Движение в равнина

1. Скоростта е вектор

В равнината положението се задава с две координати $(x;\ y)$ , а преместването и скоростта са вектори – имат големина и посока (виж Вектори). Всеки вектор можем да разложим на две перпендикулярни и да работим с тях поотделно.

Т

Компоненти на скоростта

Ако скоростта

v

сключва ъгъл

\alpha

с хоризонталата, то

v_x = v\cos\alpha

и

v_y = v\sin\alpha

. Обратно,

v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

и

\tg\alpha = \frac{v_y}{v_x}

.

Пример

Топка е ритната с 20 m/s под ъгъл 30° спрямо земята. Колко са хоризонталната и вертикалната компонента на скоростта?

$v_x = 20 \cos 30^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17{,}3\ \mathrm{m/s}$
$v_y = 20 \sin 30^\circ = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10\ \mathrm{m/s}$
Проверка: $\sqrt{17{,}3^2 + 10^2} \approx 20\ \mathrm{m/s}$ ✓

Стойностите на и на 30°, 45° и 60° са в урока Тригонометрия.

2. Хоризонтално хвърляне

Т

Принцип за независимост на движенията

Ако съпротивлението на въздуха е пренебрежимо, хоризонталното и вертикалното движение протичат независимо. По хоризонтала няма сила – движението е равномерно. По вертикала тялото пада свободно с ускорение

g

.

Т

Хоризонтално хвърляне от височина $h$

x = v_0 t

и

y = h - \frac{gt^2}{2}

. Времето за падане

t = \sqrt{\frac{2h}{g}}

не зависи от

v_0

, а далечината е

L = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}

. Скоростта при удара е

v = \sqrt{v_0^2 + 2gh}

.

Пример

От 20 m височина хвърлят камък хоризонтално с 15 m/s ( $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ ). Кога и къде пада и с каква скорост?

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 20}{10}} = 2\ \mathrm{s}$ – колкото и при пускане от покой.
$L = 15 \cdot 2 = 30\ \mathrm{m}$
$v_y = gt = 20\ \mathrm{m/s}$ , $v = \sqrt{15^2 + 20^2} = 25\ \mathrm{m/s}$

Това е изненадващо за мнозина: куршум, изстрелян хоризонтално, и куршум, изпуснат от същата височина, падат на земята едновременно (ако пренебрегнем въздуха и кривината на Земята). Вертикалното движение не „знае“ за хоризонталното – същата идея като в урока Праволинейно движение, само по две оси наведнъж.

3. Хвърляне под ъгъл

Т

Хвърляне под ъгъл $\alpha$ от земята

x = v_0 \cos\alpha \cdot t

,

y = v_0 \sin\alpha \cdot t - \frac{gt^2}{2}

. Време на полета

T = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}

, максимална височина

H = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}

и обхват

R = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}

.

От формулата за обхвата следват два красиви извода. Понеже $\sin 2\alpha \le 1$ , най-далеч стига тялото при $2\alpha = 90^\circ$ , т.е. $\alpha = 45^\circ$ : $R_{\max} = \frac{v_0^2}{g}$ . И понеже $\sin 2\alpha = \sin(180^\circ - 2\alpha)$ , ъглите $\alpha$ и $90^\circ - \alpha$ дават един и същ обхват – по-високият полет просто трае по-дълго. При хвърляне от височина или със съпротивление на въздуха най-добрият ъгъл е по-малък от 45° – затова гюлетата и дисковете се хвърлят по-ниско.

Пример

Футболист рита топката с 20 m/s под 30° ( $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ , без въздух). Колко време лети тя, колко високо стига и къде пада?

$v_x = 17{,}3\ \mathrm{m/s}$ , $v_y = 10\ \mathrm{m/s}$
$T = \frac{2 \cdot 10}{10} = 2\ \mathrm{s}$ , $H = \frac{10^2}{2 \cdot 10} = 5\ \mathrm{m}$
$R = 17{,}3 \cdot 2 \approx 34{,}6\ \mathrm{m}$ (или $\frac{400 \sin 60^\circ}{10}$ )

t = 0 s

v₀, m/s20α, °45h₀, m0

v_x =14,1 m/sv_y =14,1 m/sвреме2,88 sH =10,2 mобхват40,8 m

Хоризонталната скорост (зелената стрелка) не се мени, а вертикалната намалява с g всяка секунда.

