Променлив ток и електромагнитни вълни

📡 През 1886–1888 г. в Карлсруе Хайнрих Херц предизвиква искра в една верига – и в метален пръстен на няколко метра от нея прескача мъничка искра, без между тях да има . Херц доказва, че електромагнитните вълни, предсказани от Джеймс Кларк Максуел, наистина съществуват. Според често цитиран разказ на въпроса за какво ще послужи откритието той отговаря, че не вижда никаква практическа полза. Само след десетина години Гулиелмо Маркони предава сигнали по радиото, а през 1901 г. – през Атлантическия океан. Днес същите вълни носят телефонните ни разговори, Wi-Fi и сигналите от сондите отвъд Плутон.

1. Променлив ток

в електроцентралите въртят намотки в и индуцираното се мени като (виж Електромагнитна индукция). , който то предизвиква, сменя посоката си много пъти в секунда – затова се нарича променлив.

Синусоидален променлив ток

Напрежението се мени по закона

u = U_m \sin \omega t

, където

U_m

е амплитудата (най-голямата стойност), а

\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}

. В Европа, включително в България, честотата на мрежата е

f = 50\ \mathrm{Hz}

(

T = 20\ \mathrm{ms}

), а в Северна Америка –

60\ \mathrm{Hz}

Защо променлив, а не постоянен? Променливото напрежение лесно се повишава и понижава с , а по далекопроводите е изгодно да се пренася при високо напрежение и малък ток – така загубите за нагряване на жиците са малки. В края на XIX век в САЩ се води т.нар. „война на токовете“: Томас Едисон защитава постоянния ток, а Никола Тесла и Джордж Уестингхаус – променливия. Променливият ток побеждава в мрежите, макар че днес за някои много дълги линии отново се използва постоянен ток с високо напрежение.

2. Ефективни стойности и мощност

Ефективна стойност

Ефективното напрежение

U

е постоянното напрежение, което в същия резистор отделя същата средна топлина. За синусоидален ток

U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707\,U_m

I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}

. Уредите показват и по табелките се пишат ефективни стойности: „230 V“ означава

U_m = 230\sqrt{2} \approx 325\ \mathrm{V}

Мощност в резистор

С ефективните стойности формулите са същите като при постоянен ток:

P = UI = I^2 R = \frac{U^2}{R}

. Моментната мощност

p = ui

пулсира с двойна честота (100 пъти в секунда), а

P

е нейната средна стойност – половината от най-голямата.

Uₘ, V325f, Hz50

U = Uₘ/√2 =230 VT =20 msI =0,43 AP =100 W

Мощността пулсира от 0 до 200 W с честота 100 Hz, а средната ѝ стойност е точно половината – 100 W.

💡 Пунктирът в червено е максималното напрежение Uₘ, а зеленият – ефективното U = Uₘ/√2: постоянно напрежение с такава стойност би загряло крушката също толкова. Анимацията е забавена 50 пъти – в действителност яркостта пулсира 100 пъти в секунда, твърде бързо за окото (а нажежената жичка почти не успява да изстине).

Пример

Електрическа кана „2000 W, 230 V“. Колко са ефективната и най-голямата сила на тока и съпротивлението на нагревателя?

$I = \frac{P}{U} = \frac{2000}{230} \approx 8{,}70\ \mathrm{A}$
$I_m = \sqrt{2}\,I \approx 12{,}3\ \mathrm{A}$
$R = \frac{U^2}{P} = \frac{52\,900}{2000} \approx 26{,}5\ \Omega$

3. Кондензатор и бобина в променлива верига

Постоянен ток не минава през (виж Кондензатори), но променлив – „минава“: кондензаторът непрекъснато се зарежда и разрежда. пък се противопоставя на промяната на тока заради . И двете оказват на променливия ток , което зависи от .

Капацитивно и индуктивно съпротивление

X_C = \frac{1}{\omega C}

– намалява с честотата (високите честоти минават лесно през кондензатор).

X_L = \omega L

– расте с честотата. В кондензатора токът изпреварва напрежението с четвърт период, а в бобината изостава с четвърт период.

Пример

Колко е съпротивлението на кондензатор 10 µF и на бобина 0,5 H при 50 Hz?

$\omega = 2\pi \cdot 50 \approx 314\ \mathrm{s^{-1}}$
$X_C = \frac{1}{314 \cdot 10^{-5}} \approx 318\ \Omega$
$X_L = 314 \cdot 0{,}5 \approx 157\ \Omega$ . При 100 Hz първото става два пъти по-малко, а второто – два пъти по-голямо.

