойство на самото състояние – на вълната – а не само на несръчните ни уреди. Частица с точно определени и положение, и импулс просто не съществува, както няма вълна, която едновременно е съсредоточена в точка и има една-единствена дължина на вълната.

Пример

Електрон е „затворен“ в област с размер 0,1 nm (колкото атом). Каква е най-малката неопределеност на скоростта му?

$\Delta p \ge \frac{\hbar}{2\Delta x} = \frac{1{,}05 \cdot 10^{-34}}{2 \cdot 10^{-10}} \approx 5{,}3 \cdot 10^{-25}\ \mathrm{kg \cdot m/s}$
$\Delta v = \frac{\Delta p}{m} \approx \frac{5{,}3 \cdot 10^{-25}}{9{,}11 \cdot 10^{-31}} \approx 5{,}8 \cdot 10^5\ \mathrm{m/s}$ – огромна скорост, от порядъка на скоростта на електрона в атома.

Пример

Свързваме принципа на неопределеността с дифракцията. Електрони с импулс p минават през цепнатина с ширина a. Под какъв ъгъл се разширява снопът?

В цепнатината $\Delta y \sim a$ , затова се появява напречен импулс $\Delta p_y \gtrsim \frac{\hbar}{a}$ .
Ъгълът е $\theta \approx \frac{\Delta p_y}{p} \gtrsim \frac{\hbar}{ap} = \frac{\lambda}{2\pi a}$ – същата зависимост $\theta \sim \frac{\lambda}{a}$ , както при дифракцията на светлина. По-тесен процеп – по-широк сноп.

5. Енергия и време

Подобно съотношение свързва енергията и времето: $\Delta E \cdot \Delta t \gtrsim \frac{\hbar}{2}$ . Тук трябва да сме внимателни. Времето не е величина, която „измерваме“ у частицата като координатата. $\Delta t$ е характерното време, за което състоянието се променя забележимо – например средното време на живот на възбудено състояние.

Т

Време на живот и ширина на нивото

Възбудено състояние, което живее средно време

\tau

, няма точно определена енергия: тя е размита с

\Delta E \approx \frac{\hbar}{\tau}

. Затова спектралните линии имат естествена ширина

\Delta f \approx \frac{1}{2\pi\tau}

– по-краткоживеещите състояния дават по-широки линии.

Пример

Състоянието 2p на водородния атом живее средно 1,6 ns. Оцени естествената ширина на линията, която то излъчва при прехода към основното състояние (121,6 nm).

$\Delta E \approx \frac{\hbar}{\tau} = \frac{6{,}6 \cdot 10^{-16}\ \mathrm{eV \cdot s}}{1{,}6 \cdot 10^{-9}\ \mathrm{s}} \approx 4{,}1 \cdot 10^{-7}\ \mathrm{eV}$
$\Delta f = \frac{1}{2\pi\tau} \approx 100\ \mathrm{MHz}$ , а $f \approx 2{,}47 \cdot 10^{15}\ \mathrm{Hz}$ – линията е широка само около 4 стомилионни от честотата си.

Съотношението се използва и за много нестабилни частици: колкото по-кратко живеят, толкова по-широко е разпределението на масата им при многото измервания. Някои частици живеят толкова кратко, че се „виждат“ само като широк връх в това разпределение.

6. Оценки с неопределеността

Най-полезното приложение на принципа на неопределеността са бързите оценки. Ако частица е затворена в област с размер $r$ , импулсът ѝ не може да е нула – той е поне от на $\frac{\hbar}{r}$ . При оценки двойката и точните множители се пропускат – търсим порядъка.

Т

Енергия на затворена частица

Частица с маса

m

, затворена в област с размер

r

, има кинетична енергия поне около

E_k \approx \frac{p^2}{2m} \approx \frac{\hbar^2}{2mr^2}

. Колкото по-тясна е областта и по-лека частицата, толкова по-голяма е тази енергия.

Така се обяснява защо електронът не пада в ядрото, нещо, което планетарният модел не може да обясни. Ако се приближи до , привличането намалява потенциалната му енергия $-\frac{ke^2}{r}$ , но $\frac{\hbar^2}{2mr^2}$ расте по-бързо. Има най-изгоден размер – при него пълната енергия е най-малка.

r, pm100

Eк =3,8 eVEп =−14,4 eVE =−10,6 eV

Далеч от ядрото привличането е слабо. Намери r, при което пълната енергия е най-малка.

💡 Това е оценка: приемаме, че електрон в област с размер r има импулс p ≈ ħ/r. Точното решение на уравнението на Шрьодингер дава същите r и E – съвпадението е малко щастливо, но порядъкът не е случаен. Сравни трите йона: размерът намалява като 1/Z, а енергията расте като Z².

Пример

Намери минимума на $E(r) = \frac{\hbar^2}{2mr^2} - \frac{ke^2}{r}$ за водородния атом.

$E'(r) = -\frac{\hbar^2}{mr^3} + \frac{ke^2}{r^2} = 0 \Rightarrow r_0 = \frac{\hbar^2}{mke^2} \approx 0{,}0529\ \mathrm{nm}$ – радиусът на Бор $a_0$ .
$E(r_0) = -\frac{ke^2}{2r_0} = -\frac{1{,}44\ \mathrm{eV \cdot nm}}{2 \cdot 0{,}0529\ \mathrm{nm}} \approx -13{,}6\ \mathrm{eV}$ – енергията на основното състояние.