💡 Зелената стрелка е хоризонталната компонента на скоростта, жълтата – вертикалната, а лилавата – самата скорост. Точките показват положението през равни интервали време: по хоризонтала разстоянията между тях са равни (равномерно движение), а по вертикала – като при хвърляне нагоре. Съпротивлението е изчислено приблизително за футболна топка.

4. Маймуната и ловецът

Класическа задача, с която физиците обичат да изненадват: ловец се цели право в маймуна на клон. В мига на изстрела маймуната се пуска, за да избегне стрелата. Улучва ли я ловецът? Да – винаги, ако стрелата изобщо стигне до дървото!

Т

Защо стрелата уцелва

Без гравитация стрелата би летяла по правата към маймуната, а маймуната би стояла на място. С гравитация и двете падат за време

t

с едно и също разстояние

\frac{gt^2}{2}

под мястото, където биха били без нея. Затова стрелата остава точно на една височина с маймуната, когато стигне до дървото.

t = 0 s

v₀, m/s25D, m30h, m18

до дървото за1,4 sпадане за това време9,61 mсрещат се на8,39 m

Пусни стрелата и гледай двете червени отсечки – те растат еднакво.

💡 D е разстоянието до дървото, h – височината на клона. Ловецът се цели право в маймуната, а тя се пуска от клона в мига на изстрела. Без гравитация стрелата би летяла по пунктира, а маймуната би висяла във въздуха. Гравитацията дърпа и двете еднакво – с gt²/2 надолу – затова стрелата винаги уцелва, стига да стигне до дървото, преди маймуната да падне на земята. (Опитът се показва с безопасна мишена, не с истинска маймуна!)

5. Относително движение

Скоростта зависи от това спрямо какво я мерим. Пътник, който върви в движещ се влак, има една скорост спрямо влака и друга спрямо перона.

Т

Събиране на скоростите

Скоростта на тялото спрямо земята е векторният сбор от скоростта му спрямо подвижната система и скоростта на самата система:

\vec{v} = \vec{u} + \vec{w}

. Ако двете са перпендикулярни,

v = \sqrt{u^2 + w^2}

.

Пример

Река е широка 100 m, течението е 3 m/s, а лодката гребе с 5 m/s спрямо водата. Как да пресече най-бързо и как да стигне точно отсреща?

Най-бързо: насочена право към брега. Тогава $t = \frac{100}{5} = 20\ \mathrm{s}$ , а течението я отнася на $3 \cdot 20 = 60\ \mathrm{m}$ .
Точно отсреща: лодката се насочва срещу течението под ъгъл $\beta$ с перпендикуляра, така че $5\sin\beta = 3$ , т.е. $\beta \approx 36{,}9^\circ$ .
Тогава към брега остават $\sqrt{5^2 - 3^2} = 4\ \mathrm{m/s}$ и $t = \frac{100}{4} = 25\ \mathrm{s}$ – по-дълго, но без отнасяне.

t = 0 s

u, m/s3w, m/s1,5θ, °0

v =3,35 m/sвреме20 sотнасяне30 m

Най-бързо: насочи лодката право към брега (θ = 0°). Точно отсреща: θ ≈ 30° срещу течението – тогава пътуването е по-дълго.

💡 Синята стрелка u е скоростта на лодката спрямо водата (θ е ъгълът ѝ от перпендикуляра, положителен – срещу течението), жълтата w е скоростта на течението, а лилавата v = u + w – скоростта спрямо брега. Времето за пресичане зависи само от компонентата на v към отсрещния бряг. Анимацията е ускорена 4 пъти.

Същата идея обяснява защо при шофиране в дъжд капките по страничното стъкло оставят почти хоризонтални следи: спрямо колата те имат и голяма хоризонтална скорост назад. А в астрономията движението на планетите изглежда различно от Земята и от Слънцето – виж урока Движение на Земята.

6. Тренажор

Пресметни исканата величина. Десетичните отговори въвеждай като 1,5.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

h = 5\ \mathrm{m}, \quad v_0 = 9\ \mathrm{m/s}, \quad g = 10\ \mathrm{m/s^2}

Хвърлено хоризонтално: далечина $L = ?\ \mathrm{m}$

7. Движението в равнина около нас

0 / 6

💦 Маркуч в градината

Водата излиза от маркуч със скорост 10 m/s. Насочваш го под 45° над земята (ниско долу). Докъде стига струята? ( $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ , без съпротивление)

🏐 Топка от терасата

От тераса на 5 m височина хвърляш топка хоризонтално с 8 m/s. На какво разстояние от сградата ще падне? ( $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ )

🛶 През реката

Река е широка 60 m, а течението е 1,5 m/s. Гребеш с 3 m/s спрямо водата, насочен право към отсрещния бряг. За колко време ще стигнеш и колко метра надолу по течението ще те отнесе?

