Електромагнитна индукция — урок по физика

1. Магнитен поток

Колко „силно“ магнитно поле минава през една рамка, зависи от три неща: индукцията на полето $B$ , лицето на рамката $S$ и ъгъла, под който линиите я пронизват (за самото поле виж Магнитно поле).

О

Магнитен поток

\Phi = BS\cos\alpha

, където

\alpha

е ъгълът между

\vec{B}

и нормалата към рамката. Единицата е вебер:

1\ \mathrm{Wb} = 1\ \mathrm{T \cdot m^2}

. Потокът е най-голям, когато линиите пронизват рамката перпендикулярно (

\alpha = 0

), и е нула, когато лежат в равнината ѝ (

\alpha = 90^\circ

).

Пример

Рамка с лице 0,04 m² е в поле 0,5 T, като нормалата ѝ сключва 60° с линиите. Какъв е потокът?

$\Phi = BS\cos\alpha = 0{,}5 \cdot 0{,}04 \cdot \cos 60^\circ$
$\Phi = 0{,}5 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}5 = 0{,}01\ \mathrm{Wb}$

2. Закон на Фарадей и правило на Ленц

Т

Закон на Фарадей

Когато магнитният поток през затворен контур се мени, в него се индуцира ЕДН:

\mathcal{E} = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}

, където

N

е броят навивки. Колкото по-бързо се мени потокът, толкова по-голямо е ЕДН. Постоянният поток, колкото и голям да е, не индуцира нищо.

Т

Правило на Ленц

Индуцираният ток има такава посока, че неговото магнитно поле противодейства на промяната на потока, която го е предизвикала. Това е минусът в закона на Фарадей. Ако беше обратно, токът щеше да усилва сам себе си и да създава енергия от нищо – правилото на Ленц е следствие от закона за запазване на енергията.

Когато приближаваш северния полюс на магнит към бобина, обърнатият към него край на бобината също става северен полюс и го отблъсква – трябва да извършиш работа, за да го вкараш. Тази работа се превръща в електрична енергия (виж Работа, енергия, мощност). Пробвай в лабораторията.

v, m/s0,5N200

Φ =0,13 mWbℰ =0 mVмагнит на16 cm

Магнитът стои – потокът не се мени и ЕДН е нула, колкото и силен да е магнитът.

💡 Φ е общият поток през всички N навивки. ЕДН е пропорционално на наклона на графиката на Φ, а не на самия поток: най-голямо е там, където Φ се мени най-бързо. Удвои скоростта или броя навивки – ЕДН се удвоява. Стойностите са за силен малък магнит и бобина с радиус 3 cm.

Пример

Бобина с 500 навивки е в поле, чийто поток през всяка навивка намалява с 2 mWb за 0,05 s. Какво е ЕДН?

$\mathcal{E} = N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = 500 \cdot \frac{0{,}002}{0{,}05}$
$\mathcal{E} = 20\ \mathrm{V}$ (по големина; посоката на тока определяме по правилото на Ленц)

Правилото на Ленц обяснява и вихровите токове: в масивен метал, който се движи в магнитно поле, се индуцират кръгови токове, които го спират. Силен магнит пада бавно в медна тръба, влаковете и камионите имат вихрови спирачки, а индукционният котлон загрява само металния съд – в дъното му се индуцират вихрови токове.

3. ЕДН в движещ се проводник

Т

ЕДН при движение в магнитно поле

Проводник с дължина

l

, който се движи със скорост

v

перпендикулярно на линиите на полето

B

, има между краищата си ЕДН

\mathcal{E} = Blv

. Причината е силата на Лоренц, която избутва свободните електрони към единия край. Ако проводникът е част от затворена верига, по нея тече ток.

Пример

Метален прът с дължина 0,5 m се плъзга по релси със скорост 4 m/s в поле 0,3 T. Релсите са свързани с резистор 2 Ω. Намерете ЕДН, тока и силата, с която полето спира пръта.

$\mathcal{E} = Blv = 0{,}3 \cdot 0{,}5 \cdot 4 = 0{,}6\ \mathrm{V}$ , $I = \frac{\mathcal{E}}{R} = 0{,}3\ \mathrm{A}$
На тока в пръта действа сила на Ампер $F = BIl = 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}5 = 0{,}045\ \mathrm{N}$ , насочена срещу движението (Ленц).
За да държим скоростта постоянна, бутаме с мощност $Fv = 0{,}18\ \mathrm{W}$ – точно колкото се отделя в резистора: $I^2R = 0{,}09 \cdot 2 = 0{,}18\ \mathrm{W}$ .

4. Генератор

Най-удобният начин да менем потока непрекъснато е да въртим рамка в магнитно поле. Ако ъгълът между нормалата и полето е $\theta = \omega t$ , потокът е $\Phi = NBS\cos\omega t$ , а се мени синусоидално.