Същата оценка обяснява и много други неща. в ядрото са затворени в области от няколко фемтометъра и имат кинетични енергии от порядъка на MeV – затова освобождават милиони пъти повече енергия от химичните. А при топка или прашинка масата е толкова голяма, че неопределеността е нищожна.

Частица	Размер на областта	Енергия от неопределеността
електрон в атом	0,1 nm	няколко eV
нуклон в ядро	2 fm	няколко MeV
прашинка 1 µg	1 µm	около 10⁻⁴⁷ J

Оценката дава порядъка, но не и точните нива на енергията. Защо енергията на затворената частица е точно на порции, ще видим в урока Частица в кутия и тунелен ефект, а как вълновата функция определя формата на атома – в урока Квантовият атом.

7. Тренажор

Пресметни исканата величина. Десетичните отговори въвеждай като 2,5, а дробите – като 3/2.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

\Delta x = 0{,}75 \cdot 10^{-10}\ \mathrm{m},\ \hbar = 1{,}05 \cdot 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}

Най-малка неопределеност на импулса: $\Delta p = ?\ \cdot 10^{-24}\ \mathrm{kg \cdot m/s}$

8. Неопределеността около нас

0 / 6

⚛️ Електронът в атома

Електронът във водородния атом е „затворен“ в област с размер около 0,1 nm. Каква е най-малката неопределеност на скоростта му? Сравни със скоростта на електрона в модела на Бор (2,2·10⁶ m/s).

🎾 Тенис топка

Положението на тенис топка (60 g) е известно с точност 1 mm. Каква е най-малката неопределеност на скоростта ѝ? За колко години тази неопределеност би „размила“ положението ѝ с още 1 mm?

🟡 Жълтата линия на натрия

Възбуденото състояние на натриевия атом, от което се излъчва жълтата линия (589 nm), живее средно около 16 ns. Оцени естествената ширина на линията по честота $\Delta f \approx \frac{1}{2\pi\tau}$ и я сравни с честотата на светлината.

🧲 Нуклон в ядрото

Протон или неутрон в ядро е затворен в област с размер около 2 fm. Оцени кинетичната му енергия с $p \approx \frac{\hbar}{r}$ . Приеми $\hbar c = 197\ \mathrm{MeV \cdot fm}$ и $mc^2 = 938\ \mathrm{MeV}$ .

📺 Електронен лъч през отвор

Електрони със скорост $2 \cdot 10^7$ m/s минават през отвор с ширина 0,1 µm. С колко най-малко се разширява лъчът (на всяка страна) на екран на 50 cm зад отвора?

💥 Ако електронът паднеше в ядрото

Да предположим, че електронът е затворен в протона, т.е. в област с размер около 1 fm. Оцени импулса му като $pc \approx \frac{\hbar c}{r}$ ( $\hbar c = 197\ \mathrm{MeV \cdot fm}$ ). Колко пъти тази енергия е по-голяма от енергията на йонизация на водорода (13,6 eV)?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

9. ⚠️ Чести грешки

Вероятността е ψ

✗ $\displaystyle P = \psi$

✓ $\displaystyle P = |\psi|^2 \Delta x$ – вероятността е квадратът на модула

Събиране на вероятности

✗ $\displaystyle P = |\psi_1|^2 + |\psi_2|^2$ при две цепнатини

✓ без информация за пътя: $\displaystyle P = |\psi_1 + \psi_2|^2$

h вместо ħ

✗ $\displaystyle \Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{h}{2}$

✓ $\displaystyle \Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$ , $\displaystyle \hbar = \frac{h}{2\pi}$

Неопределеност = грешка на уреда

✗ с по-добър уред ще измерим $\displaystyle x$ и $\displaystyle p$ точно

✓ неопределеността е свойство на състоянието

Посоката на неравенството

✗ $\displaystyle \Delta x \cdot \Delta p \le \frac{\hbar}{2}$

✓ произведението е поне $\displaystyle \frac{\hbar}{2}$ – може да е по-голямо

„Наблюдателят“ разрушава ивиците

✗ нужно е някой да гледа

✓ достатъчно е взаимодействие, което оставя следа за пътя

10. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Електрони минават един по един през две цепнатини. Какво се вижда на екрана след хиляди електрона?

Избери отговор (или натисни 1–4)

11. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

✓ Квантовата механика предсказва вероятности; те се проверяват с много повторения на опита
✓ Правило на Борн: вероятността около $x$ е $|\psi(x)|^2 \Delta x$ ; сборът на всички вероятности е 1
✓ Суперпозиция: събират се амплитудите, $P = |\psi_1 + \psi_2|^2$ ; информацията за пътя унищожава интерференцията
✓ Принцип на неопределеността: $\Delta x \cdot \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$ , $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ – свойство на вълната, не само на уреда
✓ Време на живот и ширина: $\Delta E \approx \frac{\hbar}{\tau}$
✓ Затворена частица: $E_k \approx \frac{\hbar^2}{2mr^2}$ ; минимумът на $E(r)$ дава $a_0 \approx 0{,}0529\ \mathrm{nm}$ и $-13{,}6\ \mathrm{eV}$

💡 Интересен факт

През 1999 г. група на Антон Цайлингер във Виена получава интерференция с молекули C₆₀ – топки от 60 въглеродни атома, около 720 пъти по-тежки от протона. По-късно опитите стигат до молекули от около 2000 атома. Границата между „квантовия“ и „класическия“ свят не е в размера на телата, а в това колко добре успяваме да ги изолираме от околната среда.