Фотони и фотоефект — урок по физика

1. Светлината идва на порции

В края на XIX век светлината е „решен въпрос“: тя е (виж Променлив ток и ЕМ вълни и Вълнова оптика). Но през 1900 г. Макс Планк успява да обясни на нагрято тяло само като приеме, че енергията се излъчва на порции $E = hf$ (повече за топлинното излъчване – в урока Светлина и спектри). Самият Планк смята това за математически трик. Айнщайн отива по-далеч: самата светлина се състои от порции – по-късно наречени фотони.

О

Фотон

Фотонът е най-малката порция електромагнитно излъчване. Той се движи със скоростта на светлината

c

, няма маса на покой и се поглъща или излъчва цял – „половин фотон“ не съществува.

Т

Енергия на фотона

E = hf = \frac{hc}{\lambda}

, където

h \approx 6{,}63 \cdot 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}

е константата на Планк. В атомната физика енергията се мери в електронволтове:

1\ \mathrm{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{J}

– енергията, която получава електрон при ускоряване с 1 V. Удобно правило:

E\,[\mathrm{eV}] \approx \frac{1240}{\lambda\,[\mathrm{nm}]}

.

Излъчване	f или λ	E на фотона, eV
радио (FM)	100 MHz	4 · 10⁻⁷
микровълни	2,45 GHz	10⁻⁵
инфрачервено	10 µm	0,12
червено	700 nm	1,8
виолетово	400 nm	3,1
ултравиолетово	250 nm	5
рентгеново	0,1 nm	12 400

Пример

Каква е енергията на фотон от червената (700 nm) и от виолетовата (400 nm) светлина?

$E_{\text{черв}} = \frac{1240}{700} \approx 1{,}77\ \mathrm{eV}$
$E_{\text{виол}} = \frac{1240}{400} = 3{,}1\ \mathrm{eV}$ – виолетовият фотон носи почти два пъти повече енергия.

Енергиите на са от на няколко eV. Затова видимата светлина задейства зрението и , ултравиолетът вече руши молекули, а радиовълните не могат да скъсат нито една връзка, колкото и мощен да е предавателят.

2. Фотоефектът: опитите, които вълните не обясняват

През 1887 г. Хайнрих Херц забелязва, че искрата прескача по-лесно, когато електродите са осветени с ултравиолет. Оказва се, че светлината избива електрони от метала – това е фотоефектът. Филип Ленард изследва избитите електрони (1902 г.) и открива закономерности, които вълновата теория не може да обясни:

броят на избитите електрони ( на насищане) е пропорционален на яркостта на светлината;
най-голямата на електроните не зависи от яркостта, а расте с ;
за всеки метал има червена граница – под определена честота няма фотоефект, колкото и ярка да е светлината;
електроните излитат веднага – дори при съвсем слаба светлина няма забавяне.

Според вълновата теория по-ярката вълна трябва да „разклаща“ електроните по-силно и да ги изхвърля по-бързо, а слабата светлина – да ги „натрупва“ енергия дълго време, преди да излетят. Опитите показват обратното.

3. Уравнението на Айнщайн

Обяснението на Айнщайн е просто: един фотон се поглъща от един електрон и му предава цялата си енергия. Част от нея отива, за да излезе електронът от метала – това е отделителната работа $A$ . Останалото е кинетична енергия. Електроните по-навътре в метала губят още енергия по пътя, затова уравнението дава най-голямата кинетична енергия.

Т

Уравнение на Айнщайн за фотоефекта

hf = A + E_{k,\max}

. Фотоефект има само ако

hf \ge A

, т.е. при честота над

f_0 = \frac{A}{h}

или дължина на вълната под червената граница

\lambda_0 = \frac{hc}{A}

.

Т

Спиращо напрежение

Ако анодът е с отрицателен потенциал спрямо катода, полето спира електроните. Токът изчезва при спиращото напрежение

U_s

, за което

eU_s = E_{k,\max} = hf - A

. Ако енергията е в eV,

U_s

във волтове е същото число.

Метал	A, eV (прибл.)	λ₀, nm
цезий	2,1	590
калий	2,3	540
натрий	2,4	520
калций	2,9	430
цинк	4,3	290
мед	4,7	260
платина	5,6	220

Стойностите са приблизителни: отделителната работа зависи от чистотата и обработката на повърхността. (цезий, калий, натрий) реагират на видима светлина, а повечето други – само на ултравиолет.

λ, nm400яркост, %60U, V0

hf =3,1 eVA =2,1 eVE_k,max =1 eVλ₀ =590 nm

Полето помага на електроните. При голямо U всички избити електрони стигат до анода – токът на насищане е пропорционален на яркостта.

💡 Промени яркостта: токът расте, но спиращото напрежение (червената пунктирна линия) остава на мястото си. Промени λ: при по-къси вълни спиращото напрежение расте, а над червената граница λ₀ токът изчезва изцяло. Опитай мед или платина – те изискват ултравиолет.

