Вълнова оптика — урок по физика

1. Светлината като вълна

Нютон смята, че светлината е поток от малки частици, а Кристиан Хюйгенс – че е вълна. През XVIII век надделява мнението на Нютон. Решаващи се оказват опитите, в които светлината прави нещо, което може само вълна: интерферира и огъва препятствия. Днес знаем, че светлината е (виж Променлив ток и ЕМ вълни), а общите свойства на вълните са разгледани в урока Вълни.

Цвят	λ, nm (приблизително)
виолетово	380–450
синьо	450–495
зелено	495–570
жълто	570–590
оранжево	590–620
червено	620–750

О

Кохерентни източници

Две вълни интерферират устойчиво само ако имат еднаква честота и постоянна разлика във фазите – тогава ги наричаме кохерентни. Две отделни крушки не са кохерентни: атомите им излъчват независимо. Затова Юнг разделя светлината от един източник на две – с две цепнатини. Лазерът е много кохерентен и опитите с него стават лесно.

2. Интерференция: опитът на Юнг

Светлината минава през две тесни цепнатини на разстояние $d$ . Те стават два кохерентни източника. В точка от екрана вълните идват с разлика в пътищата $\Delta = d\sin\theta$ .

Т

Условия за максимум и минимум

Светла ивица (максимум) има там, където

d\sin\theta = k\lambda

,

k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots

Тъмна ивица (минимум) – където

d\sin\theta = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda

. При малки ъгли и екран на разстояние

L

светлите ивици са на равни разстояния

\Delta y = \frac{\lambda L}{d}

.

Пример

Светлина с λ = 600 nm минава през две цепнатини на 0,5 mm една от друга. Екранът е на 2 m. На какво разстояние са ивиците?

$\Delta y = \frac{\lambda L}{d} = \frac{600 \cdot 10^{-9} \cdot 2}{0{,}5 \cdot 10^{-3}} = 2{,}4 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m}$
$\Delta y = 2{,}4\ \mathrm{mm}$ – ивиците са ситни, но се виждат с просто око.

λ, nm600d, mm0,4L, m2

Δy = λL/d =3 mmивици на екрана ≈11

Червената светлина дава по-широки ивици от синята; по-близките цепнатини – също.

💡 Вълните от двете цепнатини се срещат на екрана. Там, където разликата в пътищата е цяло число дължини на вълната, те се усилват (светли ивици), а където е половин дължина повече – гасят (тъмни). Ивиците и графиката вдясно са пресметнати в истински мащаб; фронтовете отляво са само схема – истинската дължина на вълната е под микрометър. Всяка цепнатина е широка 0,08 mm.

Опитът на Юнг е и начин да се измери : $\lambda = \frac{d\,\Delta y}{L}$ . Така Юнг пръв оценява, че видимата светлина има дължина на вълната под микрометър.

3. Дифракция

Дифракция е огъването на вълните около препятствия и разширяването им след тесни отвори. Името дава Франческо Грималди (публикувано посмъртно през 1665 г.). Дифракцията е силна, когато препятствието е съизмеримо с дължината на вълната. Звукът (дължина около метър) лесно заобикаля ъгъла на сградата и чуваме човек, когото не виждаме; светлината (под микрометър) почти не го прави.

Т

Дифракция на една цепнатина

При цепнатина с ширина

a

първият тъмен минимум е под ъгъл, за който

a\sin\theta = \lambda

. Централното светло петно е два пъти по-широко от останалите. Колкото по-тясна е цепнатината, толкова по-широко е петното.

Т

Дифракционна граница на разделителната способност

Кръгъл отвор с диаметър

D

(зеница, обектив) размива точката в малко петно. Два точкови обекта се различават, ако ъгълът между тях е поне

\theta \approx 1{,}22\frac{\lambda}{D}

(в радиани).

Пример

Каква е дифракционната граница на окото при зеница 5 mm и λ = 550 nm?

$\theta \approx 1{,}22 \cdot \frac{550 \cdot 10^{-9}}{5 \cdot 10^{-3}} \approx 1{,}34 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{rad}$
Това е около $0{,}46$ дъгови минути. Истинското зрение е малко по-лошо – около 1 дъгова минута.

Затова големите телескопи различават по-фини детайли – повече за това в урока Телескопи.

4. Дифракционна решетка

Решетката е пластинка с много успоредни процепи (или черти) на еднакво разстояние $d$ – периодът на решетката. Ако има $N$ линии на милиметър, то $d = \frac{1\ \mathrm{mm}}{N}$ . Вълните от всички процепи се усилват само в няколко посоки и там се получават ярки, тесни линии.

Т

Формула на решетката

Максимумите са под ъглите, за които

d\sin\theta = k\lambda

,

k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots

Понеже

\sin\theta \le 1

, порядъкът е ограничен:

|k| < \frac{d}{\lambda}

. По-дългите вълни (червеното) се отклоняват повече – обратно на призмата.

