Закони на Нютон — урок по физика

1. Първи закон: инерция

Т

Първи закон на Нютон (закон за инерцията)

Ако на тялото не действат сили или равнодействащата им е нула, то запазва скоростта си: стои в покой или се движи равномерно праволинейно.

Свойството на телата да запазват скоростта си се нарича инерция, а мярката за него е масата. Затова в спиращ автобус пътниците „падат“ напред – никой не ги бута, просто тялото им продължава да се движи, докато автобусът спира под тях.

Законът не важи във всяка . В спиращия автобус пътникът се ускорява напред без видима причина. Системите, в които законът важи, се наричат инерциални. За повечето задачи Земята е достатъчно добра инерциална система – както и всяко тяло, което се движи спрямо нея равномерно праволинейно.

2. Втори закон: сила и ускорение

Силата има големина и посока – тя е вектор. Ако на тялото действат няколко сили, ги заместваме с една – тяхната равнодействаща, която е векторната им сума (виж Вектори).

Т

Втори закон на Нютон

Ускорението на тялото е право пропорционално на равнодействащата сила и обратно пропорционално на масата му:

\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}

, т.е.

\vec{F} = m\vec{a}

. Ускорението е в посоката на равнодействащата. Единицата нютон е силата, която дава на 1 kg ускорение

1\ \mathrm{m/s^2}

:

1\ \mathrm{N} = 1\ \mathrm{kg \cdot m/s^2}

.

Пример

На тяло с маса 2 kg действат сила 6 N на изток и сила 8 N на север. Какво е ускорението му?

Силите са перпендикулярни: $R = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\ \mathrm{N}$
$a = \frac{R}{m} = \frac{10}{2} = 5\ \mathrm{m/s^2}$ по посока на равнодействащата – на североизток, на около 53° от изток

Вторият закон свързва силите с кинематиката от урока Праволинейно движение: намираме от силите, а после от него – скоростта и положението.

3. Трети закон: действие и противодействие

Т

Трети закон на Нютон

Когато тяло A действа на тяло B със сила

\vec{F}

, тялото B действа на A със сила

-\vec{F}

– равна по големина и противоположна по посока. Двете сили действат на РАЗЛИЧНИ тела, затова никога не се уравновесяват една друга.

Когато ходиш, ти буташ Земята назад, а тя теб – напред. Ракетата изхвърля газове назад, а те я бутат напред. Как тогава конят тегли каруцата, щом каруцата го дърпа назад със същата сила? Дали конят ще ускори, зависи само от силите върху коня: земята го бута напред (той се отблъсква с копитата), а каруцата – назад. Ако първата е по-голяма, конят ускорява.

Пример

Две деца на кънки, с маси 40 kg и 60 kg, се отблъскват едно от друго. По-лекото получава ускорение 3 m/s². Какво е ускорението на другото?

По третия закон силите са равни: $F = 40 \cdot 3 = 120\ \mathrm{N}$
$a_2 = \frac{120}{60} = 2\ \mathrm{m/s^2}$ в обратна посока – по-масивното дете ускорява по-малко.

4. Силите в механиката

О

Тегло и маса

Масата

m

(в kg) е мярка за инерцията и не зависи от мястото. Силата на тежестта

mg

(в N) е силата, с която Земята привлича тялото;

g \approx 9{,}81\ \mathrm{m/s^2}

на Земята и

1{,}62\ \mathrm{m/s^2}

на Луната. Теглото е силата, с която тялото натиска опората или опъва окачването; в покой то е равно на

mg

.

Откъде идва $mg$ – от закона за всеобщото привличане, подробно в урока Гравитация. Освен тежестта в механиката срещаме:

нормална реакция $N$ – сила от опората, перпендикулярна на повърхността; тя е толкова, колкото е нужно, за да не „потъне“ тялото в опората;
сила на опън $T$ – по въже или нишка; лекото въже предава силата без промяна;
еластична сила – при малки деформации е пропорционална на удължението (закон на Хук);
сила на триене – действа по повърхността и пречи на плъзгането.

Т

Закон на Хук

Еластичната сила на пружина е

F = kx

, където

x

е удължението, а

k

(в N/m) е коефициентът на еластичност. Тя е насочена обратно на деформацията.

Т

Сила на триене

Ако тялото се плъзга, триенето е

F_{\text{тр}} = \mu N

, където

\mu

е коефициентът на триене. Ако тялото е неподвижно, триенето при покой е точно колкото е нужно, за да го задържи, но не повече от

\mu_s N

. Обикновено

\mu_s

е малко по-голям от

\mu

– затова е по-трудно да помръднеш шкаф, отколкото после да го буташ.

