Сайтът все още се разработва и може да има грешки и неточности. Ако забележиш такава, пиши ни на ninelibera@gmail.com.

Кондензатори

⚡ През 1745–1746 г. двама изследователи независимо един от друг – Евалд фон Клайст в Померания и Питер ван Мушенбрук в Лайден – „наливат“ електричество в стъкленица с вода. Когато Мушенбрук докосва едновременно стъкленицата и жицата в нея, го удря такъв , че според често цитираното му писмо не би повторил опита „дори за цялото френско кралство“. Така се ражда Лайденската стъкленица – първият кондензатор. Скоро след това, според разказите, абат Жан-Антоан Ноле пуска разряд през верига от около 180 гвардейци, хванати за ръце, пред френския крал – и всички подскачат едновременно.

1. Какво е кондензатор?

Кондензаторът е два (обикновено плочи), разделени от . Когато го свържем към батерия, тя „изпомпва“ електрони от едната плоча към другата: едната се зарежда положително (+q+q), другата – отрицателно (−q-q). Между плочите възниква , в което е натрупана енергия (виж Електростатика). Ток през изолатора не тече – кондензаторът само се зарежда и разрежда.

О

Капацитет

Капацитетът показва колко заряд побира кондензаторът за всеки волт напрежение: C=qUC = \frac{q}{U}. Единицата е фарад: 1 F=1 C/V1\ \mathrm{F} = 1\ \mathrm{C/V}. Фарадът е огромен – на практика се използват μF\mathrm{\mu F} (10−610^{-6}), nF\mathrm{nF} (10−910^{-9}) и pF\mathrm{pF} (10−1210^{-12}). Капацитетът зависи от формата и материала, а не от напрежението.

Пример

Кондензатор с капацитет 47 µF е свързан към батерия 9 V. Какъв заряд има на плочите му?

  1. q=CU=47⋅10−6⋅9q = CU = 47 \cdot 10^{-6} \cdot 9
  2. q≈4,23⋅10−4 C=423 μCq \approx 4{,}23 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{C} = 423\ \mathrm{\mu C} на всяка плоча (с противоположни знаци)

2. Плосък кондензатор и диелектрик

Т

Капацитет на плосък кондензатор

За две успоредни плочи с лице SS на разстояние dd: C=ε0εSdC = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}, където ε0≈8,85⋅10−12 F/m\varepsilon_0 \approx 8{,}85 \cdot 10^{-12}\ \mathrm{F/m}, а ε\varepsilon е диелектричната проницаемост на веществото между плочите (ε=1\varepsilon = 1 за вакуум и почти толкова за въздух). Полето между плочите е еднородно: E=UdE = \frac{U}{d}.

Защо диелектрикът увеличава капацитета? Молекулите му се поляризират: в тях леко се изместват и създават поле, обратно на външното. Полето отслабва ε пъти, затова при същото плочите побират ε пъти повече заряд. Така кондензаторите с тънко фолио и подходящ диелектрик стават малки, но с голям капацитет.

Пример

Плочи 10 cm × 10 cm са на 1 mm една от друга (въздух). Какъв е капацитетът? Какъв заряд и енергия има при 100 V?

  1. C=8,85⋅10−12⋅0,0110−3≈8,85⋅10−11 F=88,5 pFC = \frac{8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}01}{10^{-3}} \approx 8{,}85 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{F} = 88{,}5\ \mathrm{pF}
  2. q=CU≈8,85⋅10−9 Cq = CU \approx 8{,}85 \cdot 10^{-9}\ \mathrm{C}; E=Ud=105 V/mE = \frac{U}{d} = 10^5\ \mathrm{V/m}
  3. W=CU22≈4,43⋅10−7 JW = \frac{CU^2}{2} \approx 4{,}43 \cdot 10^{-7}\ \mathrm{J} – съвсем малко. Големи капацитети се получават с огромна площ и много малко разстояние.
+−+−+−+−d = 2 mmS = 100 cm²U = 100 V
C =44,3 pFq =4,43 nCE =50 kV/mW =0,221 µJ

Свързан с батерията: напрежението е постоянно, а зарядът следва капацитета (q = CU).

💡 C = ε₀εS/d. Знаците + и − показват колко гъсто е разпределен зарядът, а сините линии – полето E = U/d между плочите. Диелектрикът се поляризира (жълтите „диполи“) и отслабва полето, затова при същото напрежение плочите побират ε пъти повече заряд.

3. Енергия на кондензатора

Т

Енергия на зареден кондензатор

W=CU22=qU2=q22CW = \frac{CU^2}{2} = \frac{qU}{2} = \frac{q^2}{2C}. Множителят 12\frac{1}{2} идва от това, че при зареждането напрежението расте от 0 до UU – средно е U2\frac{U}{2}. Енергията е натрупана в електричното поле между плочите.