λ, nm532N, /mm600

θ₁ =18,6°θ₂ =39,7°

Червеното се отклонява повече от виолетовото – обратно на призмата. Най-високият възможен порядък тук е k = 3.

💡 Светлината идва отдолу и минава през решетката. Във всяка посока, в която разликата в пътя между съседни процепи е цяло число дължини на вълната (d·sin θ = kλ), вълните от всички процепи се усилват. Колкото повече линии на милиметър, толкова по-голям ъгъл. Бутоните CD и DVD задават разстоянието между пистите на диска.

Пример

Решетка има 600 линии на милиметър. Под какви ъгли в първия порядък се виждат червената (656 nm) и виолетовата (410 nm) линия на водорода?

$d = \frac{1}{600}\ \mathrm{mm} \approx 1667\ \mathrm{nm}$
$\sin\theta_{\text{черв}} = \frac{656}{1667} \approx 0{,}394 \Rightarrow \theta \approx 23{,}2^{\circ}$
$\sin\theta_{\text{виол}} = \frac{410}{1667} \approx 0{,}246 \Rightarrow \theta \approx 14{,}2^{\circ}$

Йозеф фон Фраунхофер изработва в началото на XIX век първите прецизни решетки и с тях измерва дължините на вълните на тъмните линии в на Слънцето. Днес спектрографите с решетки разкриват състава и скоростта на звездите (виж Светлина и спектри). А пистите на CD (1,6 µm) и DVD (0,74 µm) действат като решетка – затова дисковете блестят в цветовете на дъгата.

5. Интерференция в тънки слоеве

Когато светлината падне на тънък прозрачен слой, част от нея се отразява от горната граница, а част – от долната. Вторият лъч изминава допълнително $2nd$ , където $n$ е на слоя (виж Отражение и пречупване). Двата лъча интерферират.

Т

Обръщане на фазата при отражение

При отражение от оптически по-плътна среда (с по-голямо

n

) фазата на вълната се обръща – все едно пътят се удължава с

\frac{\lambda}{2}

. При отражение от по-рядка среда това не става. За сапунен филм във въздуха се обръща само единият лъч, затова усилване има при

2nd = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda

.

Т

Антиотражателно покритие

Ако покритието има

n

между това на въздуха и на стъклото, и двата лъча се обръщат. Те се гасят, когато

2nd = \frac{\lambda}{2}

, т.е. при дебелина

d = \frac{\lambda}{4n}

– „четвъртвълнов“ слой. Така се покриват лещите на очила и фотоапарати.

d, nm300n1,33

път. разлика 2nd =798 nmнай-силно отразява532 nm

Различните дебелини усилват различни цветове – затова мехурът е на цветни ивици.

💡 Лъч 1 се отразява от горната граница, лъч 2 – от долната; той изминава допълнително 2nd. При отражение от оптически по-плътна среда фазата се обръща (+λ/2, отбелязано в червено). Вдясно: вертикален сапунен филм – водата се стича надолу, затова той е тънък горе и по-дебел долу. Смятаме само двата първи лъча при перпендикулярно падане, а цветовете са приблизителни.

Пример

Масло (n = 1,45) е разлято на тънък слой с дебелина 300 nm върху вода (n = 1,33). Каква видима светлина отразява най-силно, ако гледаме отвисоко?

Отражението въздух–масло обръща фазата; масло–вода – не (водата е по-рядка от маслото).
Усилване: $2nd = \left(k + \frac{1}{2}\right)\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{2 \cdot 1{,}45 \cdot 300}{k + 0{,}5} = \frac{870}{k + 0{,}5}$
$k = 0$ : 1740 nm (инфрачервено); $k = 1$ : 580 nm (жълто); $k = 2$ : 348 nm (ултравиолетово). Петното изглежда жълтеникаво.

Подобна картина са пръстените на Нютон: изпъкнала , положена върху стъкло, оставя под себе си клиновиден въздушен слой и около допирната точка се виждат концентрични цветни пръстени. Иронично, Нютон ги описва подробно, но не ги обяснява с вълни.

6. Поляризация

Светлината е напречна вълна: трепти перпендикулярно на посоката на разпространение. В обикновената светлина посоката на трептене се мени хаотично – тя е неполяризирана. Поляризаторът пропуска само трептенията по една ос.

Т

Закон на Малюс

Неполяризирана светлина с интензитет

I_0

след идеален поляризатор има интензитет

\frac{I_0}{2}

. Поляризирана светлина с интензитет

I_0

, която пада на поляризатор под ъгъл

\varphi

спрямо оста му, излиза с

I = I_0\cos^2\varphi

. При

\varphi = 90^{\circ}

не минава нищо.

Отразената от вода, сняг или път светлина е частично поляризирана – хоризонтално. Поляризиращите слънчеви очила имат вертикална ос и спират този отблясък. При ъгъла на Брюстер, за който $\operatorname{tg}\theta_B = n$ (около 53° за вода), отразената светлина е напълно поляризирана. Течнокристалните екрани също работят с поляризатори – затова през поляризиращи очила някои екрани потъмняват, когато ги завъртиш.

