Величини, единици и оценки — урок по физика

1. Физични величини и единици SI

Физичната величина е свойство, което можем да измерим: дължина, маса, време, скорост. Да измерим означава да сравним с единица: „масата е 3 kg“ значи „3 пъти колкото един килограм“. Затова всяка стойност е число × единица – самото число 3 без единица не казва нищо.

О

Международна система единици (SI)

SI има седем основни единици. Всички останали – производните – се получават от тях чрез умножение и деление, например

1\ \mathrm{N} = 1\ \mathrm{kg \cdot m/s^2}

и

1\ \mathrm{J} = 1\ \mathrm{N \cdot m}

.

Величина	Единица	Означение
дължина	метър	$\mathrm{m}$
маса	килограм	$\mathrm{kg}$
време	секунда	$\mathrm{s}$
сила на тока	ампер	$\mathrm{A}$
температура	келвин	$\mathrm{K}$
количество вещество	мол	$\mathrm{mol}$
интензитет на светлината	кандела	$\mathrm{cd}$

От 2019 г. всички основни единици са определени чрез природни константи, които са приети за точни. Секундата е 9 192 631 770 трептения на излъчването на атом цезий-133; метърът е пътят, който светлината изминава за $\frac{1}{299\,792\,458}$ от секундата; килограмът е свързан с . Така всяка лаборатория по света може сама да „направи“ еталон.

Пример

Да изразим джаула и вата чрез основните единици.

Работата е сила по път: $1\ \mathrm{J} = 1\ \mathrm{N} \cdot 1\ \mathrm{m} = 1\ \mathrm{kg \cdot m/s^2 \cdot m} = 1\ \mathrm{kg \cdot m^2/s^2}$
Мощността е работа за единица време: $1\ \mathrm{W} = 1\ \mathrm{J/s} = 1\ \mathrm{kg \cdot m^2/s^3}$

2. Представки и научен запис

Физиката се занимава с размери от до Вселената – над 40 порядъка. Вместо да пишем много нули, използваме научен запис (виж Степени и корени) и представки пред единиците.

Т

Научен запис

Всяко положително число се записва като

a \cdot 10^n

, където

1 \le a < 10

и

n

е цяло. Например

299\,792\,458 \approx 3{,}00 \cdot 10^8

и

0{,}00042 = 4{,}2 \cdot 10^{-4}

. Числото

n

е порядъкът на величината.

Представка	Означение	Множител	Пример
тера	T	$10^{12}$	терабайт
гига	G	$10^{9}$	гигават
мега	M	$10^{6}$	мегапиксел
кило	k	$10^{3}$	килограм
санти	c	$10^{-2}$	сантиметър
мили	m	$10^{-3}$	милилитър
микро	µ	$10^{-6}$	микрометър
нано	n	$10^{-9}$	нанометър
пико	p	$10^{-12}$	пикосекунда

Пример

Да превърнем 72 km/h в m/s.

$1\ \mathrm{km/h} = \frac{1000\ \mathrm{m}}{3600\ \mathrm{s}} = \frac{1}{3{,}6}\ \mathrm{m/s}$
$72\ \mathrm{km/h} = 72 : 3{,}6 = 20\ \mathrm{m/s}$ . Обратно: от m/s към km/h умножаваме по 3,6.

Пример

Колко метра е една светлинна година – пътят, който светлината изминава за една година?

Една година е $365{,}25 \cdot 24 \cdot 3600 \approx 3{,}16 \cdot 10^7\ \mathrm{s}$ .
$s = c \cdot t \approx 3{,}00 \cdot 10^8 \cdot 3{,}16 \cdot 10^7 = 9{,}48 \cdot 10^{15}\ \mathrm{m}$ (по-точно $9{,}46 \cdot 10^{15}\ \mathrm{m}$ ).
Мантисите се умножават, а степените на 10 се събират: $10^8 \cdot 10^7 = 10^{15}$ .