Кондензаторът натрупва малко енергия в сравнение с батерия, но може да я отдаде почти мигновено. Затова е незаменим в светкавиците, в дефибрилаторите (обикновено от на 150–360 J) и в импулсните . В захранванията кондензаторите „изглаждат“ напрежението – отдават заряд, когато то спадне, и се презареждат, когато се вдигне.

Пример

Дефибрилатор с кондензатор 100 µF трябва да подаде 200 J. До какво напрежение се зарежда?

  1. U=2WC=40010−4U = \sqrt{\frac{2W}{C}} = \sqrt{\frac{400}{10^{-4}}}
  2. U=2000 VU = 2000\ \mathrm{V}

4. Свързване на кондензатори

Т

Успоредно и последователно свързване

Успоредно: напрежението на всички е едно и също, зарядите се събират, C=C1+C2+…C = C_1 + C_2 + \ldots Последователно: зарядът на всички е един и същ, напреженията се събират, 1C=1C1+1C2+…\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \ldots Правилата са обратни на тези за резисторите.

е като да увеличим площта на плочите – капацитетът расте. Последователното е като да раздалечим плочите – капацитетът намалява и е по-малък и от най-малкия, но групата издържа по-голямо напрежение.

C₁ = 2 µFq = 14,4 µCU = 7,2 VC₂ = 3 µFq = 14,4 µCU = 4,8 V12 V
C_екв =1,2 µFq от батерията =14,4 µCW =86,4 µJ

Последователно: зарядът е един и същ, напреженията се събират – 1/C = 1/C₁ + 1/C₂. Еквивалентният капацитет е по-малък от най-малкия.

💡 Правилата са обратни на тези за резисторите. При последователно свързване по-голямо напрежение пада на по-малкия кондензатор. Енергията на цялата група е W = C·U²/2 с еквивалентния капацитет.

Пример

Кондензатор 2 µF е свързан последователно с група от 3 µF и 1 µF, свързани успоредно. Цялата верига е на 12 V. Намерете общия капацитет и напрежението на първия кондензатор.

  1. Групата: 3+1=4 μF3 + 1 = 4\ \mathrm{\mu F}
  2. Общо: C=2⋅42+4=43≈1,33 μFC = \frac{2 \cdot 4}{2 + 4} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\ \mathrm{\mu F}
  3. q=CU=16 μCq = CU = 16\ \mathrm{\mu C}, U1=qC1=8 VU_1 = \frac{q}{C_1} = 8\ \mathrm{V}, а на групата остават 4 V4\ \mathrm{V}

5. Зареждане и разреждане през резистор

Ако кондензатор се зарежда от батерия с E\mathcal{E} през RR (виж Постоянен ток), в началото токът е най-голям: I0=ERI_0 = \frac{\mathcal{E}}{R}. С натрупването на заряд напрежението на кондензатора расте, разликата E−UC\mathcal{E} - U_C намалява и токът спада. Получава се , чието решение е експонента (виж Диференциални уравнения).

Т

Времеконстанта τ = RC

При зареждане UC=E(1−e−t/τ)U_C = \mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), при разреждане UC=U0e−t/τU_C = U_0 e^{-t/\tau}, където τ=RC\tau = RC. За време τ\tau кондензаторът се зарежда до около 63% (или се разрежда до около 37%), а след около 5τ5\tau процесът практически е завършил.
9 VR = 10 kΩ100 µFIτ2τ3τ4τ5τ63%ℰ0U_CI
τ = RC =1 sизминало0 τU_C =0 VI =0,9 mA

В началото празният кондензатор „не пречи“ и токът е най-голям: I₀ = ℰ/R. После напрежението на кондензатора расте и токът спада.

💡 Времето в графиката е в единици τ = RC – формата на кривата е една и съща за всички R и C, променя се само мащабът. За една τ кондензаторът се зарежда до около 63%, а за 5τ – до над 99%. Анимацията показва една τ за една секунда.

Пример

Кондензатор 100 µF, зареден до 10 V, се разрежда през резистор 20 kΩ. Какво е напрежението след 4 s и кога пада наполовина?

  1. τ=RC=20⋅103⋅100⋅10−6=2 s\tau = RC = 20 \cdot 10^3 \cdot 100 \cdot 10^{-6} = 2\ \mathrm{s}
  2. U(4)=10⋅e−4/2=10e−2≈1,35 VU(4) = 10 \cdot e^{-4/2} = 10e^{-2} \approx 1{,}35\ \mathrm{V}
  3. Наполовина: e−t/τ=12⇒t=τln⁡2≈1,39 se^{-t/\tau} = \frac{1}{2} \Rightarrow t = \tau \ln 2 \approx 1{,}39\ \mathrm{s}

тук е естествен – прегледай урока Логаритми. RC вериги задават закъснения, мигащи светлини и в електрониката.