Т

ЕДН на генератор

Рамка с

N

навивки и лице

S

, която се върти с ъглова скорост

\omega

в поле

B

, има ЕДН

\mathcal{E} = NBS\omega\sin\omega t

. Максималната му стойност е

\mathcal{E}_{\max} = NBS\omega

. Посоката на тока се сменя два пъти на оборот – получава се променлив ток.

f, Hz1N100B, T0,2

ω =6,3 rad/sℰₘₐₓ = NBSω =1,26 VΦ =200 mWbℰ =0 V

60 оборота в минута – анимацията е забавена 2 пъти. При 50 Hz двуполюсен генератор прави 3000 оборота в минута.

💡 Рамката (10 cm × 10 cm, N навивки) се върти около вертикалната ос; θ е ъгълът между нормалата ѝ и полето. Когато я виждаме откъм ръба (θ = 0°), полето я пронизва изцяло: потокът е най-голям, но в този миг не се мени – ЕДН е нула. Когато е обърната с лице към нас (θ = 90°), линиите на полето лежат в нейната равнина: потокът е нула, но се мени най-бързо – ЕДН е най-голямо. Затова ℰ(θ) е изместена на четвърт оборот спрямо Φ(θ).

Генераторите в електроцентралите въртят турбини с пара, вода или вятър. В Европа мрежата е с 50 Hz: двуполюсен генератор прави 3000 оборота в минута. Как се описва и какво значи „230 V“ за него – в урока Променлив ток и ЕМ вълни.

Пример

Генератор има рамка с 200 навивки и лице 0,02 m², която се върти с 3000 оборота в минута в поле 0,1 T. Какво е най-голямото ЕДН?

$f = \frac{3000}{60} = 50\ \mathrm{Hz}$ , $\omega = 2\pi f \approx 314\ \mathrm{rad/s}$
$\mathcal{E}_{\max} = NBS\omega = 200 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}02 \cdot 314 \approx 126\ \mathrm{V}$

5. Самоиндукция

Бобината сама създава магнитен поток, когато през нея тече ток. Ако токът се мени, мени се и този поток – и в самата бобина се индуцира ЕДН, което се противопоставя на промяната. Затова бобината „не обича“ промени на тока: забавя нарастването му при включване и го поддържа за миг при изключване – тогава между контактите може да прескочи искра.

Т

Самоиндукция

ЕДН на самоиндукция е

\mathcal{E} = -L\frac{\Delta I}{\Delta t}

, където

L

е индуктивността на бобината, единица хенри (

\mathrm{H}

). Енергията на магнитното поле в бобина с ток

I

е

W = \frac{LI^2}{2}

– аналогично на кинетичната енергия, а

L

играе ролята на „инертност“ на тока.

Пример

Ток 2 A в бобина с индуктивност 0,2 H спада до нула за 0,01 s. Какво ЕДН се индуцира и каква енергия е имало полето?

$\mathcal{E} = L\frac{\Delta I}{\Delta t} = 0{,}2 \cdot \frac{2}{0{,}01} = 40\ \mathrm{V}$ – много повече от напрежението на батерия.
$W = \frac{LI^2}{2} = \frac{0{,}2 \cdot 4}{2} = 0{,}4\ \mathrm{J}$

6. Трансформатор и пренос на енергия

Т

Трансформатор

Две намотки са на общо желязно ядро. Променливият ток в първичната създава променлив поток, който минава и през вторичната. В идеален трансформатор

\frac{U_2}{U_1} = \frac{N_2}{N_1}

и мощността се запазва:

U_1 I_1 = U_2 I_2

. Каквото печелим от напрежение, губим от ток.

Загубите в са $I^2R$ (виж Постоянен ток). При една и съща $P = UI$ : десет пъти по-високо означава десет пъти по-малък ток и сто пъти по-малки загуби. Затова центровете повишават напрежението до стотици киловолта, а подстанциите и трансформаторите по улиците го понижават до 230 V.

N₁1000N₂50U₁, V230R, Ω10

U₂ =11,5 VI₂ =1,15 AI₁ =0,0575 AP =13,2 W

Понижаващ трансформатор: напрежението пада 20 пъти – като в зарядно устройство.

💡 Трансформаторът работи само с променлив ток: променливият ток в първичната намотка създава променлив магнитен поток в ядрото, а той индуцира ЕДН във вторичната. В идеалния трансформатор U₂/U₁ = N₂/N₁ и мощността не се губи: U₁I₁ = U₂I₂. Загубите по линията зависят от квадрата на тока, затова енергията се пренася при високо напрежение и се понижава близо до потребителите.

Пример

За село трябва да се пренесат 100 kW по линия със съпротивление 5 Ω. При какво най-малко напрежение загубите са не повече от 1%?