Резонанс в последователна RLC верига

Пълното съпротивление (импеданс) е

Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}

. Когато

X_L = X_C

, остава само

R

и токът е най-голям. Това става при резонансната честота

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

4. Трептящ кръг

Да заредим кондензатор и да го свържем с бобина. Кондензаторът се разрежда през бобината, токът расте и в бобината се натрупва енергия на магнитното поле. Когато кондензаторът се разреди, бобината „не пуска“ тока да спре – той зарежда кондензатора наобратно. Енергията прелива между електричното и магнитното поле, точно както при тяло на пружина тя прелива между потенциална и кинетична (виж Трептения).

Формула на Томсън

Собственият период на трептящия кръг е

T = 2\pi\sqrt{LC}

, а честотата му е

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

. Енергията

\frac{q^2}{2C} + \frac{Li^2}{2}

се запазва, ако няма съпротивление. Аналогия: заряд

q

↔ отклонение

x

, ток

i

↔ скорост

v

L

↔ маса

m

\frac{1}{C}

↔ коефициент

k

L, mH10C, µF10затих.0

T = 2π√(LC) =1,99 msf =503 HzR =0 Ω

Без съпротивление енергията прелива вечно: зареден кондензатор → ток в бобината → обратно зареден кондензатор.

💡 Кондензаторът е зареден до 10 V. Анимацията е забавена така, че едно трептене трае 3 s – в действителност е хилядни от секундата. Сравни с тяло на пружина: зарядът е като отклонението, токът – като скоростта, L – като масата.

Пример

Трептящ кръг с $L = 10\ \mathrm{mH}$ и $C = 1\ \mathrm{\mu F}$ . Какви са периодът и честотата?

$T = 2\pi\sqrt{10^{-2} \cdot 10^{-6}} = 2\pi \cdot 10^{-4} \approx 6{,}28 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{s} = 0{,}628\ \mathrm{ms}$
$f = \frac{1}{T} \approx 1590\ \mathrm{Hz}$ – тон, който бихме чули, ако свържем кръга с говорител.

Пример

Радиоприемник има бобина $0{,}1\ \mathrm{\mu H}$ . Какъв капацитет трябва да има кондензаторът, за да хване станция на 100 MHz?

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \Rightarrow C = \frac{1}{(2\pi f_0)^2 L}$
$C = \frac{1}{(2\pi \cdot 10^8)^2 \cdot 10^{-7}} \approx 2{,}53 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{F} = 25{,}3\ \mathrm{pF}$

5. Електромагнитни вълни

Около 1865 г. Максуел обединява законите на електричеството и магнетизма и открива, че променливо създава магнитно, а променливо магнитно – електрично. Така двете полета могат да се „носят“ едно друго през празното пространство. От уравненията му следва и скоростта на тези вълни – и тя се оказва равна на измерената скорост на светлината. Максуел заключава, че светлината е електромагнитна вълна.

Електромагнитна вълна

Векторите

\vec{E}

\vec{B}

трептят в една фаза, перпендикулярно един на друг и на посоката на разпространение – вълната е напречна. Във вакуум всички електромагнитни вълни се движат със скорост

c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}} \approx 3{,}00 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}

c = \lambda f

. За разлика от звука те не се нуждаят от среда.

lg f8

f =10⁸ Hzλ = c/f =3 mобласт:радиовълни

Около тази честота: УКВ (FM) радио. Дължината на вълната е колкото човек.

💡 Червената крива е електричното поле E, синята – магнитното B (нарисувано в перспектива, в хоризонталната равнина). Те трептят заедно, перпендикулярно едно на друго и на посоката на движение. Плъзгачът е по логаритмична скала: +1 значи 10 пъти по-висока честота. Всички вълни от спектъра се движат във вакуум с една и съща скорост c ≈ 3 · 10⁸ m/s; на екрана вълната е показана силно забавена и в един и същ мащаб. Границите между областите са условни.

Пример

Каква е дължината на вълната на FM радио (100 MHz) и на Wi-Fi (2,4 GHz)?

$\lambda_{FM} = \frac{3 \cdot 10^8}{10^8} = 3\ \mathrm{m}$
$\lambda_{Wi\text{-}Fi} = \frac{3 \cdot 10^8}{2{,}4 \cdot 10^9} = 0{,}125\ \mathrm{m} = 12{,}5\ \mathrm{cm}$

Общите свойства на вълните – отражение, , – са разгледани в урока Вълни.

6. Спектърът на електромагнитните вълни

Радиовълните, светлината и рентгеновите лъчи са един и същ вид вълни – различават се само по честотата и . Границите между областите са условни.