🌧️ Дъжд по стъклото

Дъждът пада вертикално с 6 m/s. Колата ти се движи с 72 km/h. Под какъв ъгъл спрямо вертикалата изглеждат дъждовните капки по страничното стъкло?

📦 Помощ от самолет

Самолет лети хоризонтално на 180 m височина с 50 m/s и пуска пакет с помощи. На какво хоризонтално разстояние преди целта трябва да го пусне? ( $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ , без съпротивление)

⚽ Дълъг пас

Вратар изритва топката с 25 m/s под 40° спрямо земята. Докъде би стигнала тя без съпротивление на въздуха? ( $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ )

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

Хоризонталната скорост „задържа“ тялото

✗ хвърленото хоризонтално пада по-бавно

✓ времето за падане зависи само от височината: $\displaystyle t = \sqrt{2h/g}$

Най-високата точка

✗ $\displaystyle v = 0$ в най-високата точка

✓ там $\displaystyle v_y = 0$ , но $\displaystyle v = v_x = v_0\cos\alpha$

Формулата за обхвата

✗ $\displaystyle R = \frac{v_0^2 \sin \alpha}{g}$

✓ $\displaystyle R = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$

Радиани вместо градуси

✗ $\displaystyle \sin 30 \approx -0{,}988$ на калкулатора

✓ калкулаторът трябва да е в режим DEG: $\displaystyle \sin 30^\circ = 0{,}5$

Събиране на скорости

✗ $\displaystyle 4\ \mathrm{m/s} + 3\ \mathrm{m/s} = 7\ \mathrm{m/s}$ за лодката

✓ перпендикулярните скорости се събират като вектори: $\displaystyle 5\ \mathrm{m/s}$

Най-кратко и най-бързо

✗ най-краткият път е и най-бърз

✓ най-бързо е перпендикулярно на брега; най-краткото е по-бавно

9. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

От една и съща височина едновременно пускат една топка и хвърлят хоризонтално друга. Коя пада първа на земята (без въздух)?

Избери отговор (или натисни 1–4)

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

✓ Скоростта е вектор: $v_x = v\cos\alpha$ , $v_y = v\sin\alpha$
✓ Хоризонталното и вертикалното движение са независими: по хоризонтала – равномерно, по вертикала –
✓ Хоризонтално хвърляне: $t = \sqrt{2h/g}$ , $L = v_0 t$
✓ Под ъгъл: $T = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}$ , $H = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$ , $R = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$ ; най-далеч при 45°
✓ Траекторията без въздух е ; ъглите $\alpha$ и $90^\circ - \alpha$ дават еднакъв обхват
✓ Относителна скорост: $\vec{v} = \vec{u} + \vec{w}$ ; реката се пресича най-бързо перпендикулярно на брега

💡 Интересен факт

През февруари 1971 г. астронавтът Алан Шепърд (Аполо 14) изважда на Луната импровизиран стик и удря две топки за голф. Там $g$ е около 6 пъти по-малко, а въздух няма, така че при същия удар топката би летяла около 6 пъти по-далеч. Шепърд казва, че втората топка лети „мили и мили“, но анализ на снимките, публикуван през 2021 г., оценява, че по-далечната е паднала на около 37 m – скафандърът почти не му позволява да замахне. Гравитацията на Луната е в урока Гравитация.

1. Скоростта е вектор

Компоненти на скоростта

Пример

2. Хоризонтално хвърляне

Принцип за независимост на движенията

Хоризонтално хвърляне от височина hhh

Пример

3. Хвърляне под ъгъл

Хвърляне под ъгъл α\alphaα от земята

Пример

4. Маймуната и ловецът

Защо стрелата уцелва

5. Относително движение

Събиране на скоростите

Пример

6. Тренажор

7. Движението в равнина около нас

8. ⚠️ Чести грешки

9. 🎯 Бърз тест

От една и съща височина едновременно пускат една топка и хвърлят хоризонтално друга. Коя пада първа на земята (без въздух)?

10. 📝 Задачи за упражнение

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

11. Обобщение

Хоризонтално хвърляне от височина $h$

Хвърляне под ъгъл $\alpha$ от земята