Пример

Натрий (A = 2,4 eV) е осветен с ултравиолет 300 nm. Намери най-голямата кинетична енергия и скорост на електроните и спиращото напрежение.

$hf = \frac{1240}{300} \approx 4{,}13\ \mathrm{eV}$
$E_{k,\max} = hf - A = 4{,}13 - 2{,}4 = 1{,}73\ \mathrm{eV}$ , затова $U_s = 1{,}73\ \mathrm{V}$
$v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}73 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}}{9{,}11 \cdot 10^{-31}}} \approx 7{,}8 \cdot 10^5\ \mathrm{m/s}$

Фотоефектът работи около нас: фотоумножителите засичат отделни фотони, а нощното виждане усилва слабата светлина. В слънчевите клетки и камерите на телефоните действа сроден вътрешен фотоефект – фотонът не изхвърля електрона навън, а го освобождава вътре в полупроводника.

4. Как Миликан измери h

Ако разделим уравнението на Айнщайн на $e$ , получаваме права линия:

Т

Спиращото напрежение като функция на честотата

U_s = \frac{h}{e}f - \frac{A}{e}

. Наклонът

\frac{h}{e}

е един и същ за всички метали; пресечната точка с оста

f

е червената граница

f_0

, а с оста

U_s

(продължена до

f = 0

) е

-\frac{A}{e}

.

Линии на живачната лампа – натисни, за да измериш:

точки за правата:0 от поне 2

Измери поне две линии, които избиват електрони, за да прекараш права.

💡 От уравнението на Айнщайн eU_s = hf − A следва U_s = (h/e)·f − A/e – права линия. Смени метала: правите са успоредни. Продължи правата до f = 0 – пресечната точка с вертикалната ос дава −A/e, а с хоризонталната – червената граница f₀. Цинкът „вижда“ само ултравиолетовата линия 254 nm – с една точка права не се прекарва.

Пример

Наклонът на правата U_s(f) в опит е 4,14·10⁻¹⁵ V·s. Каква е константата на Планк?

$h = e \cdot \text{наклона} = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 4{,}14 \cdot 10^{-15}$
$h \approx 6{,}62 \cdot 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$

5. Импулс на фотона и светлинно налягане

Щом фотонът носи енергия и се движи, той носи и . Когато светлината се поглъща или отразява, тя предава импулс – тоест бута.

Т

Импулс на фотона

p = \frac{E}{c} = \frac{h}{\lambda}

. Сноп с мощност

P

при пълно поглъщане действа със сила

F = \frac{P}{c}

, а при пълно отражение – с

F = \frac{2P}{c}

, защото импулсът на фотоните се обръща.

Силата е мъничка: слънчевата светлина бута 1 m² черна повърхност близо до Земята с около 4,5 µN. Тя обаче отклонява праховите опашки на кометите встрани от Слънцето и позволява слънчевите платна. Най-ясно импулсът на фотона се вижда при разсейването на рентгенови лъчи от електрони.

Т

Ефект на Комптън (1923 г.)

Рентгенов фотон, разсеян от свободен електрон под ъгъл

\theta

, излиза с по-голяма дължина на вълната:

\Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\theta)

. Величината

\frac{h}{mc} \approx 2{,}43\ \mathrm{pm}

е комптъновата дължина на вълната на електрона. Фотонът и електронът се удрят като билярдни топки – запазват се и енергията, и импулсът.

Пример

Колко се увеличава дължината на вълната на фотон, отразен назад (θ = 180°) от електрон?

$\Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos 180^{\circ}) = 2 \cdot 2{,}43\ \mathrm{pm}$
$\Delta\lambda \approx 4{,}85\ \mathrm{pm}$ – забележимо за рентгенови лъчи (около 70 pm), но нищожно за видимата светлина (500 000 pm).

6. Частиците също са вълни

През 1924 г. Луи дьо Бройл предлага обратната идея: щом вълната светлина има импулс като частица, може би и частиците имат вълнови свойства. През 1927 г. Клинтън Дейвисън и Лестър Джърмър, а независимо от тях и Джордж Томсън, наблюдават на електрони от кристали – точно както рентгеновите лъчи.

Т

Дължина на вълната на дьо Бройл

Частица с импулс

p

има дължина на вълната

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}

. За електрон, ускорен от покой с напрежение

U

:

eU = \frac{p^2}{2m}

, т.е.

\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meU}}

.

U, V100

λ =122,8 pmv =5,93 · 10⁶ m/sелектрони:0

Всеки електрон оставя една-единствена точка – като частица. Пусни и изчакай.

💡 По-голямото ускоряващо напрежение дава по-бързи електрони с по-къса дължина на вълната λ = h/p – ивиците се сгъстяват. Схемата не е в мащаб: в истинските опити ивиците са на микрометри една от друга и се увеличават с електронни лещи.

Пример

Сравни дължините на вълната на електрон, ускорен със 100 V, и на тенис топка (60 g) със скорост 50 m/s.

