Лещи и оптични уреди

🔬 През 70-те години на XVII век холандският търговец на платове Антони ван Льовенхук шлифова мънички лещи, колкото глава на карфица, и ги монтира в метални плочки. С най-добрите си микроскопи – само с една леща – той вероятно е постигал увеличение от около 200–270 пъти. В капка вода от езеро вижда множество движещи се „животинчета“ и описва първите наблюдавани и едноклетъчни в писма до Лондонското кралско дружество (от 1676 г. нататък). Цял невидим свят се появява благодарение на едно късче извито стъкло. Как една леща събира светлината и защо дава образи?

1. Видове лещи

Лещата е прозрачно тяло, ограничено от две сферични (или една сферична и една плоска) повърхности. Тя работи заради на светлината по границите стъкло–въздух (виж Отражение и пречупване). Лещите, които са по-дебели в средата, са събирателни: успоредните лъчи след тях се събират в точка. По-тънките в средата са разсейвателни: успоредните лъчи след тях се разпръскват, сякаш излизат от точка пред лещата.

Фокус и оптична сила

Правата през центровете на повърхностите е главната оптична ос. Лъчите, успоредни на нея, след събирателна леща минават през главния фокус

F'

; разстоянието от лещата до него е фокусното разстояние

f

. Оптичната сила е

D = \frac{1}{f}

и се измерва в диоптри:

1\ \mathrm{dpt} = 1\ \mathrm{m}^{-1}

. За разсейвателни лещи

f

D

са отрицателни.

Пример

Колко е оптичната сила на леща с $f = 25\ \mathrm{cm}$ и на разсейвателна леща с $f = -50\ \mathrm{cm}$ ?

$D_1 = \frac{1}{0{,}25\ \mathrm{m}} = 4\ \mathrm{dpt}$
$D_2 = \frac{1}{-0{,}5\ \mathrm{m}} = -2\ \mathrm{dpt}$
Ако ги долепим, оптичните сили се събират: $D = 4 - 2 = 2\ \mathrm{dpt}$ , т.е. $f = 50\ \mathrm{cm}$ .

2. Построяване на образи

От всяка точка на предмета излизат безброй лъчи, но за да намерим образа ѝ, стигат два от трите характерни лъча, чийто път след лещата знаем предварително:

Характерни лъчи (тънка леща)

1) Лъч, успореден на главната оптична ос, след лещата минава през фокуса

F'

(при разсейвателна леща – продължението му назад минава през фокуса). 2) Лъч през оптичния център не се пречупва. 3) Лъч, който минава през предния фокус

F

(или е насочен към него), след лещата е успореден на оста. Където се пресекат лъчите – там е образът; ако се пресичат само продълженията им – образът е въображаем.

d, cm25h, cm3|f|, cm10

f =10 cmd' =16,7 cmΓ =0,67D =10 dpt

Реален, обърнат, умален.

💡 Червеният лъч е успореден на оста и след лещата минава през F′, зеленият минава през центъра без да се пречупва, а виолетовият минава през F и излиза успореден. Плътна стрелка – реален образ (може да се хване на екран), пунктирна – въображаем (виждаме го само през лещата). Мащаб: 6 px на сантиметър.

Местейки предмета към събирателната леща, получаваме всички случаи:

Предмет	Образ	Вид на образа
$d > 2f$	$f < d' < 2f$	реален, обърнат, умален – фотоапарат, око
$d = 2f$	$d' = 2f$	реален, обърнат, със същия размер
$f < d < 2f$	$d' > 2f$	реален, обърнат, увеличен – проектор
$d = f$	—	образ няма – лъчите излизат успоредни (прожектор)
$d < f$	$d' < 0$	въображаем, прав, увеличен – лупа

3. Формула на лещата и увеличение

Формула на тънката леща

\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d'}

, където

d

е разстоянието от предмета до лещата, а

d'

– от образа до лещата. Правило за знаците:

d > 0

за реален предмет;

d' > 0

за реален образ (от другата страна на лещата),

d' < 0

за въображаем образ (от страната на предмета);

f > 0

за събирателна,

f < 0

за разсейвателна леща. Увеличението е

\Gamma = \frac{h'}{h} = \frac{|d'|}{d}

; реалният образ е обърнат, въображаемият – прав.

Пример

Предмет е на 30 cm от събирателна леща с $f = 10\ \mathrm{cm}$ . Къде е образът и какъв е?

