Идеален газ

🔬 През 1827 г. шотландският ботаник Робърт Браун разглежда под дребни частици от цветен във вода и вижда, че те непрестанно подскачат насам-натам. Отначало помисля, че са живи, но същото правят и прашинки от неживи вещества. Почти 80 години никой не може да го обясни. През 1905 г. Алберт Айнщайн предлага отговор: частиците се блъскат от невидимите молекули на водата, а ударите от различните страни не се уравновесяват точно. Той пресмята колко далеч трябва да се отместват частиците, а около 1908 г. Жан Перен го проверява с опити и намира броя на молекулите в един мол. След това и учените, които се съмнявали, приемат, че атомите съществуват.

1. Атоми, молекули и мол

Всяко вещество е изградено от молекули (или атоми), които се движат непрекъснато. В газа те са далеч една от друга и летят свободно, докато се ударят в друга молекула или в стената. Молекулите са толкова малки, че ги броим на огромни „пакети“ – молове.

Количество вещество и число на Авогадро

Един мол съдържа

N_A = 6{,}022 \cdot 10^{23}

частици (числото на Авогадро). Количеството вещество е

n = \frac{N}{N_A} = \frac{m}{M}

, където

M

е моларната маса. В g/mol тя е равна на относителната молекулна маса: за водата

M = 18\ \mathrm{g/mol}

, за кислорода

\mathrm{O_2}

–

32\ \mathrm{g/mol}

Пример

Колко молекули има в чаша вода (250 g)?

$n = \frac{m}{M} = \frac{250}{18} \approx 13{,}9\ \mathrm{mol}$
$N = nN_A \approx 13{,}9 \cdot 6{,}02 \cdot 10^{23} \approx 8{,}36 \cdot 10^{24}$
Ако ги наредим една до друга (по около 0,3 nm), редицата ще е дълга около $2{,}5 \cdot 10^{15}\ \mathrm{m}$ – около 0,3 светлинни години.

2. Налягането на газа

Модел на идеален газ

Молекулите са точки с маса, движат се хаотично по всички посоки и се удрят еластично в стените и една в друга. Между ударите не си въздействат. Реалните газове при обикновени условия се държат почти така.

Всяка молекула, която се удря в стената, ѝ предава (виж Импулс и удари). Ударите са толкова много – милиарди милиарди всяка секунда върху всеки квадратен сантиметър, – че усещаме постоянна сила. Силата на единица площ е налягането $p = \frac{F}{S}$ (виж Статика и флуиди). Повече молекули, по-бързи молекули или по-малък съд – повече удари и по-голямо налягане.

N40T, K300V1

p по формулата100p измерено…време0 s

Пусни симулацията и изчакай няколко секунди – ударите се натрупват.

💡 Налягането е в относителни единици: 100 = 40 молекули при 300 K в целия обем. Удвои броя на молекулите или абсолютната температура – налягането се удвоява; намали обема наполовина – пак се удвоява. Цветът показва скоростта (синьо – бавни, червено – бързи), а жълтата молекула е една и съща през цялото време. Моделът е двумерен и молекулите не се удрят една в друга.

3. Газови закони

Закони на идеалния газ (за дадено количество газ)

Изотермен процес (

T

= const):

pV = \text{const}

– закон на Бойл–Мариот. Изобарен процес (

p

= const):

\frac{V}{T} = \text{const}

– закон на Гей-Люсак. Изохорен процес (

V

= const):

\frac{p}{T} = \text{const}

– закон на Шарл. Тук

T

е абсолютната температура:

T = t + 273{,}15

Трите закона са части от едно общо правило: $\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}$ . (В някои учебници имената на закона на Шарл и закона на Гей-Люсак са разменени – важни са формулите.) Ако продължим правите $V(T)$ и $p(T)$ назад, те стигат нула при $-273{,}15\ ^{\circ}\mathrm{C}$ – абсолютната нула, под която температурата не може да падне (виж Температура и топлина).

V, L2

p =100 kPaV =2 LT =300 K = 27 °CpV/T =0,667 kPa·L/K

Закон на Бойл–Мариот: pV = const – свиваш газа наполовина, налягането се удвоява.

💡 Количеството газ е едно и също (около 0,08 mol), затова pV/T не се променя при никой процес. При изобарния и изохорния процес правите, продължени назад (пунктир), минават през 0 K – така е открита абсолютната нула. Истинският газ се втечнява много преди това.