Електрон: $\lambda = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2 \cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 100}} \approx 1{,}23 \cdot 10^{-10}\ \mathrm{m}$ – колкото разстоянието между атомите в кристал.
Топка: $\lambda = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{0{,}06 \cdot 50} \approx 2{,}2 \cdot 10^{-34}\ \mathrm{m}$ – нищожно малко; вълновите свойства на топката не могат да се наблюдават.

О

Корпускулярно-вълнов дуализъм

И светлината, и частиците се държат като вълни, когато се разпространяват (интерференция, дифракция), и като частици, когато се поглъщат или засичат (една точка на екрана, един избит електрон). Вълната определя вероятността къде ще попадне частицата.

На това се основава електронният : електроните имат стотици хиляди пъти по-къса от видимата светлина и различават много по-фини детайли – до отделни атоми. Как вълновите свойства на електрона определят строежа на атома, ще видим в урока Атомът.

7. Тренажор

Пресметни исканата величина. Приеми hc = 1240 eV·nm. Десетичните отговори въвеждай като 2,4.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

A = 4\ \mathrm{eV}

Червена граница: $\lambda_0 = ?\ \mathrm{nm}$

8. Фотоните около нас

0 / 6

☀️ Защо изгаряме на слънце

Ултравиолетовите лъчи UVB (около 300 nm) причиняват слънчево изгаряне, а червената светлина (700 nm) – не, колкото и да е ярка. Каква е енергията на един UVB фотон в eV и колко пъти е по-голяма от тази на червения?

🔴 Лазерна показалка

Червена лазерна показалка с мощност 5 mW свети с λ = 650 nm. Колко фотона излъчва за една секунда?

🧪 Фотоклетка с цезий

Катодът на фотоклетка е покрит с цезий (A ≈ 2,1 eV). До каква най-голяма дължина на вълната ще работи клетката?

⛵ Слънчево платно

Огледално платно с площ 100 m² е разположено перпендикулярно на слънчевите лъчи близо до Земята, където интензитетът е 1360 W/m². С каква сила го бута светлината?

🔬 Електронен микроскоп

В електронен микроскоп електроните се ускоряват с напрежение 10 kV. Каква е дължината на вълната им (в pm)? Сравни с видимата светлина.

📻 Радиостанция

Радиостанция излъчва с мощност 100 kW на честота 100 MHz. Колко фотона излъчва за секунда?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

9. ⚠️ Чести грешки

Яркост и енергия

✗ по-ярката светлина дава по-бързи електрони

✓ по-ярката дава повече електрони; $\displaystyle E_{k,\max}$ зависи само от $\displaystyle f$

Енергия от дължината на вълната

✗ $\displaystyle E = h\lambda$

✓ $\displaystyle E = hf = \frac{hc}{\lambda}$ – по-късата вълна носи повече енергия

Смесени единици

✗ $\displaystyle hf$ в джаули минус $\displaystyle A$ в eV

✓ първо всичко в eV (или в J): $\displaystyle 1\ \mathrm{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \mathrm{J}$

Червена граница наобратно

✗ фотоефект има при $\displaystyle \lambda > \lambda_0$

✓ фотоефект има при $\displaystyle \lambda < \lambda_0$ , т.е. $\displaystyle f > f_0$

Спиращо напрежение

✗ $\displaystyle U_s = E_{k,\max}$ в джаули

✓ $\displaystyle eU_s = E_{k,\max}$ ; в eV числото е същото като $\displaystyle U_s$ във волтове

Импулс на ускорен електрон

✗ $\displaystyle p = eU$

✓ $\displaystyle p = \sqrt{2meU}$ , защото $\displaystyle eU = \frac{p^2}{2m}$

10. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

От какво зависи енергията на един фотон?

Избери отговор (или натисни 1–4)

11. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

✓ Светлината се излъчва и поглъща на порции – фотони с енергия $E = hf = \frac{hc}{\lambda}$ ; $E\,[\mathrm{eV}] \approx \frac{1240}{\lambda\,[\mathrm{nm}]}$
✓ Уравнение на Айнщайн: $hf = A + E_{k,\max}$ ; червена граница $\lambda_0 = \frac{hc}{A}$
✓ Яркостта определя броя на електроните, а честотата – енергията им
✓ Спиращо напрежение: $eU_s = E_{k,\max}$ ; графиката $U_s(f)$ е права с наклон $\frac{h}{e}$
✓ Импулс на фотона $p = \frac{h}{\lambda}$ ; светлинно налягане $F = \frac{P}{c}$ (поглъщане) или $\frac{2P}{c}$ (отражение); ефект на Комптън $\Delta\lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\theta)$
✓ Частиците са и вълни: $\lambda = \frac{h}{p}$ , за ускорен електрон $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meU}}$

💡 Интересен факт

През 2010 г. японският апарат IKAROS разпъва в междупланетното пространство платно с размери около 14 × 14 m и дебелина няколко микрометра – по-тънко от човешки косъм. Светлинното налягане го бута със сила от порядъка на милинютон – колкото тежестта на предмет с маса 0,1 g. Това е първата демонстрация, че слънчево платно може да ускорява и насочва космически апарат само със светлина.