В лабораторията сравни два обекта. Скалата е логаритмична (виж Логаритми): еднакви разстояния означават еднакво отношение, а не еднаква разлика.

A1B6

⚛️ атом на водорода≈10⁻¹⁰ m=100 pm (пико)

🧍 човек≈1,7 m=1,7 m

човек : атом на водорода ≈ 10¹⁰ (по-точно 1,7 · 10¹⁰)

💡 Скалата е логаритмична: всяка чертичка е 10 пъти повече от предишната. Само така на един ред се събират протонът и Вселената. Стойностите са приблизителни – важен е порядъкът.

3. Анализ на размерностите

Размерността показва от кои основни величини е „построена“ една величина. Означаваме я с квадратни скоби и с буквите $M$ (маса), $L$ (дължина) и $T$ (време): скоростта има размерност $[v] = L\,T^{-1}$ , а силата – $[F] = M\,L\,T^{-2}$ .

Т

Правило за размерностите

Можем да събираме, изваждаме и сравняваме само величини с еднаква размерност. Затова двете страни на всяко физично уравнение и всички събираеми в него имат една и съща размерност. Аргументите на

\sin

,

e^x

и

\log

са безразмерни.

Пример

Да проверим формулата $s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$ за пътя при равноускорително движение.

$[s] = L$
$[v_0 t] = L\,T^{-1} \cdot T = L$ ✓
$\left[\frac{at^2}{2}\right] = L\,T^{-2} \cdot T^2 = L$ ✓ (числото 2 е безразмерно)
Всички събираеми са дължини – формулата може да е вярна. Ако бяхме написали $v_0 t^2$ , щеше със сигурност да е грешна.

Правилото може и повече: да намери формула. Ако знаем от кои величини зависи търсената, търсим я като произведение на степени и подбираме степените така, че размерностите да съвпаднат.

Пример

От какво зависи периодът $T$ на махало? Да предположим, че зависи от масата $m$ , дължината $l$ и земното ускорение $g$ : $T = C \cdot m^a l^b g^c$ .

$[T] = T$ , а $[m^a l^b g^c] = M^a \cdot L^b \cdot (L\,T^{-2})^c = M^a L^{b + c} T^{-2c}$
Сравняваме степените: $a = 0$ , $b + c = 0$ , $-2c = 1$
$c = -\frac{1}{2}$ , $b = \frac{1}{2}$ , $a = 0$ , т.е. $T = C\sqrt{\frac{l}{g}}$
Масата изобщо не участва! Константата $C = 2\pi$ идва от пълното решение – анализът не може да я намери.

$T = C \cdot m^{\,0} \cdot l^{\,0} \cdot g^{\,0}$

T – период; m – маса; l – дължина на нишката; g – земно ускорение

m0l0g0

$[\text{лява страна}] = T \qquad [\text{дясна страна}] = 1$

Нагласи степените, докато стълбчетата запълнят пунктирните рамки.

💡 Пунктирът показва размерността на лявата страна, а цветното стълбче – на дясната при избраните степени. Анализът намира формулата с точност до безразмерна константа C – числа като 2π и 2 той не „вижда“.

Същият подход дава и скоростта на спътник в кръгова орбита – подробно в урока Орбити и скорости.

4. Измерване и грешки

Нито едно измерване не е абсолютно точно: линийката има деления, ръката закъснява, уредът се влияе от температурата. Затова резултатът се пише заедно с грешката си: $x = \bar{x} \pm \Delta x$ .

О

Абсолютна и относителна грешка

Абсолютната грешка

\Delta x

показва с колко може да се отклонява резултатът и има същата единица като

x

. Относителната грешка

\varepsilon = \frac{\Delta x}{x}

е безразмерна и често се дава в проценти. При няколко измервания вземаме средното аритметично

\bar{x}

, а за проста оценка на грешката – половината от разликата между най-голямата и най-малката стойност (но не по-малко от точността на уреда).