Пример

Неполяризирана светлина минава през два поляризатора с оси под ъгъл 60°. Каква част от нея излиза?

След първия: $\frac{I_0}{2}$
След втория: $\frac{I_0}{2}\cos^2 60^{\circ} = \frac{I_0}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{I_0}{8}$ , т.е. 12,5%

7. Тренажор

Пресметни исканата величина. Десетичните отговори въвеждай като 2,4.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

N = 500\ \mathrm{mm^{-1}},\ \lambda = 700\ \mathrm{nm}

Най-висок наблюдаван порядък: $k_{\max} = ?$

8. Вълновата оптика около нас

0 / 6

🔴 Лазерна показалка

Червена лазерна показалка (650 nm) свети през две цепнатини на разстояние 0,25 mm. Ивиците падат на стена на 3 m. На какво разстояние една от друга са светлите ивици?

💿 Дъга върху компактдиск

Пистите на CD са на 1,6 µm една от друга. Под какъв ъгъл се отклонява зелена светлина (532 nm) в първия порядък?

🫧 Сапунен мехур

Сапунен филм (n = 1,33) отразява най-силно светлина с дължина 600 nm. Каква е най-малката възможна дебелина на филма?

👓 Покритие на очила

Антиотражателното покритие на очила е от материал с n = 1,38. Колко дебело трябва да е, за да не отразява зелена светлина (550 nm)?

🕶️ Два поляризатора

Неполяризирана светлина минава през два поляризатора, чиито оси сключват ъгъл 30°. Какъв процент от светлината излиза?

🚗 Фаровете в нощта

Зеницата на окото нощем е около 3 mm. Фаровете на кола са на 1,5 m един от друг. От какво най-голямо разстояние (в km) окото по принцип може да ги различи като два? Приеми λ = 550 nm.

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

9. ⚠️ Чести грешки

Формулата на Юнг наобратно

✗ $\displaystyle \Delta y = \frac{\lambda d}{L}$

✓ $\displaystyle \Delta y = \frac{\lambda L}{d}$ – по-близките цепнатини дават по-широки ивици

Смесени единици

✗ $\displaystyle \frac{500 \cdot 2}{0{,}5} = 2000$ – „mm“

✓ всичко в метри: $\displaystyle \frac{500 \cdot 10^{-9} \cdot 2}{0{,}5 \cdot 10^{-3}} = 2 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m}$

Безкрайно много порядъци

✗ решетката дава всяко $\displaystyle k$

✓ $\displaystyle |\sin\theta| \le 1$ , затова $\displaystyle |k| < \frac{d}{\lambda}$

Решетка и призма

✗ виолетовото се отклонява най-много

✓ в решетката – червеното; в призмата е обратно

Покритие с дебелина λ/2

✗ $\displaystyle d = \frac{\lambda}{2}$

✓ $\displaystyle d = \frac{\lambda}{4n}$ – в слоя вълната е $\displaystyle n$ пъти по-къса, а пътят е двоен

Малюс за неполяризирана светлина

✗ $\displaystyle I = I_0\cos^2\varphi$ още при първия поляризатор

✓ първият поляризатор пропуска $\displaystyle \frac{I_0}{2}$ при всяко завъртане

10. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Кое явление най-ясно показва, че светлината е вълна?

Избери отговор (или натисни 1–4)

11. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

12. Обобщение

✓ Интерференцията и дифракцията показват, че светлината е вълна; видимата светлина е от около 380 до 750 nm
✓ Опит на Юнг: максимуми при $d\sin\theta = k\lambda$ , ивици на разстояние $\Delta y = \frac{\lambda L}{d}$
✓ Една цепнатина: първи минимум при $a\sin\theta = \lambda$ ; $\theta \approx 1{,}22\frac{\lambda}{D}$
✓ Решетка: $d\sin\theta = k\lambda$ , $|k| < \frac{d}{\lambda}$ ; червеното се отклонява най-много
✓ Тънък слой: пътна разлика $2nd$ плюс $\frac{\lambda}{2}$ при всяко отражение от по-плътна среда; покритие $d = \frac{\lambda}{4n}$
✓ Поляризация: поляризаторът пропуска половината неполяризирана светлина; закон на Малюс $I = I_0\cos^2\varphi$

💡 Интересен факт

Синият цвят на крилете на пеперудите морфо не идва от пигмент. Люспичките им имат микроскопични, редовно подредени гребенчета от хитин, а светлината, отразена от многото слоеве, интерферира и усилва най-вече синьото. Това е „структурен цвят“ – затова той се мени при промяна на ъгъла, под който гледаме, и изчезва, ако люспичките се намокрят с течност с подобен показател на пречупване. Подобен е произходът на блясъка на пауновите пера и на сапунените мехури.