Пример

Спринцовка съдържа 20 cm³ въздух при атмосферно налягане 100 kPa. Запушваме отвора и бавно натискаме буталото до 5 cm³. Какво е налягането?

Бавно свиване – температурата остава като на околната среда: $p_1 V_1 = p_2 V_2$
$p_2 = 100 \cdot \frac{20}{5} = 400\ \mathrm{kPa}$ – четири пъти повече; затова буталото „натиска“ обратно.

4. Уравнение на състоянието

Уравнение на Клапейрон–Менделеев

pV = nRT = NkT

, където

R = 8{,}314\ \mathrm{J/(mol \cdot K)}

е универсалната газова константа, а

k = \frac{R}{N_A} = 1{,}381 \cdot 10^{-23}\ \mathrm{J/K}

– константата на Болцман. При

0\ ^{\circ}\mathrm{C}

101{,}3\ \mathrm{kPa}

един мол от всеки газ заема

V_m = 22{,}4\ \mathrm{L}

Забележително е, че уравнението не зависи от вида на газа: мол водород и мол въглероден диоксид при еднакви условия заемат един и същ обем. Различна е само масата им. В уравнението всичко е в SI: налягането в Pa, обемът в m³, температурата в K.

Пример

Колко въздух има в стая с размери 5 m × 4 m × 2,5 m при 20 °C и 101 kPa? ( $M_{\text{въздух}} = 29\ \mathrm{g/mol}$ )

$V = 50\ \mathrm{m^3}$ , $T = 293\ \mathrm{K}$
$n = \frac{pV}{RT} = \frac{101\,325 \cdot 50}{8{,}314 \cdot 293} \approx 2080\ \mathrm{mol}$
$m = nM \approx 2080 \cdot 0{,}029 \approx 60\ \mathrm{kg}$ – колкото тежи един възрастен човек!

5. Молекулно-кинетична теория

Налягане и температура според движението на молекулите

Налягането на идеален газ е

p = \frac{1}{3}\rho\,\overline{v^2}

, където

\rho

е плътността. Като сравним с

pV = NkT

, получаваме, че средната кинетична енергия на една молекула е

\overline{E_k} = \frac{3}{2}kT

. Средната квадратична скорост е

v_{\text{ск}} = \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}

Така температурата получава ясен смисъл: тя е мярка за средната енергия на хаотичното движение на молекулите. При една и съща температура леките молекули са по-бързи – енергията им е същата, но масата е по-малка.

Пример

Колко бързо се движат молекулите на азота (основната част от въздуха) при 27 °C? А на водорода?

$v_{\text{ск}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 8{,}314 \cdot 300}{0{,}028}} \approx 517\ \mathrm{m/s}$ – по-бързо от звука във въздуха.
Водородът е 14 пъти по-лек: $v_{\text{ск}} = 517 \cdot \sqrt{14} \approx 1930\ \mathrm{m/s}$

Молекулите нямат еднакви скорости: някои са бавни, други много бързи. Разпределението им е изведено от Джеймс Клерк Максуел. Най-бързите молекули от „опашката“ могат да избягат от планетата – затова Земята е изгубила свободния водород и хелий, а Луната почти няма атмосфера (подробно в урока Планети от земен тип).

T, K300

vₚ =422 m/s⟨v⟩ =476 m/sv ск =517 m/s

По-високата температура разлива кривата надясно; по-леките молекули са по-бързи при същата температура.

💡 Площта под кривата е 1 (всички молекули). vₚ е най-вероятната скорост, ⟨v⟩ – средната, а v ск – средната квадратична, която участва в енергията. Грубото правило е, че газ се задържа милиарди години, ако 6·v ск е под втората космическа скорост – но бягат и молекулите от далечната „опашка“ на кривата. Горните слоеве на атмосферата са много по-горещи от повърхността (около 1000 K).

Кога газът не е идеален? При високо налягане молекулите са близо една до друга и собственият им обем вече има значение, а при ниска температура започват да се привличат. Тогава газът се отклонява от $pV = nRT$ и накрая се втечнява. Как се разменя енергия между газа и околната среда, ще видим в урока Термодинамика.