$\frac{1}{d'} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} \Rightarrow d' = 15\ \mathrm{cm}$
$\Gamma = \frac{15}{30} = 0{,}5$ – реален, обърнат, два пъти умален (случаят $d > 2f$ ).

Пример

Същата леща, но предметът е на 5 cm от нея.

$\frac{1}{d'} = \frac{1}{10} - \frac{1}{5} = -\frac{1}{10} \Rightarrow d' = -10\ \mathrm{cm}$
$\Gamma = \frac{10}{5} = 2$ – образът е въображаем, прав и двойно увеличен: така работи лупата.

Пример

Предмет е на 20 cm от разсейвателна леща с $f = -10\ \mathrm{cm}$ .

$\frac{1}{d'} = -\frac{1}{10} - \frac{1}{20} = -\frac{3}{20} \Rightarrow d' \approx -6{,}67\ \mathrm{cm}$
$\Gamma = \frac{6{,}67}{20} \approx 0{,}33$ – въображаем, прав, умален. Така изглежда светът през шпионката на вратата.

4. Окото и очилата

Окото е естествен фотоапарат: роговицата и лещата заедно (около 60 dpt) дават реален, обърнат и умален образ върху . Разстоянието до ретината не се мени, затова при гледане на близки предмети мускулите правят лещата по-изпъкнала – това е акомодация. Нормалното око вижда ясно от безкрайност (далечна точка) до около 25 cm (близка точка) – разстоянието на най-добро виждане.

Недостатъци на зрението

Късогледо око: образът на далечните предмети се получава пред ретината, далечната точка е на крайно разстояние

a

. Коригира се с разсейвателна леща с

D = -\frac{1}{a}

. Далекогледо око: образът се получава зад ретината, близката точка е далеч. Коригира се със събирателна леща. С възрастта лещата губи еластичност и близката точка се отдалечава (старческо далекогледство) – затова на 45–50 години мнозина започват да ползват очила за четене.

d, cm200

далечна точка50 cmблизка точка17 cmнужни очила−2 dpt

Лъчите се събират пред ретината – образът е размазан. Нужна е разсейвателна леща.

💡 Окото е опростено: една леща и ретина на 17 mm зад нея. То само мени силата на лещата (акомодира), но в ограничен обхват. Късогледото око е твърде силно и не вижда далеч; далекогледото и старческото не могат да се напрегнат достатъчно за близки предмети. Очилата смятаме долепени до окото. „Нужни очила“ – за ясно виждане надалеч (късоглед) или за четене от 25 cm (далекоглед, старческо око).

Пример

Близката точка на далекогледо око е на 50 cm. Какви очила му трябват, за да чете от 25 cm?

Книгата ( $d = 25\ \mathrm{cm}$ ) трябва да има въображаем образ в близката точка: $d' = -50\ \mathrm{cm}$ .
$D = \frac{1}{0{,}25} + \frac{1}{-0{,}5} = 4 - 2 = +2\ \mathrm{dpt}$

5. Оптични уреди

Фотоапаратът дава реален умален образ върху сензора; за да фокусира по-близки предмети, той отдалечава обектива от сензора. Проекторът поставя картината малко зад фокуса и дава реален, силно увеличен образ на екрана. Лупата е събирателна леща, към която доближаваме предмета по-близо от фокуса.

Лупа и микроскоп

Лупата увеличава ъгъла, под който виждаме предмета, около

\Gamma \approx \frac{25\ \mathrm{cm}}{f}

пъти (образ в безкрайност) или

1 + \frac{25\ \mathrm{cm}}{f}

(образ на 25 cm). Микроскопът има две лещи: обективът дава реален увеличен междинен образ, а окулярът го разглежда като лупа. Общото увеличение е приблизително

M \approx \frac{L}{f_{\text{об}}} \cdot \frac{25\ \mathrm{cm}}{f_{\text{ок}}}

, където

L

е оптичната дължина на тубуса.

f_об6f_ок25L, mm160

обектив ×27окуляр ×11общо ×297(L/f_об)·(250/f_ок) ≈267

Обективът дава реален, обърнат и увеличен 27 пъти междинен образ; окулярът го разглежда като лупа и увеличава още 11 пъти.