6. Тренажор

Пресметни исканата величина. Десетичните отговори въвеждай като 1,2.

✅ Решени: 0🔥 Серия: 0🏆 Рекорд: 0
R=2 kΩ,C=10 μFR = 2\ \mathrm{k\Omega}, \quad C = 10\ \mathrm{\mu F}

Времеконстанта: τ=? ms\tau = ?\ \mathrm{ms}

7. Кондензаторите около нас

Кондензатори има във всеки електронен уред. Сензорният екран на телефона усеща пръста ти, защото той променя капацитета между мрежа от прозрачни електроди. Клавишите на много клавиатури също са мънички кондензатори.

0 / 6

📸 Светкавица

Кондензаторът на фотосветкавица има капацитет 200 µF и се зарежда до 300 V. Колко джаула енергия отдава при едно светване?

❤️ Дефибрилатор

Дефибрилатор трябва да подаде импулс с енергия 200 J от кондензатор с капацитет 100 µF. До какво напрежение трябва да се зареди кондензаторът?

⌨️ Клавиш на клавиатура

Под клавиш има две пластинки с лице 1 cm², на 3 mm една от друга (въздух). При натискане разстоянието става 1 mm. Какъв е капацитетът преди и след натискането в pF? (ε0=8,85⋅10−12 F/m\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\ \mathrm{F/m})

🔋 Суперкондензатор

Суперкондензатор има капацитет 3000 F и работно напрежение 2,7 V. Колко килоджаула енергия може да натрупа?

⏱ Закъснение с RC

В схема за закъснение (например лампичка, която угасва бавно) има резистор 47 kΩ и кондензатор 22 µF. Колко е времеконстантата τ в секунди?

🔌 Филтър в захранване

В захранване два кондензатора по 470 µF са свързани успоредно и са заредени до 12 V. Какъв е общият им заряд в миликулони?

Зелено – решена сам(а), жълто – с решението. Десетичните числа може да пишеш със запетая.

8. ⚠️ Чести грешки

Свързване

✗ последователно: C=C1+C2\displaystyle C = C_1 + C_2

✓ успоредно C=C1+C2\displaystyle C = C_1 + C_2, последователно 1C=1C1+1C2\displaystyle \frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}

Капацитет и напрежение

✗ при по-голямо U\displaystyle U капацитетът е по-голям

✓ C\displaystyle C зависи само от формата и диелектрика; с U\displaystyle U расте зарядът q=CU\displaystyle q = CU

Енергия

✗ W=CU\displaystyle W = CU

✓ W=CU22\displaystyle W = \frac{CU^2}{2} – напрежението е на квадрат

Ток през кондензатора

✗ кондензаторът пропуска постоянен ток

✓ ток тече само докато се зарежда или разрежда

Време за зареждане

✗ за време τ\displaystyle \tau кондензаторът се зарежда напълно

✓ за τ\displaystyle \tau – до около 63%, за 5τ\displaystyle 5\tau – над 99%

Представки

✗ C=100 μF=0,1 F\displaystyle C = 100\ \mathrm{\mu F} = 0{,}1\ \mathrm{F}

✓ 100 μF=10−4 F\displaystyle 100\ \mathrm{\mu F} = 10^{-4}\ \mathrm{F}

9. 🎯 Бърз тест

1 / 9
✓ 0

Каква е единицата за капацитет в SI?

10. 📝 Задачи за упражнение

0 / 0

Ниво А· Областен кръг

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Ниво В· Национален кръг

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Ниво С· Международна олимпиада

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

Дробите – като 3/2, десетичните – със запетая.

11. Обобщение

  • ✓ Капацитет C=qUC = \frac{q}{U}, единица фарад; на практика µF, nF, pF
  • ✓ Плосък кондензатор: C=ε0εSdC = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d}, полето вътре E=UdE = \frac{U}{d}; диелектрикът увеличава C ε пъти
  • ✓ Енергия W=CU22=qU2=q22CW = \frac{CU^2}{2} = \frac{qU}{2} = \frac{q^2}{2C}
  • ✓ Успоредно C=C1+C2C = C_1 + C_2; последователно 1C=1C1+1C2\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}
  • ✓ RC верига: τ=RC\tau = RC; за τ – около 63%, за 5τ – практически напълно

💡 Интересен факт

Оперативната памет (DRAM) на компютъра пази всеки бит като заряд в мъничък кондензатор – с капацитет от порядъка на десетки фемтофарада (10−15 F10^{-15}\ \mathrm{F}). Модул от 16 GB съдържа около 137 милиарда такива кондензатора. Те бавно губят заряда си, затова паметта ги „опреснява“ – обикновено всеки ред поне веднъж на 64 милисекунди. Ако спре токът, данните изчезват за части от секундата до секунди.