Квантовият атом — урок по физика

1. От орбити към орбитали

обяснява на водорода, но с орбити, каквито няма. В квантовата механика електронът се описва с вълнова функция $\psi$ , а $|\psi|^2$ дава вероятността да бъде намерен на дадено място (виж Вълнова функция и принцип на неопределеността). През 1926 г. Ервин Шрьодингер решава своето уравнение за водородния атом. Както при (виж Частица в кутия и тунелен ефект), разрешени се оказват само определени – и само определени енергии.

Т

Енергиите на водорода

Решенията на уравнението на Шрьодингер дават същите енергии като модела на Бор:

E_n = -\frac{13{,}6\ \mathrm{eV}}{n^2}

,

n = 1, 2, 3, \ldots

Но на всяко

n

отговарят няколко различни състояния – орбитали с различна форма. Орбиталата не е път, а „облак“: тя казва къде с каква вероятност ще намерим електрона, ако го потърсим.

Вероятността да намерим електрона в тънък сферичен слой с радиус $r$ и дебелина $dr$ е $P(r)\,dr = r^2 R^2(r)\,dr$ , където $R(r)$ е радиалната част на . Множителят $r^2$ идва от това, че по-далечните слоеве имат по-голямо лице. За $R \propto e^{-r/a_0}$ , затова облакът е най-гъст до самото ядро, а $P(r)$ е най-голяма точно при $r = a_0 \approx 0{,}053\ \mathrm{nm}$ – .

Пример

При орбиталата 2p радиалната функция е $R \propto r e^{-r/(2a_0)}$ . На какво разстояние е най-вероятно да намерим електрона?

$P(r) \propto r^2 R^2 \propto r^4 e^{-r/a_0}$
$P'(r) \propto \left(4r^3 - \frac{r^4}{a_0}\right) e^{-r/a_0} = 0 \Rightarrow r = 4a_0 \approx 0{,}212\ \mathrm{nm}$
Точно радиусът на втората орбита на Бор $n^2 a_0$ . Това важи за всички орбитали с $l = n - 1$ – затова моделът на Бор работи за водорода.

n =1l =0 (s)m =0най-вероятно r ≈1 a₀възли:0 радиални, 0 ъглови

Облакът е сферичен и най-гъст до ядрото, но вероятността на разстояние r (вдясно) е най-голяма точно при r = a₀ – радиуса на Бор.

💡 Всяка точка е едно възможно положение на електрона при измерване – в сечение през ядрото. Синьо и червено показват знака на вълновата функция ψ; вероятността зависи от |ψ|². Пунктирът е орбитата на Бор с радиус n²a₀. p_x и d_xz са комбинации на състоянията с m = +1 и m = −1.

2. Квантови числа

Всяко състояние на електрона във водорода се описва с три , а със спина – с четири. Те идват от условията, на които трябва да отговаря стоящата вълна в три измерения.

О

Квантовите числа

Главно

n = 1, 2, 3, \ldots

– определя енергията и размера (слоя). Орбитално

l = 0, 1, \ldots, n - 1

– определя формата и големината на момента на импулса

L = \hbar\sqrt{l(l + 1)}

; подслоевете се бележат с букви:

l = 0, 1, 2, 3 \to

s, p, d, f. Магнитно

m_l = -l, \ldots, 0, \ldots, l

– проекцията

L_z = m_l\hbar

, т.е. ориентацията. Спиново

m_s = \pm\frac{1}{2}

.

Подслоят с дадено $l$ има $2l + 1$ орбитали (толкова стойности на $m_l$ ), а слоят с дадено $n$ – $1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = n^2$ орбитали. Във водорода всички те имат една и съща енергия. Забележи разликата с Бор: в основното състояние $l = 0$ и е нула, а не $\hbar$ – електронът не „обикаля“.

n	l	орбитали	електрони (2n²)
1	0 (s)	1	2
2	0, 1 (s, p)	1 + 3 = 4	8
3	0, 1, 2 (s, p, d)	1 + 3 + 5 = 9	18
4	0, 1, 2, 3 (s, p, d, f)	1 + 3 + 5 + 7 = 16	32

Пример

Изброй всички възможни комбинации $(l, m_l)$ при $n = 3$ . Колко електрона побира слоят?

