Статика и флуиди — урок по физика

1. Равновесие и момент на силата

Статиката изучава телата в покой. От законите на Нютон знаем, че тялото не се ускорява, когато сумата от силите е нула. Но това не стига: две равни и противоположни сили в краищата на линийка я завъртат. Затова за въртенето има втора величина – моментът на силата.

О

Момент на силата

Моментът на силата

F

спрямо ос е

M = F \cdot d

, където рамото

d

е перпендикулярното разстояние от оста до линията, по която действа силата. Единицата е

\mathrm{N \cdot m}

. Моментът е положителен или отрицателен според посоката на въртене, която предизвиква.

Т

Условия за равновесие

Твърдо тяло е в равновесие, когато: 1) сумата от силите е нула,

\sum \vec{F} = 0

; 2) сумата от моментите спрямо коя да е ос е нула,

\sum M = 0

. Удобно е оста да минава през точка, в която действа неизвестна сила – тогава нейният момент е нула.

Пример

Дете с маса 30 kg седи на 2 m от опората на люлка. Къде трябва да седне баща му с маса 75 kg?

Моментите на теглата трябва да са равни: $30 \cdot g \cdot 2 = 75 \cdot g \cdot d$
$d = \frac{60}{75} = 0{,}8\ \mathrm{m}$ от опората, от другата страна.
Силата на опората е $(30 + 75)g$ – така е изпълнено и първото условие.

Как завърта телата с ъглово , ще видиш в урока Въртене.

2. Лостове около нас

Т

Правило на лоста

Лостът е в равновесие, когато

F_1 d_1 = F_2 d_2

. Колкото пъти по-дълго е рамото, толкова пъти по-малка сила е нужна. „Печалбата“ в сила се плаща с път: дългото рамо се движи повече.

Лостове са люлката, ножицата, клещите и отварачката, ръчната количка (опората е колелото, товарът е между него и ръцете), а и самата ни ръка: бицепсът е закрепен близо до лакътя и дърпа с много по-голяма сила от теглото на предмета в дланта – затова пък дланта се движи бързо.

m₁, kg30x₁, m−2m₂, kg40x₂, m1

M₁ =−588 N·mM₂ =392 N·mΣM =−196 N·m

За равновесие при m₂ = 40 kg второто тегло трябва да е на x₂ = 1,5 m.

💡 Положителното x е вдясно от опората. Моментът на теглото е mgx: по-тежкото тегло уравновесява по-лекото, ако е по-близо до опората. Числата в квадратчетата са масите в kg, а стрелките – теглата им (g = 9,8 m/s²).

Пример

Държиш в дланта гира с маса 5 kg на 35 cm от лакътя, а бицепсът е закрепен на 4 cm от лакътя. С каква сила дърпа бицепсът (теглото на ръката пренебрегваме, $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ )?

Ос през лакътя: $F \cdot 4 = 5 \cdot 9{,}8 \cdot 35$
$F = \frac{1715}{4} \approx 429\ \mathrm{N}$ – почти 9 пъти теглото на гирата.

3. Център на масата и устойчивост

О

Център на масата (тежестта)

Центърът на масата е точката, в която можем да смятаме, че е приложено теглото на тялото. За две тела по права:

x_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}

. При еднородни симетрични тела той е в центъра на симетрия.

Тяло на опора е устойчиво, докато вертикалата през центъра на масата минава през основата. Щом излезе извън нея, моментът на теглото го преобръща. Затова състезателните коли са ниски и широки, а наклонената кула в Пиза (висока около 56 m, наклонена на около 4°) стои: вертикалата през центъра ѝ на масата още е в основата. При ремонта, завършен през 2001 г., наклонът е леко намален.

Пример

Тухла с ширина 10 cm и височина 30 cm стои изправена на дъска. Дъската бавно се накланя. При какъв ъгъл тухлата ще се преобърне (ако не се плъзне преди това)?

Центърът на масата е в средата: на 5 cm от ръба и на 15 cm височина.
Тухлата се преобръща, когато вертикалата през центъра мине през долния ръб: $\tg \alpha = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$
$\alpha \approx 18{,}4^\circ$ . Колкото по-висока и тясна е тухлата, толкова по-лесно пада.

4. Налягане в течности и газове

О

Налягане

Налягането е силата на единица площ, перпендикулярна на повърхността:

p = \frac{F}{S}

. Единицата е паскал:

1\ \mathrm{Pa} = 1\ \mathrm{N/m^2}

. Затова ножът реже с острието, а ските не потъват в снега.

Т

Хидростатично налягане

На дълбочина

h

в течност с плътност

\rho

налягането е

p = p_0 + \rho g h

, където

p_0

е налягането на повърхността (обикновено атмосферното). То не зависи от формата на съда, а само от дълбочината. Затова в скачени съдове една и съща течност стои на едно и също ниво.