Пример

На пружина с $k = 200\ \mathrm{N/m}$ окачваме тяло с маса 0,5 kg. С колко се разтяга пружината?

В равновесие $kx = mg$
$x = \frac{0{,}5 \cdot 9{,}81}{200} \approx 0{,}0245\ \mathrm{m} \approx 2{,}45\ \mathrm{cm}$

5. Как се решават задачи: наклонена равнина

Т

Рецепта

1) Изобразяваме ВСИЧКИ сили, действащи на тялото (и само на него). 2) Избираме оси – удобно е едната да е по ускорението. 3) Записваме втория закон по всяка ос:

\sum F_x = ma_x

,

\sum F_y = ma_y

. 4) Решаваме системата.

На наклон с ъгъл $\alpha$ разлагаме тежестта на съставяща по наклона $mg\sin\alpha$ и перпендикулярна $mg\cos\alpha$ . Перпендикулярно тялото не се движи, затова $N = mg\cos\alpha$ . Тялото се плъзга, ако $mg\sin\alpha > \mu mg\cos\alpha$ , т.е. ако $\tg\alpha > \mu$ .

t = 0 s

α, °25μ0,3

mg sin α =8,3 NN = mg cos α =17,8 Nтриене5,3 Na =1,48 m/s²

tg α = 0,47 > μ – триенето не стига и блокът се плъзга с a = g(sin α − μ cos α).

💡 Тежестта (лилаво) се разлага на две съставящи (пунктир): по наклона и перпендикулярно на него. Нормалната реакция N уравновесява перпендикулярната, а триенето (червено) се противопоставя на плъзгането. Масата е 2 kg, но ускорението от нея не зависи. За простота коефициентът на триене при покой и при плъзгане е един и същ.

Пример

Блок се плъзга по наклон от 30° с коефициент на триене 0,2. Какво е ускорението му?

По наклона: $ma = mg\sin 30^\circ - \mu mg\cos 30^\circ$
$a = 9{,}81 \cdot (0{,}5 - 0{,}2 \cdot 0{,}866) \approx 3{,}21\ \mathrm{m/s^2}$
Масата се съкращава – тежкият и лекият блок се плъзгат еднакво.

6. Свързани тела

Когато телата са свързани с въже, пишем втория закон за всяко поотделно. Неизвестни са общото ускорение и опънът на въжето.

Т

Машина на Атууд

Две тела с маси

m_1 > m_2

висят на въже през лека макара. Тогава

m_1 g - T = m_1 a

и

T - m_2 g = m_2 a

. Събираме:

a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2}

, а опънът е

T = \frac{2m_1 m_2 g}{m_1 + m_2}

.

t = 0 s

m₁, kg3m₂, kg2

a =1,96 m/s²T =23,5 Nm₁g =29,4 Nm₂g =19,6 N

Опънът е между двете тегла: 19,6 N < T < 29,4 N. Ускорението е g · (m₁ − m₂)/(m₁ + m₂) – много по-малко от g.

💡 Въжето и макарата са леки, а триенето пренебрегваме. Джордж Атууд построява такава машина през 1784 г., за да „забави“ падането и да може да го измери – идеята е същата като наклона на Галилей.

Пример

В машина на Атууд $m_1 = 3\ \mathrm{kg}$ и $m_2 = 2\ \mathrm{kg}$ . Намерете ускорението и опъна.

$a = \frac{(3 - 2) \cdot 9{,}81}{5} \approx 1{,}96\ \mathrm{m/s^2}$ – пет пъти по-малко от $g$
$T = \frac{2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 9{,}81}{5} \approx 23{,}5\ \mathrm{N}$ – между $m_2 g = 19{,}6\ \mathrm{N}$ и $m_1 g = 29{,}4\ \mathrm{N}$

7. Тегло в асансьор и безтегловност

Везната не мери масата, а силата, с която я натискаш. Ако асансьорът ускорява нагоре, подът трябва да те бута по-силно, за да ускорява и теб: $N - mg = ma$ . Затова в потеглящ нагоре асансьор „натежаваш“, а в потеглящ надолу – „олекваш“.

Т

Тегло при ускорение

Теглото на тяло в система, която се движи с ускорение

a

(положително нагоре), е

N = m(g + a)

. При свободно падане

a = -g

и

N = 0

– това е безтегловност. Масата и силата на тежестта не се променят.

t = 0 s

m, kg60

везната:60 kgN =589 Na =0 m/s²v =0 m/s

При потегляне нагоре и спиране при слизане везната показва повече, при равномерно движение – колкото в покой.