$l = 0$ : $m_l = 0$ – 1 орбитала (3s)
$l = 1$ : $m_l = -1, 0, 1$ – 3 орбитали (3p); $l = 2$ : $m_l = -2, \ldots, 2$ – 5 орбитали (3d)
Общо $9 = 3^2$ орбитали, а с двете стойности на спина – $18 = 2 \cdot 3^2$ електрона.

3. Спинът и опитът на Щерн и Герлах

Кръгов е малък магнит (виж Магнитно поле). Затова и атом с момент на импулса има магнитен момент $\mu$ . В еднородно такъв магнит само се завърта, но в нееднородно поле върху него действа сила $F_z = \mu_z \frac{\partial B}{\partial z}$ – нагоре или надолу според проекцията $\mu_z$ .

Щерн и Герлах искат да проверят дали ориентацията на атомите в поле наистина е , както предсказва теорията на Бор и Зомерфелд. Ако магнитните моменти сочеха във всички посоки, снопът щеше да се размаже в ивица; опитът дава две петна. По-късно се оказва, че обяснението е друго: сребърният атом има един външен електрон в 5s ( $l = 0$ ), без орбитален момент. Двете петна идват от спина на този електрон – собствен момент на импулса, предложен от Джордж Уленбек и Самюъл Гаудсмит през 1925 г. През 1927 г. същото разцепване на две е получено и с водородни атоми.

О

Спин на електрона

Електронът има собствен момент на импулса (спин) със спиново квантово число

s = \frac{1}{2}

. Проекцията му върху коя да е ос има само две стойности:

S_z = \pm\frac{\hbar}{2}

(„нагоре“ и „надолу“). Свързаният с него магнитен момент има проекция

\mu_z \approx \mp\mu_B

, където

\mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e} \approx 9{,}27 \cdot 10^{-24}\ \mathrm{J/T} \approx 5{,}79 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{eV/T}

е магнетонът на Бор.

Спинът няма класически аналог: електронът не е топче, което се върти – доколкото знаем, той е точкова частица. Думата „спин“ (въртене) е останала от първата, нагледна идея.

∂B/∂z1

до последния магнит:1000+z (горе):≈ 500−z (долу):≈ 500

Опитът показва само две петна: проекцията на магнитния момент върху z има само две стойности – „нагоре“ и „надолу“.

💡 Нееднородното поле дърпа атома нагоре или надолу според проекцията на магнитния му момент. При среброто моментът идва от спина на единствения външен електрон. Плъзгачът намалява градиента на полето – при ∂B/∂z = 0 няма сила и няма разделяне. С пунктир е разделянето по x – то е перпендикулярно на чертежа.

Т

Последователни измервания (за олимпиадите)

Атом със спин

+z

попада в магнит, завъртян на ъгъл

\theta

спрямо

z

. Той излиза „нагоре“ по новата ос с вероятност

\cos^2\frac{\theta}{2}

и „надолу“ – с

\sin^2\frac{\theta}{2}

. При

\theta = 90^\circ

(ос

x

) двете вероятности са по

\frac{1}{2}

, а при

\theta = 180^\circ

атомът със сигурност излиза „надолу“.

Пример

С колко се различават енергиите на двете ориентации на спина в поле 1 T? Сравни с топлинната енергия $kT$ при стайна температура.

$\Delta E = 2\mu_B B = 2 \cdot 5{,}79 \cdot 10^{-5} \cdot 1 \approx 1{,}16 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{eV}$
$kT \approx 8{,}62 \cdot 10^{-5} \cdot 300 \approx 0{,}0259\ \mathrm{eV}$ – над 200 пъти повече.
Затова при стайна температура двете ориентации са почти еднакво заселени и в опита петната са две равни.