Над нас има „океан“ от въздух. През 1643 г. Еванджелиста Торичели напълва стъклена тръба с живак и я обръща в съд с живак: в тръбата остава стълб от около 76 cm. Той се крепи от атмосферното налягане: $p_0 = \rho g h \approx 13\,600 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}76 \approx 101\ \mathrm{kPa}$ . Водата, която е 13,6 пъти по-лека, би се издигнала на около 10 m.

Пример

Какво налягане понася гмуркач на 10 m дълбочина в езеро?

$\rho g h = 1000 \cdot 9{,}8 \cdot 10 = 98\,000\ \mathrm{Pa} \approx 98\ \mathrm{kPa}$ – почти още една атмосфера.
$p = 101 + 98 \approx 199\ \mathrm{kPa}$ – около два пъти атмосферното.

5. Закон на Паскал и хидравлична преса

Т

Закон на Паскал

Налягането, приложено върху течност или газ в затворен съд, се предава без изменение във всяка точка и във всички посоки.

На това се основава хидравличната преса: два свързани цилиндъра с бутала с площи $S_1$ и $S_2$ . Налягането под тях е едно и също, затова $\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}$ и $F_2 = F_1 \frac{S_2}{S_1}$ . Така работят спирачките на колата, крикът в автосервиза и багерите. Пресата не дава енергия даром: изтласканият обем е един и същ, $S_1 s_1 = S_2 s_2$ , и работата $F_1 s_1 = F_2 s_2$ .

S₁, cm²5S₂, cm²500ход, cm20

p =235,2 kPaF₂ : F₁ =100колата се вдига с0,2 cm

A₁ = F₁s₁ =23,5 JA₂ = F₂s₂ =23,5 J

Печелим сила, но губим път: работата от двете страни е една и съща.

💡 Натискаме малкото бутало със сила F₁. Налягането p = F₁/S₁ се предава във всички посоки и бута голямото бутало със сила F₂ = p·S₂. Течността не се свива, затова обемът, изтласкан отляво, влиза отдясно: S₁s₁ = S₂s₂.

6. Архимедова сила и плаване

Т

Закон на Архимед

На всяко тяло, потопено в течност или газ, действа изтласкваща сила, равна на теглото на изместения флуид:

F_A = \rho_{\text{фл}}\, g\, V_{\text{пот}}

. Тя идва от разликата в налягането: отдолу тялото е по-дълбоко и е натиснато по-силно, отколкото отгоре.

Т

Плаване на телата

Тялото потъва, ако средната му плътност е по-голяма от тази на течността, и изплува, ако е по-малка. Плаващото тяло е потопено отчасти, така че

F_A = mg

; потопената част е

\frac{V_{\text{пот}}}{V} = \frac{\rho_{\text{т}}}{\rho_{\text{фл}}}

.

Стоманеният кораб плава, защото е кух: средната му плътност ( плюс въздух вътре) е по-малка от тази на водата. Подводницата потъва и изплува, като пълни и изпразва резервоари с вода. А балонът с горещ въздух „плава“ във въздуха по същия закон.

↓, cm4

тегло26,46 NFₐ =3,92 Nдинамометър22,54 Nпотопено40%

Кубчето потъва: плътността му е по-голяма. Напълно потопено „олеква“ с 9,8 N.

💡 Спускай кубчето с плъзгача. Архимедовата сила (синята стрелка) е равна на теглото на изместената течност и расте, докато кубчето потъва. Когато стигне теглото, динамометърът показва 0 и нишката се отпуска – тялото плава. Пробвай желязо в живак и лед в олио.

Пример

Корона „тежи“ 9,80 N във въздуха и 9,25 N, потопена във вода. От чисто злато ли е ( $\rho_{\text{злато}} = 19\,300\ \mathrm{kg/m^3}$ , $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ )?

$F_A = 9{,}80 - 9{,}25 = 0{,}55\ \mathrm{N} = \rho_{\text{в}} g V \Rightarrow V = \frac{0{,}55}{1000 \cdot 9{,}8} \approx 5{,}61 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{m^3}$
Масата е $m = \frac{9{,}80}{9{,}8} = 1\ \mathrm{kg}$ , така че $\rho = \frac{1}{5{,}61 \cdot 10^{-5}} \approx 17\,800\ \mathrm{kg/m^3}$ .
Това е по-малко от плътността на златото – в короната има по-лек метал.

7. Течащи флуиди

Т

Уравнение на непрекъснатостта

Течността не се натрупва в тръбата, затова за всяко сечение

S_1 v_1 = S_2 v_2

: там, където тръбата е по-тясна, течността тече по-бързо. Затова, когато притиснеш с пръст края на маркуча, струята стига по-далеч.

Т

Закон на Бернули

По протежение на струята

p + \frac{\rho v^2}{2} + \rho g h = \text{const}

: където флуидът тече по-бързо, налягането му е по-ниско. Така се обяснява защо завесата на душа се „лепи“ за теб и (отчасти) как се получава подемната сила на крилото.