$P_{\text{заг}} = I^2R = \left(\frac{P}{U}\right)^2 R \le 0{,}01P$
$U^2 \ge \frac{PR}{0{,}01} = \frac{10^5 \cdot 5}{0{,}01} = 5 \cdot 10^7 \Rightarrow U \ge 7071\ \mathrm{V} \approx 7{,}07\ \mathrm{kV}$

Индукцията работи около нас навсякъде: динамичният микрофон превръща трептенията на мембрана с бобина в ток, безжичното зарядно предава енергия от бобина в бобина, металотърсачът „усеща“ вихровите токове в метала, а електрическата китара – трептенията на стоманените струни над малки магнити с бобини.

7. Тренажор

Пресметни исканата величина. Десетичните отговори въвеждай като 0,045.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

N = 500, \quad \Delta\Phi = 1\ \mathrm{mWb}

Промяната става за $\Delta t = 0{,}01\ \mathrm{s}$ . Индуцирано ЕДН: $\mathcal{E} = ?\ \mathrm{V}$

8. Индукцията около нас

0 / 6

🔌 Зарядно устройство

Трансформаторът в старо зарядно понижава 230 V от контакта до 12 V. Първичната му намотка има 2300 навивки. Колко навивки има вторичната?

🔋 Ток от контакта

Същото зарядно дава на изхода 12 V и 2 A. Какъв ток тече в първичната намотка, ако трансформаторът е идеален?

⚡ Далекопровод

Електроцентрала праща 1 MW по линия със съпротивление 10 Ω. Колко киловата се губят в проводниците при напрежение 10 kV и колко при 110 kV?

✈️ ЕДН в крилата на самолет

Самолет с размах на крилата 60 m лети хоризонтално с 250 m/s. Вертикалната съставяща на земното магнитно поле е около 5 · 10⁻⁵ T. Какво напрежение се индуцира между краищата на крилата?

🧲 Магнит и бобина

Магнит се вкарва за 0,1 s в бобина с 200 навивки и потокът през всяка навивка нараства от 0 до 3 mWb. Какво е средното индуцирано ЕДН?

🔄 Велосипедно динамо

Рамка със 100 навивки и лице 0,01 m² се върти в поле 0,2 T с честота 50 Hz. Какво е най-голямото ЕДН?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

9. ⚠️ Чести грешки

Поле или промяна

✗ силен магнит в бобина създава ток

✓ ток има само докато потокът се мени

Ъгълът в потока

✗ $\displaystyle \Phi = BS\sin\alpha$ с ъгъла до рамката

✓ $\displaystyle \Phi = BS\cos\alpha$ , $\displaystyle \alpha$ – ъгълът между $\displaystyle \vec{B}$ и нормалата

Правилото на Ленц

✗ индуцираният ток усилва промяната

✓ противодейства на промяната – иначе енергия от нищо

Брой навивки

✗ $\displaystyle \mathcal{E} = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ за бобина

✓ $\displaystyle \mathcal{E} = N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ – всяка навивка дава своя дял

Трансформатор и постоянен ток

✗ трансформаторът понижава и напрежението на батерия

✓ при постоянен ток потокът не се мени и няма индукция

Трансформаторът „печели“ енергия

✗ повишава напрежението и мощността

✓ $\displaystyle U_1I_1 = U_2I_2$ : по-високо напрежение – по-малък ток

10. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

В каква единица се измерва магнитният поток?

Избери отговор (или натисни 1–4)

11. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

✓ Магнитен поток $\Phi = BS\cos\alpha$ , единица вебер
✓ Закон на Фарадей $\mathcal{E} = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ : ЕДН има само докато потокът се мени
✓ Правило на Ленц: индуцираният ток противодейства на промяната – следствие от
✓ Движещ се проводник: $\mathcal{E} = Blv$ ; генератор: $\mathcal{E} = NBS\omega\sin\omega t$
✓ Самоиндукция $\mathcal{E} = -L\frac{\Delta I}{\Delta t}$ , енергия на бобина $\frac{LI^2}{2}$
✓ Трансформатор $\frac{U_2}{U_1} = \frac{N_2}{N_1}$ ; пренос при високо напрежение – малък ток и малки загуби $I^2R$

💡 Интересен факт

През 1996 г. совалката „Колумбия“ развива от орбита проводящо въже, дълго близо 20 km, със спътник в края му. Въжето пресича линиите на земното магнитно поле със скорост около 7,5 km/s и по формулата $\mathcal{E} = Blv$ в него се индуцират хиляди волтове – измерени са около 3500 V. Малко преди да бъде развито докрай, въжето се скъсва, но опитът показва, че от движението в магнитното поле на Земята може да се получава ток. Разказва се също, че на въпроса на политик „за какво е полезно това?“ Фарадей отговорил „Скоро ще можете да го облагате с данъци“ – но тази история най-вероятно е измислена по-късно.