4. Принципът на Паули и периодичната система

В атомите с много електрони орбиталите приличат на тези на водорода, но енергиите им зависят и от $l$ : вътрешните електрони екранират ядрото, а s-електроните, които по-често са близо до ядрото, усещат по-голям и са по-силно свързани. Как се нареждат електроните, определя едно просто правило.

Т

Принцип на Паули (1925 г.)

В един атом не може да има два електрона с еднакви четири квантови числа

n, l, m_l, m_s

. Следствия: в една орбитала има най-много 2 електрона (с противоположни спинове), в подслой –

2(2l + 1)

(s: 2, p: 6, d: 10, f: 14), в слой –

2n^2

.

В основно състояние електроните заемат подслоевете с най-ниска енергия. Редът се помни с правилото на Клечковски (Маделунг): по-рано се запълва подслоят с по-малко $n + l$ , а при равенство – този с по-малко $n$ :

$1s \to 2s \to 2p \to 3s \to 3p \to 4s \to 3d \to 4p \to 5s \to 4d \to 5p \to 6s \to 4f \to 5d \to \ldots$

В един подслой електроните заемат първо различни орбитали с еднакъв спин (правило на Хунд). Правилото на Клечковски е приблизително: още в четвъртия период хромът ( $3d^5 4s^1$ ) и медта ( $3d^{10} 4s^1$ ) имат един 4s електрон, преминал в 3d, а при по-тежките елементи изключенията са повече.

Т

Защо периодите са 2, 8, 8, 18, 18, 32, 32

Всеки период започва с нов s-подслой и завършва със запълнен p-подслой (благороден газ). Период 1: 1s (2). Период 2: 2s 2p (2 + 6 = 8). Период 3: 3s 3p (8). Период 4: 4s 3d 4p (2 + 10 + 6 = 18). Период 5: 5s 4d 5p (18). Период 6: 6s 4f 5d 6p (2 + 14 + 10 + 6 = 32). Период 7 – също 32.

Z8

елемент:O – кислородконфигурация:1s² 2s² 2p⁴период, група:2, 16електрони в слой n = 2:6несдвоени:2

Всяка клетка е орбитала с най-много два електрона с противоположни спинове (принцип на Паули).

💡 Подслоевете се запълват по реда на енергията – по правилото на Клечковски (по n + l). В един подслой електроните заемат първо различни клетки с еднакъв спин (правило на Хунд). Конфигурацията се записва по n, затова 3d стои преди 4s, макар 4s да се запълва първо.

Химичните свойства идват от външните електрони. (запълнен p-подслой) почти не реагират: на неона е 21,6 eV. имат един s-електрон в нов слой, далеч от ядрото и добре екраниран: за натрия тя е само 5,14 eV, затова той лесно отдава електрона си. (флуор, хлор) имат нужда от един електрон до запълнен слой и лесно го приемат. Менделеев подрежда елементите по свойствата им през 1869 г. – почти 30 години преди откриването на електрона; квантовата механика обяснява защо таблицата му изглежда така.

Пример

Напиши електронната конфигурация на желязото (Z = 26) и определи несдвоените електрони.

Попълваме: $1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^6\,4s^2$ – това са 20 електрона, остават 6 за 3d.
$\mathrm{Fe}: 1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^6\,3d^6\,4s^2$ , накратко $[\mathrm{Ar}]\,3d^6\,4s^2$
В петте 3d орбитали: първо по един във всяка (5), шестият се сдвоява – 4 несдвоени електрона. Те са причина за магнитните свойства на желязото.

5. Атом в магнитно поле: ефектът на Зееман

Различните стойности на $m_l$ имат различна ориентация на магнитния момент. Без поле енергиите им са равни, но в поле $B$ нивото се разцепва на $2l + 1$ поднива. През 1896 г. Питер Зееман вижда, че в магнитно поле се разширяват и разцепват; за откритието той и Хендрик Лоренц получават Нобелова награда през 1902 г.