Пример

Вода тече в тръба със сечение 4 cm² със скорост 0,5 m/s и влиза в участък със сечение 1 cm². Каква е скоростта там и с колко пада налягането?

$v_2 = v_1 \cdot \frac{S_1}{S_2} = 0{,}5 \cdot 4 = 2\ \mathrm{m/s}$
$\Delta p = \frac{\rho}{2}(v_2^2 - v_1^2) = 500 \cdot (4 - 0{,}25) = 1875\ \mathrm{Pa}$

8. Тренажор

Пресметни исканата величина. Десетичните отговори въвеждай като 12,5.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

V = 200\ \mathrm{cm^3},\ \rho_{\text{в}} = 1000\ \mathrm{kg/m^3},\ g = 10\ \mathrm{m/s^2}

Тялото е изцяло във вода: $F_A = ?\ \mathrm{N}$

9. Налягане и равновесие около нас

0 / 6

🎿 Ски в дълбок сняг

Човек с маса 70 kg стои в сняг. Подметките на обувките му имат обща площ 0,05 m², а двете ски – 0,34 m². Какво налягане оказва върху снега с обувки и със ски, в kPa? ( $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ )

🔧 Хидравличен крик

В автосервиз кола с маса 1200 kg стои на голямото бутало на хидравличен крик с площ 500 cm². Малкото бутало е с площ 5 cm². С каква сила трябва да се натиска малкото бутало? ( $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ )

🤿 Гмуркане

Какво е налягането на дълбочина 25 m в морето? Плътността на морската вода е 1025 kg/m³, атмосферното налягане е 101,3 kPa, $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ .

🧊 Върхът на айсберга

Плътността на леда е около 917 kg/m³, а на морската вода – около 1025 kg/m³. Колко процента от обема на айсберга е под водата?

🚪 Защо дръжката е далеч от пантите

За да отвориш тежка врата, бутайки дръжката на 0,9 m от пантите, ти трябва сила 20 N. Каква сила ще е нужна, ако буташ на 0,1 m от пантите (перпендикулярно на вратата)?

💦 Маркуч с дюза

Водата в градински маркуч с диаметър 2 cm тече с 1 m/s. На края има дюза с диаметър 0,5 cm. С каква скорост излиза водата и колко високо би стигнала струя, насочена право нагоре (без съпротивление, $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ )?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

10. ⚠️ Чести грешки

Рамо на силата

✗ рамото е разстоянието до точката на приложение

✓ рамото е перпендикулярът от оста до линията на силата

Площ и налягане

✗ по-голяма площ – по-голямо налягане

✓ при същата сила $\displaystyle p = \frac{F}{S}$ намалява с площта

Форма на съда

✗ в широкия съд налягането на дъното е по-голямо

✓ при еднаква дълбочина налягането е еднакво – зависи само от $\displaystyle h$

Архимедова сила

✗ зависи от плътността на тялото

✓ зависи от плътността на течността и потопения обем

Хидравлична преса

✗ пресата увеличава енергията

✓ печелим сила, губим път: $\displaystyle F_1 s_1 = F_2 s_2$

Квадратни единици

✗ $\displaystyle 1\ \mathrm{cm^2} = 10^{-2}\ \mathrm{m^2}$

✓ $\displaystyle 1\ \mathrm{cm^2} = 10^{-4}\ \mathrm{m^2}$

11. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

В каква единица се мери моментът на силата?

Избери отговор (или натисни 1–4)

12. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

13. Обобщение

✓ Равновесие: $\sum \vec{F} = 0$ и $\sum M = 0$ ; момент $M = Fd$ с рамо, перпендикулярно на силата
✓ Лост: $F_1 d_1 = F_2 d_2$ – печелим сила, губим път
✓ Тялото е устойчиво, докато вертикалата през центъра на масата минава през основата
✓ $p = \frac{F}{S}$ ; в течност $p = p_0 + \rho g h$ ; атмосферното налягане е около 101 kPa
✓ Паскал: налягането се предава навсякъде; преса $\frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1}$
✓ Архимед: $F_A = \rho_{\text{фл}} g V_{\text{пот}}$ ; плаващо тяло е потопено на $\frac{\rho_{\text{т}}}{\rho_{\text{фл}}}$ от обема си
✓ $S_1 v_1 = S_2 v_2$ ; по-бързият флуид има по-ниско налягане (Бернули)

💡 Интересен факт

През 1650-те години Ото фон Герике, кмет на Магдебург, долепя две медни полукълба с диаметър около 50 cm и изпомпва въздуха между тях. По описанията два впряга коне не успяват да ги разделят. Не ги държи никакво лепило – само атмосферното налягане отвън: $F = p_0 \pi r^2 \approx 101\,000 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}25^2 \approx 20\,000\ \mathrm{N}$ – колкото теглото на товар от 2 тона. Щом пуснат въздух вътре, полукълбата се разделят от само себе си.