Т

Пренасяне на грешките (максимална оценка)

При сбор и разлика се събират абсолютните грешки:

\Delta(a \pm b) = \Delta a + \Delta b

. При произведение и частно се събират относителните:

\varepsilon_{ab} = \varepsilon_{a/b} = \varepsilon_a + \varepsilon_b

. При степен:

\varepsilon_{a^n} = |n| \cdot \varepsilon_a

.

Пример

Стая е измерена с ролетка: $a = 4{,}20 \pm 0{,}01\ \mathrm{m}$ , $b = 3{,}15 \pm 0{,}01\ \mathrm{m}$ . Колко е лицето ѝ и с каква грешка?

$S = a \cdot b = 4{,}20 \cdot 3{,}15 = 13{,}23\ \mathrm{m^2}$
$\varepsilon_S = \frac{0{,}01}{4{,}20} + \frac{0{,}01}{3{,}15} \approx 0{,}0024 + 0{,}0032 = 0{,}0056$ , т.е. около 0,6%
$\Delta S = 0{,}0056 \cdot 13{,}23 \approx 0{,}07\ \mathrm{m^2}$ , значи $S = 13{,}23 \pm 0{,}07\ \mathrm{m^2}$
Грешката определя колко цифри пишем: няма смисъл от $13{,}2300$ , щом стотните вече са несигурни.

Как да намалим грешката? Един от най-хубавите трикове е да измерим много наведнъж: дебелината на лист – като измерим пачка от 500 листа, периода на – като измерим 10 или 20 трептения. Пробвай сам.

Истинският период (синята линия) е 2,009 s.

💡 Натисни „Старт“, когато топчето е в крайно положение, и „Стоп“ след избрания брой пълни трептения (отиване и връщане). Закъснението на ръката е около 0,2 s и почти не зависи от това колко дълго мериш – затова при N = 10 грешката на един период е 10 пъти по-малка. Бутонът „10 души мерят“ добавя измервания с типично човешко закъснение.

5. Оценки по Ферми

Енрико Ферми обичал да пита студентите си неща като „Колко настройвачи на пиана има в Чикаго?“. Точен отговор няма, но с няколко разумни предположения можеш да получиш правилния порядък. Грешките в отделните стъпки обикновено отчасти се компенсират – някои предположения са малко завишени, други занижени.

Т

Как се прави оценка

Разбиваме въпроса на по-прости, за които имаме разумна представа. Закръгляме смело до 1, 2, 3 или 5 по степен на 10. Пресмятаме и проверяваме дали отговорът има смисъл. Цел е порядъкът, а не точните цифри.

Пример

Колко пъти ще удари сърцето ти за 80 години живот?

В покой сърцето бие около 75 пъти в минута ≈ $10^2$ пъти в минута.
В една година има около $5 \cdot 10^5$ минути ( $365 \cdot 24 \cdot 60 \approx 525\,600$ ).
$75 \cdot 5{,}26 \cdot 10^5 \cdot 80 \approx 3 \cdot 10^9$ – около три милиарда удара.

Пример

Колко вода ще изпиеш през живота си?

Около 2 литра на ден (с храната и напитките).
$2 \cdot 365 \cdot 80 \approx 6 \cdot 10^4\ \mathrm{L} = 60\ \mathrm{m^3}$
Колкото басейн с размери 6 m × 5 m × 2 m.

6. Тренажор

Превърни в исканата единица или намери степента в . Десетичните отговори въвеждай като 0,45.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

0{,}9\ \mathrm{g/cm^3}

$= ?\ \mathrm{kg/m^3}$

7. Единиците около нас

Превръщането на единици не е само училищно упражнение – с него се сблъскваш при шофиране, готвене, пазаруване и сметки за .

0 / 6

📱 Поглед към телефона

Шофьор кара по магистралата със 140 km/h и за 2 s поглежда към телефона си. Колко метра изминава колата „на сляпо“?