Т

Нормален ефект на Зееман

Без да отчитаме спина, енергията на нивото се променя с

\Delta E = m_l \mu_B B

. При прехода

m_l

се променя с 0 или ±1, затова в най-простия случай спектралната линия се разделя на три с разстояние

\Delta E = \mu_B B

между съседните. Спинът прави картината по-сложна (аномален ефект на Зееман) – линиите често са повече.

Пример

В слънчево петно полето е около 0,3 T. С колко се отместват крайните компоненти на линия с дължина на вълната 630 nm, ако тя се разцепва по най-простия начин?

$\Delta E = \mu_B B = 5{,}79 \cdot 10^{-5} \cdot 0{,}3 \approx 1{,}74 \cdot 10^{-5}\ \mathrm{eV}$
От $\lambda = \frac{hc}{E}$ : $\Delta\lambda \approx \frac{\lambda^2 \Delta E}{hc} = \frac{630^2 \cdot 1{,}74 \cdot 10^{-5}}{1240} \approx 5{,}6 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{nm}$
Само няколко пикометра, но се мери. Така Джордж Хейл открива през 1908 г., че слънчевите петна са силно намагнетизирани.

Повече за и магнитното поле на Слънцето – в урока Слънчева активност.

6. Суперпозиция, заплитане и кюбити

Спинът е най-простата квантова система – с два възможни резултата при измерване. Но преди измерването той може да е в суперпозиция $a\,|{\uparrow}\rangle + b\,|{\downarrow}\rangle$ , като $|a|^2 + |b|^2 = 1$ . Измерването по $z$ дава „нагоре“ с вероятност $|a|^2$ и „надолу“ с $|b|^2$ , и след него състоянието вече е това, което е измерено. Атомът с $+z$ , пуснат в магнит по $x$ , е точно такава суперпозиция с $|a|^2 = |b|^2 = \frac{1}{2}$ .

Две частици могат да са в общо състояние, което не се разделя на състояния на всяка поотделно – заплетено. Например при два електрона с общ спин нула измерванията по една и съща ос винаги дават противоположни резултати, колкото и да са далеч един от друг. Айнщайн, Подолски и Розен (1935 г.) смятат, че това показва непълнота на квантовата механика. През 1964 г. Джон Бел доказва, че всяка теория със „скрити“ предварително записани отговори и без мигновено влияние трябва да изпълнява определено неравенство, а квантовата механика го нарушава. Опитите на Джон Клаузър, Ален Аспе, Антон Цайлингер и други показват, че природата следва квантовата механика; тримата получават Нобелова награда по физика за 2022 г.

О

Какво заплитането не прави

Всеки отделен резултат е случаен – наблюдателят при едната частица не може да избере какво ще измери другият. Съвпаденията личат едва когато двамата сравнят записите си по обикновен канал. Затова заплитането не позволява да се изпраща информация по-бързо от светлината.

Кюбит е двустепенна квантова система като спина – квантовият аналог на бита. Състоянието на $n$ кюбита се описва с $2^n$ амплитуди, затова за някои задачи (разлагане на големи числа на множители по алгоритъма на Шор, моделиране на молекули) квантов компютър би бил несравнимо по-бърз. Квантови компютри вече съществуват, но засега са сравнително малки и много чувствителни към смущения, които разрушават суперпозициите; дали и кога ще надминат обикновените компютри при практически полезни задачи, все още се изследва.

7. Тренажор

Квантови числа, конфигурации и опитът на Щерн и Герлах. Всички отговори са цели числа.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

\mathrm{Cl}\ (\text{хлор}),\ Z = 17

Колко електрона има в подслоя 3s? $N = ?$

8. Квантовият атом около нас

0 / 5

🟡 Натриевата лампа

Старите улични лампи светят в жълто – натриевите атоми излъчват при прехода на външния си електрон от 3p в 3s, с дължина на вълната 589 nm. Каква е разликата между енергиите на двата подслоя?