💡 Фокусните разстояния f_об и f_ок и дължината L са в милиметри. Крайният образ е на 25 cm пред окуляра – извън чертежа. Червеният лъч тръгва успореден на оста, зеленият минава през центъра на първата леща. L е оптичната дължина на тубуса – между задния фокус на обектива и предния фокус на окуляра. Пунктирът е продължението на лъчите назад: там окото „вижда“ крайния образ.

Телескопите също комбинират обектив и окуляр, но там предметът е безкрайно далеч – подробно в урока Телескопи. Колкото и да увеличаваме, светлинният микроскоп не различава детайли, по-малки от около половин – заради (виж Вълнова оптика).

6. Тренажор

Пресметни исканата величина. Десетичните отговори въвеждай като 2,5, а отрицателните – с минус.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

f = 50\ \mathrm{cm}

Оптична сила: $D = ?\ \mathrm{dpt}$

7. Лещите около нас

0 / 6

📷 Фотоапарат

Обектив с фокусно разстояние 50 mm снима човек на 2 m. На какво разстояние от обектива трябва да е сензорът?

📽️ Проектор

Проектор с леща f = 10 cm дава рязък образ на екран на 3 m от лещата. На какво разстояние от лещата е картината и колко пъти е увеличена?

👓 Очила за късоглед

Късоглед ученик вижда ясно само до 40 cm. Какви очила (в диоптри) му трябват, за да вижда ясно далечни предмети? (Очилата смятаме долепени до окото.)

📖 Очила за четене

Възрастен човек вижда ясно най-близо от 1 m. Колко диоптъра трябва да са очилата му, за да чете от 25 cm?

🔍 Лупа

Лупа има фокусно разстояние 5 cm. Колко пъти увеличава, ако окото гледа образа отпуснато (образът е в безкрайност)?

🔬 Училищен микроскоп

Микроскоп има обектив с f = 4 mm, окуляр с f = 25 mm и оптична дължина на тубуса 160 mm. Около колко пъти увеличава?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

Диоптри от сантиметри

✗ $\displaystyle f = 20\ \mathrm{cm} \Rightarrow D = \frac{1}{20} = 0{,}05\ \mathrm{dpt}$

✓ $\displaystyle f = 0{,}2\ \mathrm{m} \Rightarrow D = 5\ \mathrm{dpt}$

Знак на въображаемия образ

✗ въображаемият образ има $\displaystyle d' > 0$

✓ $\displaystyle d' < 0$ – образът е от страната на предмета

Разсейвателна леща

✗ фокусното разстояние е положително

✓ $\displaystyle f < 0$ и $\displaystyle D < 0$

Очила за късоглед

✗ късогледите носят събирателни очила

✓ разсейвателни: окото им събира лъчите твърде силно

Половин закрита леща

✗ ще се види половин образ

✓ вижда се целият образ, но по-тъмен – всяка част от лещата дава целия образ

Лупа

✗ предметът се поставя зад фокуса

✓ между лещата и фокуса – само тогава образът е прав и увеличен

9. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Каква е оптичната сила на леща с фокусно разстояние 50 cm?

Избери отговор (или натисни 1–4)

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

✓ Събирателните лещи са по-дебели в средата ( $f > 0$ ), разсейвателните – по-тънки ( $f < 0$ )
✓ Оптична сила $D = \frac{1}{f}$ в диоптри (f в метри); за долепени лещи $D = D_1 + D_2$
✓ $\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d'}$ ; $d' > 0$ – реален обърнат образ, $d' < 0$ – въображаем прав образ; $\Gamma = \frac{|d'|}{d}$
✓ Образът се построява с два от трите характерни лъча
✓ Късогледство – разсейвателни очила $D = -\frac{1}{a}$ ; далекогледство и старческо око – събирателни
✓ Лупа $\Gamma \approx \frac{25\ \mathrm{cm}}{f}$ ; микроскоп $M \approx \frac{L}{f_{\text{об}}} \cdot \frac{25\ \mathrm{cm}}{f_{\text{ок}}}$

💡 Интересен факт

Около две трети от оптичната сила на окото (около 40 от 60 диоптъра) се дължат не на лещата, а на роговицата – границата въздух–око. Под вода роговицата почти престава да пречупва, защото водата има почти същия като окото. Затова без маска под водата виждаме всичко размазано, като силно далекогледи. Маската връща въздушния слой пред окото – и светът отново става рязък. Първите очила за четене, според повечето историци, се появяват в Италия около 80-те години на XIII век.