Област	Дължина на вълната	Къде ги срещаме
радиовълни	над 1 m	радио, телевизия, връзка с космически сонди
микровълни	1 mm – 1 m	мобилни мрежи, Wi-Fi, радари, микровълнови фурни
инфрачервени	700 nm – 1 mm	топлинно излъчване, дистанционни управления, термокамери
видима светлина	400 – 700 nm	зрение, фотосинтеза
ултравиолетови	10 – 400 nm	слънчев загар, дезинфекция, флуоресценция
рентгенови	0,01 – 10 nm	медицински снимки, проверка на багаж
гама лъчи	под 0,01 nm	радиоактивен разпад, лъчетерапия

Вълните носят енергия, а интензитетът на точков източник намалява с квадрата на разстоянието: $I = \frac{P}{4\pi r^2}$ . Радиовълните, микровълните, инфрачервените лъчи и видимата светлина са нейонизиращи – доказаното им действие при силно облъчване е нагряване, затова нормите за телефони и антени се определят с голям запас. Ултравиолетовите (особено по-късите), рентгеновите и гама лъчите са йонизиращи: могат да разкъсват молекули, включително ДНК – затова пазим кожата от слънцето, а рентгеновите снимки се правят само при нужда. Как астрономите наблюдават Вселената в различни дължини на вълната и как звездите излъчват – виж Светлина и спектри и Методи за наблюдение.

7. Тренажор

Пресметни исканата величина. Десетичните отговори въвеждай като 2,5.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

f = 50\ \mathrm{MHz}, \quad c = 3 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}

Дължина на вълната: $\lambda = ?\ \mathrm{m}$

8. Токът и вълните около нас

0 / 6

☕ Електрическа кана

Кана с мощност 2000 W е включена в контакт с 230 V. Каква е ефективната сила на тока и каква е най-голямата ѝ стойност?

💡 Крушка с нажежаема жичка

Крушка е надписана „60 W, 230 V“. Какво е съпротивлението на жичката, докато свети?

📻 FM антена

Радиостанция излъчва на 100 MHz. Каква е дължината на вълната? Проста антена е с дължина около четвърт от нея – колко е тя?

🍲 Микровълнова фурна

Микровълновите фурни работят на около 2,45 GHz. Каква е дължината на вълната в сантиметри? ( $c = 3{,}00 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}$ )

💶 Печка през зимата

Електрическа печка от 2 kW работи по 3 часа на ден в продължение на 30 дни. Колко kWh изразходва и колко струва това при цена 0,14 € за kWh?

🌙 Сигнал до Луната

Радиосигнал се изпраща до апаратура на Луната и отговорът идва веднага. След колко секунди го получаваме? Разстоянието е 3,844 · 10⁸ m, $c = 3{,}00 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}$ .

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

9. ⚠️ Чести грешки

Кое е „230 V“?

✗ 230 V е най-голямото напрежение в контакта

✓ 230 V е ефективното; най-голямото е около 325 V

Ефективна стойност

✗ $\displaystyle U = \frac{U_m}{2}$

✓ $\displaystyle U = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$ за синусоидален ток

Средна мощност

✗ $\displaystyle P = U_m I_m$

✓ $\displaystyle P = UI = \frac{U_m I_m}{2}$

Кондензатор и честота

✗ $\displaystyle X_C$ расте с честотата

✓ $\displaystyle X_C = \frac{1}{\omega C}$ намалява; расте $\displaystyle X_L = \omega L$

Радио и звук

✗ радиовълните са звук

✓ радиовълните са електромагнитни и не се нуждаят от среда; звукът е механична вълна

Дължина на вълната

✗ $\displaystyle \lambda = \frac{f}{c}$

✓ $\displaystyle \lambda = \frac{c}{f}$ – по-висока честота, по-къса вълна

10. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Какво е ефективното напрежение в контактите у нас?

Избери отговор (или натисни 1–4)

11. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

✓ $u = U_m \sin \omega t$ , $\omega = 2\pi f$ ; мрежата у нас: 230 V, 50 Hz
✓ Ефективни стойности $U = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$ , $I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$ ; $P = UI$
✓ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ намалява, $X_L = \omega L$ расте с честотата; при $X_L = X_C$
✓ Трептящ кръг: $T = 2\pi\sqrt{LC}$ ; енергията прелива между C и L
✓ Електромагнитната вълна е : $\vec{E} \perp \vec{B} \perp \vec{v}$ , $c = \lambda f \approx 3 \cdot 10^8\ \mathrm{m/s}$
✓ : радио, микровълни, инфрачервени, видима, ултравиолетови, рентгенови, гама – по намаляваща дължина на вълната

💡 Интересен факт

Честотата на мрежата не е точно 50 Hz – тя леко се колебае с няколко стотни от херца според това колко ток се потребява в момента. Почти всеки запис, направен близо до електрически уреди, улавя слабо бръмчене с тази честота. Тъй като колебанията се записват от енергийните системи, в някои страни експертите сравняват бръмченето в аудио- или видеозапис с архива на мрежата и така проверяват кога е направен записът и дали не е редактиран.