📡 Радиолинията 21 cm

В основното състояние на водорода спиновете на електрона и протона могат да са успоредни или противоположни. Разликата в енергиите е мъничка: при обръщането на спина атомът излъчва радиовълна с честота 1420,4 MHz. Каква е енергията на фотона в µeV и дължината на вълната?

🧲 Електронен спинов резонанс

В магнитно поле 0,35 T двете ориентации на спина на свободен електрон имат енергии, които се различават с $\Delta E = 2\mu_B B$ ( $\mu_B = 9{,}27 \cdot 10^{-24}\ \mathrm{J/T}$ ). Микровълни с каква честота обръщат спина? Така работят спектрометрите, с които химиците търсят свободни радикали.

🧪 Защо натрият е толкова активен

Енергията на йонизация на неона е 21,6 eV, а на натрия (един електрон повече) – само 5,14 eV. Колко пъти е по-лесно (по енергия) да откъснеш електрон от натрия?

💻 Памет за 50 кюбита

Състоянието на $n$ кюбита се описва с $2^n$ комплексни числа (амплитуди). Колко памет е нужна на обикновен компютър да пази състоянието на 50 кюбита, ако всяко число заема 16 байта?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

9. ⚠️ Чести грешки

Орбиталата е път

✗ електронът обикаля по 2p орбиталата

✓ орбиталата е облак на вероятността – електронът няма траектория

l до n

✗ при $\displaystyle n = 3$ : $\displaystyle l = 1, 2, 3$

✓ $\displaystyle l = 0, 1, \ldots, n - 1$ : при $\displaystyle n = 3$ – $\displaystyle 0, 1, 2$

Орбитали и електрони

✗ в p подслоя има 3 електрона

✓ 3 орбитали, до $\displaystyle 2 \cdot 3 = 6$ електрона

Ред на запълване

✗ 3d се запълва преди 4s

✓ 4s ( $\displaystyle n + l = 4$ ) преди 3d ( $\displaystyle n + l = 5$ ): калият е $\displaystyle [\mathrm{Ar}]\,4s^1$

Спинът е въртене

✗ електронът се върти като пумпал

✓ спинът е собствен момент на импулса без класически аналог

Заплитането пренася сигнал

✗ измервам тук – съобщавам мигновено там

✓ резултатите са случайни; съвпаденията се виждат само след сравнение

10. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Какво е орбитала в квантовата механика?

Избери отговор (или натисни 1–4)

11. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

✓ Орбиталата е облак на вероятността, не ; енергиите на водорода са $E_n = -\frac{13{,}6\ \mathrm{eV}}{n^2}$ като при Бор
✓ Квантови числа: $n \ge 1$ , $l = 0 \ldots n - 1$ (s, p, d, f), $m_l = -l \ldots l$ , $m_s = \pm\frac{1}{2}$
✓ Подслой: $2l + 1$ орбитали и до $2(2l + 1)$ електрона; слой: $n^2$ орбитали и до $2n^2$ електрона
✓ Щерн и Герлах: снопът се разделя на две – проекцията на спина има само две стойности, $\mu_B \approx 9{,}27 \cdot 10^{-24}\ \mathrm{J/T}$
✓ Принцип на Паули + ред на запълване по $n + l$ → периоди 2, 8, 8, 18, 18, 32, 32; свойствата идват от външните електрони
✓ Ефект на Зееман: в поле $B$ нивата се разцепват с $\Delta E = m_l \mu_B B$
✓ Суперпозиция и заплитане: резултатите са случайни, но свързани; сигнал по-бърз от светлината не може да се изпрати

💡 Интересен факт

Жълтият цвят на златото се обяснява с теорията на относителността. Вътрешните електрони в тежкия атом на златото се движат с немалка част от скоростта на светлината; релативистките ефекти свиват 6s орбиталата и сближават енергиите на 5d и 6s. Затова златото поглъща синя светлина и отразява жълта и червена. Без тези ефекти изчисленията показват, че то би било бяло-сребристо като среброто, което стои точно над него в периодичната система.