6. Тренажор

Пресметни исканата величина. Десетичните отговори въвеждай като 33,6.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

p_1 = 100\ \mathrm{kPa}, \quad V_1 = 12\ \mathrm{L}, \quad V_2 = 8\ \mathrm{L}

При постоянна температура: $p_2 = ?\ \mathrm{kPa}$

7. Газът около нас

0 / 6

🎈 Балон с хелий

Балон за празник съдържа 10 L хелий при 20 °C и налягане 101 kPa. Колко мола и колко грама хелий има в него? ( $M = 4{,}00\ \mathrm{g/mol}$ )

🚗 Гумите след магистрала

Абсолютното налягане в гума е 320 kPa сутрин при 10 °C. След дълго шофиране въздухът в гумата се загрява до 40 °C, а обемът почти не се променя. Какво е налягането?

🫁 Един вдъх

При вдишване в белите дробове влизат около 0,5 L въздух. Колко мола са те при 37 °C и 101 kPa?

🤿 Мехурче от водолаз

Водолаз на дълбочина 20 m издишва мехурче с обем 2 cm³. Какъв е обемът му на повърхността, ако температурата не се променя? Атмосферното налягане е 101 kPa, а всеки метър вода добавя 9,8 kPa.

💨 Колко бързи са молекулите в стаята

Каква е средната квадратична скорост на молекулите на кислорода в стая при 20 °C? ( $M = 0{,}032\ \mathrm{kg/mol}$ )

🧊 Бутилка в хладилника

Затваряш празна пластмасова бутилка при 25 °C и 101 kPa и я слагаш в хладилник при 5 °C. Какво става налягането вътре, ако обемът не се промени?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

Градуси вместо келвини

✗ $\displaystyle pV = nRT$ с $\displaystyle T = 20$

✓ $\displaystyle T = 20 + 273 = 293\ \mathrm{K}$ – газовите закони са само с абсолютна температура

Двойно по-топло?

✗ от 20 °C до 40 °C обемът се удвоява

✓ $\displaystyle \frac{V_2}{V_1} = \frac{313}{293} \approx 1{,}07$ – само със 7%

Литри в SI формула

✗ $\displaystyle V = 10$ в $\displaystyle pV = nRT$ за 10 L

✓ $\displaystyle 10\ \mathrm{L} = 0{,}010\ \mathrm{m^3}$

Моларна маса в грамове

✗ $\displaystyle v = \sqrt{\frac{3RT}{32}}$ за кислород

✓ $\displaystyle M = 0{,}032\ \mathrm{kg/mol}$

Скорост и температура

✗ двойно $\displaystyle T$ – двойна скорост

✓ $\displaystyle v_{\text{ск}} \propto \sqrt{T}$ : двойно $\displaystyle T$ – $\displaystyle \sqrt{2} \approx 1{,}41$ пъти

Налягане в гумата

✗ манометърът показва 2,2 bar – това е $\displaystyle p$

✓ показва свръхналягането; абсолютното е около $\displaystyle 3{,}2\ \mathrm{bar}$

9. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Колко частици има в 1 mol вещество?

Избери отговор (или натисни 1–4)

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

✓ $n = \frac{N}{N_A} = \frac{m}{M}$ , $N_A = 6{,}022 \cdot 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}$ ; брауновото движение доказва, че молекулите съществуват и се движат
✓ Налягането на газа е резултат от ударите на молекулите в стените
✓ $pV = \text{const}$ (T = const), $\frac{V}{T} = \text{const}$ (p = const), $\frac{p}{T} = \text{const}$ (V = const), с $T = t + 273{,}15$
✓ $pV = nRT = NkT$ ; при 0 °C и 101,3 kPa един мол от всеки газ заема 22,4 L
✓ $\overline{E_k} = \frac{3}{2}kT$ – температурата е мярка за енергията на хаотичното движение
✓ $v_{\text{ск}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ : леките молекули са по-бързи; скоростите са разпределени по Максуел

💡 Интересен факт

В цялата атмосфера на Земята има около $10^{44}$ молекули, а в един вдъх – около $10^{22}$ . Значи един вдъх е около $10^{-22}$ от атмосферата. Ако молекулите от последния дъх на Юлий Цезар са се разпръснали равномерно за двете хилядолетия оттогава (и не са влезли в ), във всеки твой вдъх средно има около една молекула от него. Това е класическа – грубо, но показва колко невъобразимо много са молекулите.