💡 Везната мери силата, с която я натискаш – тя е равна на нормалната реакция N. От втория закон N − mg = ma, т.е. N = m(g + a), където a е положително нагоре. Масата ти не се променя, променя се само показанието.

Пример

Човек с маса 60 kg стои на везна в асансьор, който ускорява нагоре с 2 m/s². Колко показва везната?

$N = m(g + a) = 60 \cdot 11{,}81 \approx 709\ \mathrm{N}$
Везната дели на $g$ : $\frac{709}{9{,}81} \approx 72{,}2\ \mathrm{kg}$ вместо 60 kg.

Космонавтите на Международната космическа станция също са в безтегловност, въпреки че там $g$ е само с около 10% по-малко от това на Земята: станцията и всичко в нея непрекъснато „падат“ около Земята.

8. Тренажор

Пресметни исканата величина. Десетичните отговори въвеждай като 2,5.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0

F = 20\ \mathrm{N}, \quad m = 5\ \mathrm{kg}

$a = ?\ \mathrm{m/s^2}$

9. Силите около нас

0 / 6

🚗 Сила на двигателя

Кола с маса 1200 kg ускорява равномерно от 0 до 100 km/h за 10 s. Каква е равнодействащата сила, която я ускорява?

🛷 Шейна

Дете тегли шейна с маса 15 kg по хоризонтален сняг с постоянна скорост. Въжето е хоризонтално, а коефициентът на триене е 0,1. С каква сила тегли детето? ( $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ )

🛗 Везна в асансьора

Човек с маса 60 kg стои на везна в асансьор, който потегля нагоре с ускорение 1,5 m/s². Колко килограма показва везната? ( $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ )

🌙 На Луната

Космонавт със скафандъра си има маса 80 kg. Колко е теглото му на Луната, където $g = 1{,}62\ \mathrm{m/s^2}$ ? А масата му?

🧳 Динамометър

Пружината на ръчен кантар за багаж има коефициент на еластичност 500 N/m. С колко сантиметра се разтяга, когато на нея виси чанта от 4 kg? ( $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ )

⛷️ Скиор

Скиор се спуска по склон с наклон 20°. Коефициентът на триене между ските и снега е 0,05. С какво ускорение се движи, ако пренебрегнем въздуха? ( $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ )

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

10. ⚠️ Чести грешки

Маса и тегло

✗ „Тежа 60 kg“ – теглото е 60 kg

✓ масата е 60 kg, а силата на тежестта – $\displaystyle 60 \cdot 9{,}81 \approx 589\ \mathrm{N}$

Действие и противодействие

✗ двете сили се уравновесяват

✓ действат на различни тела и не се събират

Движение без сила

✗ щом тялото се движи, има сила по посоката на движението

✓ при постоянна скорост равнодействащата е нула

Триене при покой

✗ $\displaystyle F_{\text{тр}} = \mu N$ винаги

✓ в покой триенето е колкото е нужно, но не повече от $\displaystyle \mu_s N$

Нормалната реакция

✗ $\displaystyle N = mg$ винаги

✓ на наклон $\displaystyle N = mg\cos\alpha$ , в асансьор $\displaystyle N = m(g + a)$

Свързани тела

✗ $\displaystyle a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1}$

✓ $\displaystyle a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2}$ – ускорява се общата маса

11. 🎯 Бърз тест

1 / 9

✓ 0

Равнодействащата на силите върху едно тяло е нула. Какво е вярно?

Избери отговор (или натисни 1–4)

12. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Ниво В· Национален кръг

Ниво С· Международна олимпиада

13. Обобщение

✓ I закон: без равнодействаща сила скоростта не се променя; масата е мярка за инерцията
✓ II закон: $\vec{F} = m\vec{a}$ , където $\vec{F}$ е векторната сума на всички сили; $1\ \mathrm{N} = 1\ \mathrm{kg \cdot m/s^2}$
✓ III закон: силите на взаимодействие са равни и противоположни и действат на различни тела
✓ Тежест $mg$ , закон на Хук $F = kx$ , триене при плъзгане $\mu N$ , при покой – до $\mu_s N$
✓ Наклон: $N = mg\cos\alpha$ ; плъзга се при $\tg\alpha > \mu$ ; машина на Атууд $a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2}$
✓ Тегло при ускорение $N = m(g + a)$ ; при – безтегловност

💡 Интересен факт

Един нютон е приблизително теглото на малка ябълка от около 100 g. Историята, че ябълка паднала на главата на Нютон, най-вероятно е измислица. Според спомените на приятеля му Уилям Стъкли самият Нютон разказвал само, че падаща в градината ябълка го навела на мисълта за гравитацията. В двора на родната му къща в Улсторп и днес расте ябълково дърво, за което се смята, че е същото.