🚰 Капещ кран

От повреден кран капе по една капка в секунда. Обемът на една капка е около 0,05 mL. Колко литра вода изтичат за едно денонощие?

🏃 Световният рекорд

Юсейн Болт бяга 100 m за 9,58 s (2009 г.). Каква е средната му скорост в km/h?

🧱 Плътност на тухла

Тухла с размери 25 cm × 12 cm × 6,5 cm има маса 3,5 kg. Каква е плътността ѝ в kg/m³?

☀️ Светлината от Слънцето

Разстоянието от Земята до Слънцето е около 1,496 · 10¹¹ m, а скоростта на светлината – 2,998 · 10⁸ m/s. За колко минути светлината стига до нас?

⏱ Периодът на махало

Ученик мери с хронометър 10 пълни трептения на махало и получава 20,1 s. Грешката от реакцията му е около 0,2 s. Какъв е периодът и с каква грешка?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

km/h и m/s

✗ $\displaystyle 72\ \mathrm{km/h} = 72 \cdot 3{,}6\ \mathrm{m/s}$

✓ $\displaystyle 72 : 3{,}6 = 20\ \mathrm{m/s}$ – в m/s числото е по-малко

Квадратни единици

✗ $\displaystyle 1\ \mathrm{m^2} = 100\ \mathrm{cm^2}$

✓ $\displaystyle 1\ \mathrm{m^2} = (100\ \mathrm{cm})^2 = 10\,000\ \mathrm{cm^2}$

M и m

✗ $\displaystyle 1\ \mathrm{Mm} = 10^{-3}\ \mathrm{m}$

✓ M (мега) е $\displaystyle 10^6$ , m (мили) е $\displaystyle 10^{-3}$ – главната и малката буква са различни

Събиране на различни величини

✗ $\displaystyle 2\ \mathrm{m} + 3\ \mathrm{s}$

✓ Събират се само величини с еднаква размерност

Грешка на произведение

✗ $\displaystyle \Delta(ab) = \Delta a + \Delta b$

✓ При произведение се събират относителните грешки: $\displaystyle \varepsilon_{ab} = \varepsilon_a + \varepsilon_b$

Твърде много цифри

✗ $\displaystyle g = 9{,}675134 \pm 0{,}12\ \mathrm{m/s^2}$

✓ $\displaystyle g = 9{,}68 \pm 0{,}12\ \mathrm{m/s^2}$ – грешката казва докъде са сигурните цифри

9. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Коя от тези единици е основна в SI?

Избери отговор (или натисни 1–4)

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

✓ Всяка стойност е число × единица; SI има 7 основни единици (m, kg, s, A, K, mol, cd)
✓ Научен запис $a \cdot 10^n$ , $1 \le a < 10$ ; представки от пико ( $10^{-12}$ ) до тера ( $10^{12}$ )
✓ $1\ \mathrm{m/s} = 3{,}6\ \mathrm{km/h}$ ; при квадратни и кубични единици множителят се повдига на степен
✓ Двете страни на уравнение имат еднаква размерност; така проверяваме формули и намираме нови с точност до константа
✓ $x = \bar{x} \pm \Delta x$ ; при сбор се събират абсолютните грешки, при произведение – относителните, при степен $\varepsilon_{a^n} = |n|\,\varepsilon_a$
✓ Оценка по Ферми: разбиваме въпроса на прости стъпки и търсим порядъка

💡 Интересен факт

130 години килограмът беше определен от един метален цилиндър от платина и иридий, пазен в трезор край Париж – „Големият К“. При сравненията с официалните му копия се оказало, че за около век масите им са се разминали с няколко десетки микрограма, и никой не може да каже кой се е променил. От 20 май 2019 г. килограмът вече не зависи от никой предмет: определен е чрез точно фиксираната константа на Планк $h = 6{,}626\,070\,15 \cdot 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}$ .